MMATHAN05

		2π								2π	t	3				1	cos 2t dt =
	= a3	0	t(1 − 2 cos t + cos2 t) dt = a3							0			− 2 cos t +
												2				2
				3		2π		2π					a3	2π
			=		a3t2	0	− 2a3		t cos t dt −						t cos 2t dt.
				4									2
								0						0

	Вычисляем два последних			интеграла (n = 1, 2).
	2π		u = t,					du = dt			=
	t cos nt dt =								sin nt
				dv = cos nt dt,				v =
									n
	0				2π	2π sin nt
		sin nt
	= t				0	−		dt = 0,
			n				n
						0

Таким образом,

3

Iy = 4 a3(2π)2 = 3a3π2.

Окончательно получаем

3a3π2

5

a3π

5

Iy

Ix

=

a.

x0 =

=

= aπ,

y0 =

2

=

2a2π

6

S

S 3a2π

7. Найти момент инерции однородной (ρ = 1) дуги линии y = ex

0 ≤ x ≤		1	относительно оси абсцисс.
		2
Согласно (4.22) имеем
			1								1
			2								2
	Mx = y2(x)(				1 + y 2 (x)			dx =
												e2x			1 + e2x dx =
			0								0
	1									1
	2
= 2				d e2x =		3	(1 + e2x) 2		0		=	3		(1 + e)√1 + e − 2√2 .
	(1 + e2x) 2
1			1			1	3			2		1
	0

201

Задачи для самостоятельной работы

1.Найти статические моменты относительно осей координат отрезка прямой

xa + yb = 1,

заключенного между осями координат (ρ = 1).

2.Найти статические моменты относительно осей Ox и OY и координаты центра тяжести астроиды

2	2	2
x 3	+ y 3	= a 3	,

лежащей в первом квадранте (ρ = 1).

3. Найти статический момент окружности

r = 2a cos ϕ

относительно полярной оси (ρ = 1).

4.Найти координаты центра тяжести однородной дуги окружности

радиуса a, расположенной в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Oy, стягивающей угол 2α.

5.Найти момент инерции окружности радиуса a относительно ее диаметра (ρ = 1).

6.Найти координаты центра тяжести однородной полуокружности

√

=a2 − x2.

7. Найти координаты центра тяжести однородного полукруга, огра-
ниченного осью абсцисс и полуокружностью y =	√
		a	2	2
				− x .

Ответы

b

√

a √

3 2

2

2

2

2

2

1.

Ix =

a

+ b

; Iy =

a

+ b

. 2.

Ix = Iy =

a

; x0 = y0 =

a.

2

2

5

5

3.

2πa2. 4. x0

= 0; y0

=

a sin α

. 5. πa2

. 6. x0 = 0; y0

=

a

. 7. x0 = 0;

π

4a

α

y0 =

.

3π

202

Кошелев Виктор Николаевич Лисин Борис Всеволодович

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Учебное пособие

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского”

603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Подписано в печать . Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс.

Усл. печ. л.	. Уч.-изд.	.
Заказ N◦	. Тираж 300 экз.

Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37 Лицензия ПД N◦ 18-0099 от 04.05.2001