MMATHAN05

на

xi ≥ 0

mi xi ≤ f (ti)Δxi ≤ Mi

xi i = 1, 2, . . . , n.

Суммируя все эти неравенства, получаем

n

n

n

i

mi xi ≤ f

(ti)Δxi ≤ Mi

xi.

i=1

i=1

=1

2). Используя соотношение mi =

inf

f (ti), получаем

ti [xi−1,xi ]

n

n

n

inf σ(P, f ) = inf

f (ti)Δxi =

inf f (ti)Δxi

=

i

xi = s(P, f ).

mi

ti

ti

i=1

i=1

ti

=1

Второе соотношение доказывается аналогично.

Теорема 2.8

[a, b] → R —

(Теорема о пределе интегральной суммы). Пусть f :

ограниченная функция. Если существует предел

lim

σ(P, f ) ин-

тегральной суммы, то f (x) R[a, b], и

μ(P )→0

μ(P )→0

b

a

lim

σ(P, f ) =

f (x) dx.

Обратно, если f (x) R[a, b], то предел интегральной суммы существует.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что lim σ(P, f ) = A.

μ(P )→0

По определению предела интегральной суммы для любого ε > 0 существует δ > 0, такое, что при μ(P ) < δ неравенство

A −	ε	< σ(P, f ) < A +	ε
	2		2

выполняется независимо от выбора точек ti [xi−1, xi]. Зафиксируем такое разбиение P . Используя свойство 2 для интегральной суммы получаем из последнего неравенства

A −	ε	≤ s(P, f ) ≤ σ(P, f ) ≤ S(P, f ) ≤ A +	ε
				.
	2		2

51

Откуда следует, что S(P, f, α) − s(P, f, α) ≤ ε и f (x) R[a, b]. Но тогда, так как

			b
		s(p, f ) ≤ a		f (x) ≤ S(P, f, α),
при μ(P ) < δ выполняются два неравенства
A − 2		≤ σ(P, f ) ≤ A + 2		, A − 2 ≤ a		b	2 ,
						f (x) dx ≤ A +
	ε		ε		ε		ε

или, что тоже самое,

ε

|σ(P, f ) − A| ≤ 2 ,

Окончательно получаем

b

a

f (x) dx	−	A	≤	ε .
				2

σ(P, f )

b f (x) dx =

(σ(P, f )

A)

b

f (x) dx

A

−

−

−

−

≤

a

b

a

(σ(P, f )

f (x) dx

A

ε

+

ε

−

A) +

−

2

2

= ε,

≤ |

|

≤

т.е.

a

b

μ(P )→0

f (x) dx.

σ(P, f ) = a

lim

Доказательство обратного утверждения мы опускаем.

2.8 . Колебания функции

Определение 2.6. Если функция f : [a, b]

→ R ограничена, то

ееколебанием на промежутке [a, b] называется разность

ω[f ] = M − m,

где M = sup f ([a, b]), m = inf f ([a, b]).

52

Колебание ω[f ] можно определить как точную верхнюю границу множества всевозможных разностей f (x) −f (t), где x и t принимают независимо одно от другого произвольные значения в промежутке [a, b], или как точную верхнюю границу множества абсолютных величин |f (x) − f (t)|, т.е.

ω[f ] = sup {f (x) − f (t)} =	sup |f (x) − f (t)|.
x,t [a,b]	x,t [a,b]

Лемма 2.2

(Лемма о колебаниях функции). Если f : [a, b] → R и g : [a, b] → R - ограниченные функции на [a, b], т.е. |f (x)| ≤ K и |g(x)| ≤ L, где K и L - постоянные величины, и c - постоянное действительное число, то

(a)ω[f + g] ≤ ω[f ] + ω[g],

(b)ω[cf ] = |c|ω[f ],

(c)ω[f g] ≤ Lω[f ] + Kω[g],

(d)ω[ |f | ] ≤ ω[f ].

До к а з а т е л ь с т в о

(a)Используя очевидное неравенство

|f (x) + g(x) − (f (t) + g(t))| ≤ |f (x) − f (t)| + |g(x) − g(t)|,

получаем

ω[f + g] = sup |(f (x) + g(x)) − (f (t) + g(t))| ≤

x,t [a,b]

≤ sup |f (x) − f (t)| + sup		|g(x) − g(t)| = ω[f ] + ω[g].
x,t [a,b]	x,t [a,b]
(b) Аналогично, используя равенство
	|cf (x) − cf (t)| = |c||f (x) − f (t)|,
имеем
ω[cf ] = sup	|cf (x) − cf (t)| = |c|	sup |f (x) − f (t)| = |c|ω[f ].
x,t [a,b]		x,t [a,b]
		53

(c) Из неравенства

|f (x)g(x) − f (t)g(t)| = |g(x)[f (x) − f (t)] + f (t)[g(x) − g(t)]| ≤

≤|g(x)| · |f (x) − f (t)| + |f (t)| · |g(x) − g(t)| ≤

≤L|f (x) − f (t)| + K|g(x) − g(t)|

получаем
ω[f g] =	sup	|f (x)g(x) − f (t)g(t)| ≤ L ·		sup |f (x) − f (t)|+
x,t [a,b]				x,t [a,b]
	+K ·	sup |g(x) − g(t)| = Lω[f ] + Kω[g].
		x,t [a,b]
(d) Из неравенства
		|f (x)| − |f (t)| ≤ |f (x) − f (t)|
следует
ω[ |f | ] =	sup	(|f (x)| − |f (t)|) ≤	sup	|f (x) − f (t)| = ω[f ].
	x,t [a,b]		x,t [a,b]

2.9 . Свойства интегрируемых функций

Используя понятие колебания функции разность между верхней и нижней суммами Дарбу можно записать так

n

n

S(P, f α) − s(P, f, α) = (Mi − mi)Δαi = ωi[f ]Δαi,

i=1

i=1

где ωi[f ] = Mi − mi - колебание функции f (x) на сегменте [xi−1, xi].

Теорема 2.9

(Свойства интегрируемых функций).

Пусть f (x) R[a, b] и g(x) R[a, b]. Тогда

1.f (x) + g(x) R[a, b].

2.Для любого числа c выполняется cf (x) R[a, b].

54

3.f (x)g(x) R[a, b].

4.|f (x)| R[a, b].

5.Для любого c, a < c < b, выполняется f (x) R[a, c] и f (x) R[c, b].

До к а з а т е л ь с т в о

1.Пустьf (x) R[a, b]. Тогда для любого ε > 0 существует разбиение P1, такое, что

ε.S(P1, f ) − s(P1, f ) <

2

Точно также, так как g(x) R[a, b], то для того же ε > 0 существует разбиение P2, такое, что

S(P2, g) − s(P2, g)

ε

<

.

2

Очевидно, что для общего измельчения P = P1

P2 эти неравен-

ства выполняются одновременно. Тогда,

согласно лемме 2.2

n

S(P, f + g) − s(P, f + g) =

i

ωi[f + g]Δxi ≤

=1

n

n

n

i

≤

(ωi[f ] + ωi[g])Δxi =

ωi[f ]Δxi +

ωi[f ]Δxi =

i=1

i=1

=1

= [S(P, f ) − s(P, f )] + [S(P, g) − s(P, g)] <

ε

ε

+

= ε.

2

2

Откуда следует согласно критерия существования, что f (x) + g(x) R[a, b].

2. Пусть f (x) R[a, b], т.е.

		n		ε
( ε > 0)( P ) : S(P, f ) − s(P, f ) =		i
			|		|
		ωi[f ]Δxi <		c
		=1
при c = 0. Для того же разбиения P
	n	n					ε
S(P, cf ) − s(P, cf ) =		i							= ε,
						|		|
	ωi[cf ]Δxi = |c|	ωi[f ]Δαi <	|c|				c
	i=1	=1

т.е. cf (x) R[a, b]. При c = 0 утверждение тривиально.

55

3.Пусть f (x), g(x) R[a, b]. Тогда для любого ε > 0 существует разбиение P , такое, что

n

ε

i

S(P, f ) − s(P, f ) =

ωi[f ]Δxi <

2L

,

=1

n

ε

S(P, g) − s(P, g) =

i

=1

ωi[g]Δxi < 2K ,

где L > 0 и K > 0 - числа из условий |f (x)| ≤ K, |g(x)| ≤ L.

Для того же разбиения P

n

n

S(P, f g) − s(P, f g) = ωi[f g]Δxi

≤ (L ωi[f ] + K ωi[g])Δxi =

i=1

i=1

n

n

ε

ε

i

= L ωi[f ]Δαi + K ωi[g]Δαi < L 2L + K 2K = ε,

=1

i=1

т.е. f (x)g(x) R[a, b].

4.

Пусть f (x) R[a, b]. Тогда

n

( ε > 0)( P ) : S(P, f ) − s(P, f ) =

i

ωi[f ]Δxi < ε.

=1

Для того же разбиения P имеем

n

n

S(P, |f |, ) − s(P, |f |) =

i

ωi[|f

|]Δxi ≤

ωi[f ]Δxi < ε,

=1

i=1

т.е. |f (x)| R[a, b].

5.

Пусть f (x) R[a, b]. Тогда

( ε > 0)( P ) : S(P, f ) − s(P, f ) < ε.

Тогда для измельчения разбиения Pn = P {c} тем более

S(P , f ) − s(P , f ) =

i

[f ]Δxi

ωi

< ε.

=1

56

Если P разбиение вида

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xk = c < xk+1 < · · · < xn = b,

то

	k	n
S[a,c](P , f ) − s[a,c](P , f ) =		i
	ωi[f ]Δxi ≤	ωi[f ]Δxi < ε,
	i=1	=1

т.е. f (x) R[a, c]. Аналогично доказывается f (x) R[c, b].

2.10 . Свойства интеграла Римана

Теорема 2.10

(Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами). Пусть f (x) R[a, b] и g(x) R[a, b]. Тогда

a

1.f (x) dx = 0.

a

b

a

2.	f (x) dx = − f (x) dx.
	a	b
3. f (x) + g(x) R[a, b], и
	b		b	b
	a	(f (x) + g(x)) dx = a		f (x) dx + a	g(x) dx.
4.	Если c постоянное число, то cf (x) R[a, b], и
		b		b

cf (x) dx = c	f (x) dx.
a	a

57

5. Для любого c, a < c < b, выполняется f (x) R[a, c], f (x)

R[c, b], и

b	c	b
a	f (x) dx = a	f (x) dx + c	f (x) dx.

Д о к а з а т е л ь с т в о

1. Это свойство следует из того, что в данном случае все xi = 0.

2.Эта формула представляет собой естественное обобщение понятия интеграла на случай, когда сегмент [a, b] при a < b пробегается в направлении от b к a (в этом случае в интегральной сумме все разности xi имеют отрицательный знак).

3.Утверждение f (x) + g(x) R[a, b] следует из п. 2.9. По теореме 2.8 имеем

	b			n
	(f (x) + g(x)) dx = μ(P )→0 i=1				i		i	i
	a		lim		[f (t ) + g(t )]Δx			=
	n		n			b		b
μ(P )→0 i=1 f (ti)Δxi +μ(P )→0 i=1 g(ti)Δxi =							f (x) dx+		f (x) dx.
= lim		lim				a		a

4. Утверждение cf (x) R[a, b] следует из п. 2.2. Далее имеем

b

cf (x) dx =

a

n

= c lim

μ(P )→0 i=1

→	n
	i
lim	cf (ti)Δxi =
μ(P ) 0	=1
	b
f (ti)Δxi = c a		f (x) dx.

5.Утверждения f (x) R[a, c] и f (x) R[c, b] следуют из п.2.2. Тогда пределы интегральных сумм можно рассматривать по разбиениям вида

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xk = c < xk+1 < · · · < xn = b.

58

Имеем

b			n
	f (x) dx = μ(P )→0 i=1 f (ti)Δxi =
a		lim
	k		i	n
= lim	f (ti)Δxi +		lim	f (ti)Δxi =
μ(P )→0 i=1		μ(P )→0 =k+1
	c		b
	=	f (x) dx +	f (x) dx.
	a		c

Теорема 2.11

(Свойства интеграла Римана, выражаемые неравенствами). Пусть f (x) R[a, b] и g(x) R[a, b]. Тогда

1. f (x)		[a, b], и	b f (x) dx
|	| R
			a

b

≤|f (x)| dx.

a

b

2.	Если f (x) ≥ 0 всюду на [a, b], то f (x) dx ≥ 0.
	a
		b	b
3.	Если f (x) ≤ g(x) всюду на [a, b], то a	f (x) dx ≤	a	g(x) dx.

Д о к а з а т е л ь с т в о

1. Утверждение |f (x)| R[a, b] следует из п. 2.2. Далее имеем

b

f (x) dx

μ(P ) 0

f (ti)Δxi =

μ(P ) 0

f (ti)Δxi

→ i=1

→

i=1

≤

a

n

n

=

lim

lim

n

b

→ i

a

≤

lim

=1 |f (ti)|

xi =

|f (x)| dx.

μ(P )

0

59

	n
2. Из очевидного неравенства σ(P, f ) = i=1 f (ti)Δxi ≥ 0 следует
b	f (x) dx = μ(P )→0 σ(P, f ) ≥ 0.
a
	lim

3.Рассмотрим разность g(x) − f (x). Имеем g(x) − f (x) R[a, b] и g(x) − f (x) ≥ 0. Но тогда

b	b	b
a	g(x)dx − a	f (x)dx = a	(g(x) − f (x))dx ≥ 0.

2.11. Интеграл Римана как функция верхнего предела

Определение 2.7. Пусть f (x) R[a, b]. Для любого x [a, b], функция f (x) интегрируема на сегменте [a, x]. Положим

x
F (x) =	f (t) dt,	x [a, b],
a

и назовем эту функцию — функцией верхнего предела.

Теорема 2.12

(Непрерывность интеграла как функции верхнего предела). Пусть f (x) R[a, b]. Тогда функция верхнего предела

x
F (x) =	f (t) dt,	x [a, b],
a
непрерывна на [a, b]

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f (x) ограничена, так как f (x) R[a, b]. Допустим, что |f (t)| ≤ M , если a ≤ t ≤ b. При любых

60