MMATHAN05

Найдем объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной полувитком спирали Архимеда r = aϕ (a > 0, 0 ≤ ϕ ≤ π) вокруг полярной оси (рис. 4.30).

По формуле (4.18)

2

π

= !

u

= ϕ3,

du = 3ϕ2 dϕ

" =

Vϕ=0 =

πa3

ϕ3 sin ϕ dϕ

3

dv = sin ϕ dϕ,

v =

−

cos ϕ

0

ϕ3 cos ϕ

= 3 πa3

+3

ϕ2 cos ϕ dϕ =

−

π

π

2

0

0

u =

2

du = 2ϕ dϕ

= !

ϕ ,

" =

dv = cos ϕ dϕ,

v = sin ϕ

= 3 πa3

π3 + 3

ϕ2 sin ϕ

2

ϕ sin ϕ dϕ =

2

π

π

o −

0

= !

u = ϕ,

du = dϕ

" =

dv = sin ϕ dϕ,

v =

−

cos ϕ

= 3 πa3

π3

ϕ cos ϕ

cos ϕ dϕ =

6

+

2

π

π

−

−

0

0

=23 πa3(π3 − 6π) = 23 π2a3(π2 − 6).

6.Найти объем шара радиуса R.

Шар радиуса R получается при вращении полукруга x2 +y2 ≤ R2, y ≥ 0, вокруг оси Ox. В полярных координатах уравнение окружности, ограничивающей полукруг, имеет вид: r = R, 0 ≤ ϕ ≤ π. Тогда, используя формулу (4.18), получаем

V = 3	π	R3 sin ϕ dϕ = − 3		π	=	3 πR3.
			R3 cos ϕ 0
2π	0	2π				4

191

Задачи для самостоятельной работы

		x2		y2		z2
1.	Найти объем эллипсоида		+		+		≤ 1.
		a2		b2		c2

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями, полученными при вращении отрезками следующих линий:

				2
	y = b	x		3
2.				вокруг оси Ox.
		a
3.	y = 2x − x2, y = 0: а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy.
4.	y = sin x,			y = 0 (0 ≤ x ≤ π): а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy.

5.y = e−x, y = 0 (0 ≤ x < +∞) вокруг оси Ox.

6.Найти объем тела, образованного вращением площади петли кривой

x = 2t − t2, y = 4t − t3 (0 ≤ t ≤ 2),

вокруг: а) оси Ox; б) оси Oy.

7.Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры, заданной в полярных координатах r = a(1 + cos ϕ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π), вокруг полярной оси.

8.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

ϕ = πr3, ϕ = π,

вокруг полярной оси.

Ответы

	1.		4	πabc. 2.		3	πab2. 3.		а)		16π		; б)				8π	. 4. а)	π2	; б) 2π2	. 5.	π	. 6. Vx =
		3				7					15					3			2			2
									8
	=	64			π; Vy =	64		π. 7.		πa3		. 8.		2		π.
		35				105			3					3

192

Занятие 5. Вычисление моментов. Координаты центра тяжести

Если масса M плотности ρ = ρ(s) заполняет некоторую плоскую гладкую кривую x = x(s), y = y(s), где s — параметр длины дуги кривой (0 ≤ s ≤ L), то статический момент массы M относительно оси l вычисляется по следующей формуле

L
Ml =	R(s)ρ(s) ds,	(4.19)

0

где R(s) — расстояние от точки C на кривой, соответствующей значению s, до оси l, взятое со знаком (+), если точка C лежит слева от оси l, и со знаком

Рис. 4.32 (-), если точка C находится справа от оси l (рис. 4.31).

Момент инерции массы M относительно оси l равен

L
Il = 0	R2(s)ρ(s) ds.	(4.20)

Статические моменты Mx, My и моменты инерции Ix, Iy относительно координатных осей Ox и Oy вычисляются по формулам

L L

Mx =	y(s)ρ(s) ds, My = x(s)ρ(s) ds,	(4.21)
0	0
L	L

Ix =	y2(s)ρ(s) ds, Iy = x2(s)ρ(s) ds.	(4.22)
0	0

Для нахождения координат центра тяжести (x0, y0) кривой имеем формулы

	x0 =	My	,	y0 =	Mx	,	(4.23)
		M			M
							193

L

где M = ρ(s) ds — масса кривой с плотностью ρ(s).

0

Координаты центра тяжести (x0, y0) однородной криволинейной трапеции a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ y(x), могут быть вычислены по формулам

b

1

b

a

xy(x) dx

a

y2(x) dx

x0 =

=

Iy

,

y0 =

2

=

Ix

,

(4.24)

S

S

S

S

b

где S = y(x) dx — площадь этой трапеции.

a

Задание

1. Найти статический момент и момент инерции дуги полуокружности радиуса a, плотности ρ = 1, относительно диаметра, проходящего через концы дуги.

2. Найти статические моменты и моменты инерции относительно

координатных осей кривой y = a ch

x

, −a

≤ x

≤ a, линейная

a

плотность которой изменяется по закону ρ(x) =

1

.

ch

x

a

p

3.

Найти статический момент дуги параболы y2 = 2px (0 ≤ x ≤

) с

2

равномерно распределенной плотностью ρ = 1 относительно оси

x =

p

.

2

4.

Найти статический момент дуги лемнискаты

r2 = a2 cos 2ϕ

0 ≤ ϕ ≤

π

4

,

с массой

π

4 −

распределенной с линейной плотностью ρ = cos

π

ϕ

относительно оси ϕ = 4 .

194

5.Найти координаты центра тяжести первой арки циклоиды x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), если ее плотность ρ ≡ 1.

6.Найти координаты центра тяжести масс области, ограниченной первой аркой циклоиды x = a(t−sin t), y = a(1−cos t) (0 ≤ t ≤ 2π) и осью Ox, если ρ ≡ 1.

7.Найти момент инерции однородной (ρ = 1) дуги линии y = ex

0 ≤ x ≤	1	относительно оси абсцисс.
	2

Решения

1. Найти статический момент и момент инерции дуги полуокружности радиуса a, плотности ρ = 1, относительно диаметра, проходящего через концы дуги.

Рис. 4.33

Направим ось Ox вдоль диаметра, проходящего через концы дуги полуокружности, и пусть начало координат совпадает с центром

окружности (рис. 4.33). Тогда параметризация полуокружности имеет вид x = a cos ϕ, y = a sin ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π.

Согласно (4.21) и (4.22)

	π	y(ϕ)(						π
Mx = 0				x 2 (ϕ) + y 2 (ϕ)				dϕ = 0	a2 sin ϕ dϕ = 2a2,
π								π		πa3
		2			2
Ix = 0	y2(ϕ)(x				(ϕ) + y	(ϕ) dϕ = 0			a3 sin2 ϕ dϕ =		.
										2

195

2. Найти статические моменты и моменты инерции относительно координатных осей кривой y = a ch xa , −a ≤ x ≤ a, линейная плотность

1

которой изменяется по закону ρ(x) = x (рис. 4.33). ch a

Рис. 4.33 Рис. 4.34

Прежде всего отметим, что

1

2

1 + sh 2

x

ρ(x)(1 + y

(x) =

= 1.

ch

x

a

a

Используя формулы (4.21) и (4.22) получаем

a

a

Mx =

y(x)ρ(x)(

1 + y

(x)

dx = a ch a dx = 2a2 sh 1,

2

x

−a

−a

a

a

My = xρ(x)(

1 + y 2 (x)

dx = x dx = 0,

−a

−a

a

a

Ix

= y2(x)ρ(x)(

1 + y

(x)

dx = a2 ch 2 a dx =

2

x

−a

a

= a2 ch 2ax

0

+ 1

				−a		a
	dx = a2	2 sh	a	+ x			= 2 (2 + sh 2),
		a	2x		0		a3

196

a					a	2
		2
Iy =	x2	ρ(x)(1 + y		(x) dx = x2 dx =			a3.
						3
−a					−a

p

3. Найти статический момент дуги параболы y2 = 2px (0 ≤ x ≤ 2 )

с равномерно распределенной плотностью ρ = 1 относительно оси p

x = 2 (рис. 4.34).

p

Воспользуемся формулой (4.19). В нашем случае R = 2 −x, ρ ≡ 1.

Тогда , принимая во внимание симметрию кривой относительно оси Ox, получаем

p

p

2

2

2

(

2

−

2x

p

1 +

p

dx =

M p

= 2 R(x) 1 + y (x)2 dx = 2

x

0

0

p

√

2

p

= (p − (√

)2)(

d(√

) = (p − z2)

p + (√

)2

2x

2x

2x

p + z2

dz.

0

0

При вычислении последнего интеграла сделаем замену z = √p sh t. Имеем

	(p − z2) p + z2 dz = p2										(1 − sh 2t) ch 2t dt = p2												ch 2t dt−
	1						1								1
				sh 22t dt = p2						(1 + ch 2t) dt −							( ch 4t − 1) dt =
	−
		4						2								8
					= p2		5		t +		1	sh 2t −	1	sh	4t .
							8				4		32
																	z			=	1	( et − e−t), по-
	Перейдем к переменной z. Решая уравнение √
																					2
																		p
																							197

лучаем t = ln

z

+

z2

+ 1

. Учитывая, что sh t =

z

, находим

√

√

p

p

p

2z

sh 2t = 2 sh t 1 + sh 2t =

sh 4t = 2 sh 2t 1 + sh 22t =

p + z2,

p

=

p

p + z2

1 +

p2

(p + z2),

4z

4z2

M p = p2

8 ln

√p +

p

+ 1 +

2

!

5

z

z2

√

p

+ 2p

p + z2 − 8p p + z2 1 + p2

(p + z2)

"

=

z

z

4z2

0

√

√

2

2

5

√

2

2

p

√

√

= p

8

ln(1 +

2) +

2

− 3

8

=

8

(5 ln(1 +

2) +

2).

π

4

=

ϕ

ϕ

ϕ=0

Рис. 4.35

4. Найти статический момент дуги лемнискаты

π

r2 = a2 cos 2ϕ

0

≤ ϕ ≤

4

,

с массой,

π

4 −

распределенной с линейной плотностью ρ = cos

π

ϕ

относительно оси ϕ = 4 (рис. 4.35).

198

По формуле (4.19) имеем

π

4

(

M π = R(ϕ)ρ(ϕ) r2 (ϕ) + r 2 (ϕ) dϕ =

4

0

π

4

(

= r(ϕ) sin

4 − ϕ

cos

4 − ϕ

r2 (ϕ) + r

(ϕ)

dϕ =

π

π

2

0

π

π

4

π

π

a2

4

a2

= a2

sin

− ϕ

cos

− ϕ

dϕ =

cos 2ϕ dϕ =

.

4

4

2

4

0

0

5. Найти координаты центра тяжести первой арки циклоиды x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), если ее плотность ρ ≡ 1.

Найдем статические моменты циклоиды относительно координатных осей

2π

2π

Mx =

0

y(t)(

x

(t) + y

(t)

dt = 2a2

0 (1 − cos t) sin 2 dt =

2

2

t

2π

t

2π

cos2

t

− 1 d cos

t

32

= 4a2

0

0

sin3

dt = 8a2

=

a2.

2

2

2

3

2π

2π

My =

x(t)(

x

(t) + y

(t)

dt = 2a2

(t − sin t) sin 2 dt =

2

2

t

0

= 2a2		t sin	2 dt = 2a2		−2t cos	2	0
	2π		t			t	2π
	0
Масса циклоиды равна

0

+ 2

2π		= 8πa2.
cos 2 dt
	t
0

	2π	(					2π
M =	0		x	(t) + y	(t)	dt = 2a	0	sin 2 dt = 8a.
		2		2					t

199

Окончательно получаем x0 =	My	= πa,	y0 =	Mx	=	4	a.
						3
	M			M

6. Найти координаты центра тяжести масс области, ограниченной первой аркой циклоиды x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π)

и осью Ox, если ρ ≡ 1.

Получаем по формулам (4.24)

	2πa						2π																		2π		3								1	cos 2t dt
S = 0					y dx = 0			a2(1						− cos t)2 dt = a2										0							− 2 cos t +								=
																												2							2
							= a2								2 t − 2 sin t +								4					2π
																																= 3πa2.
															3						sin 2t						0
									1					2πa			1			2π
														0				0
						Ix =										y2 dx =							a3(1 − cos t)3 dt =
											2						2
		a3			2π																										a3		2π
=				0		(1 − 3 cos t + 3 cos2 t − cos3 t) dt =																											0	(1 + 3 cos2 t) dt =
		2																													2
					a3	2π	5		3										a3						5				3					2π	5
	=							+				cos 4t dt =														t −						sin 4t 0			=			πa3.
					2		2			2									2						2					8							2
						0
								2πa								2π
						Iy =			xy dx = a(t − sin t)a2(1 − cos t)2 dt =
								0								0
											2π
						= a3			0					(t − sin t)(1 − 2 cos t + cos2 t) dt =
				2π																				2π
= a3			0			t(1 − 2 cos t + cos2 t) dt + a3																	0		(1 − 2 cos t + cos2 t) d cos t =

200