- •Введение Понятие модели. Имитационная модель. Основные характеристики сложной системы.
- •1. Классификация моделей
- •2. Структура моделей
- •3. Схема взаимодействия компонентов системы между собой
- •4. Последовательные этапы процесса имитации
- •5. Представление исходных данных для имитации
- •6. Моделирующий алгоритм
- •7. Принципы построения моделирующих алгоритмов для сложных систем
- •8. Организация статистического моделирования систем на эвм
- •8.1. Общая характеристика метода статистического моделирования (метод Монте-Карло)
- •8.2. Алгоритм метода статистических испытаний
- •8.3. Псевдослучайные числа и процедура их генерации
- •8.4. Моделирование испытаний в схеме случайных событий
- •8.5. Формирование возможных значений св
- •8.6. Формирование реализаций случайных векторов
- •8.7 Определение необходимого числа реализаций
- •8.8. Особенности фиксации и статистической
- •8.9. Случайный процесс
- •8.10. Особенности использования критериев согласия в методах регрессионного и корреляционного анализа при обработке результатов моделирования и их интерпретации
- •8.10.1. Критерий Пирсона ( критерий 2 )
- •8.10.2. Критерий Колмогорова
- •8.10.3. Критерий Смирнова
- •8.10.4. Критерий Стьюдента
- •9. Динамическое моделирование
- •9.1 Основные теоретические положения
- •9.1.1. Основные этапы построения динамической модели
- •9.1.2. Структура динамической модели
- •9.1.3. Математическое описание динамической модели
- •9.1.4. Запаздывания
- •9.1.5. Процесс принятия решения
- •9.2. Пример анализа системы методом динамического моделирования
- •10. Регрессионный и корреляционный анализ
- •10.1. Моделирование систем массового обслуживания (смо)
- •10.2. Описание q -схем с использованием марковских случайных процессов (сп)
- •10.3. Уравнение Эрланга и формула Эрланга
- •10.4. Правила составления ду
- •10.5. Моделирование смо с помощью метода статистических испытаний
- •10.6. Формирование входного потока ( 3 -ий блок )
- •10.7. Подалгоритм выбора канала
- •10.8. Подалгоритм выбора заявки из очереди на обслуживание
- •10.9. Подалгоритм моделирования сбоев
- •10.10. Агрегаты, основные понятия
- •10.11. Процесс функционирования агрегата
- •10.12. Представление смо в виде агрегата
- •11. Регрессионный и корреляционный анализ
- •11.1. Регрессионный анализ
- •11.2. Корреляционный анализ
8.7 Определение необходимого числа реализаций
для достижения заданной точности
Это случай, когда нет ограничений на вычисление ресурса.
Для обеспечения статистической устойчивости оценок результатов моделирования они вычисляются по большому количеству реализаций. Пусть в качестве оценки некоторого параметра а, который оценивается по результатам моделирования СВ xi, выбирается некоторое x. В силу ряда случайных причин а и x будут отличаться друг от друга. Тогда неравенство a - x называется точностью, а вероятность этого неравенства P{a - x } = называется достоверностью.
I. Пусть цель моделирования - вычислить вероятность Р некоторого события А:
m
P= (8.26)
N
где m - количество появлений события А,
N - количество реализаций,
P - частота.
Теорема Лапласа (частный случай центральной предельной теоремы теории вероятности):
При достаточно больших N частоту m/N можно рассматривать как СВ, которая имеет распределение, близкое к нормальному, с мат. ожиданием Р и дисперсией, равной
P(1 - P)
N
Поэтому для каждого значения можно выбрать из таблиц нормального распределения такую величину t ( t - квантиль нормального распределения), что точность = tD[m/N] (8.27).
P(1 - P)
2 = t2
N
P( 1 - P)
N = t2 (8.28) 2
(13.5) можно пользоваться, если мы имеем дело с оценкой вероятности.
II. Пусть результат моделирования - это оценка мат. ожидания и дисперсии:
Пусть СВ имеет мат. ожидание а и дисперсию 2 и в реализации с номером i принимает значения xi. В качестве оценки мат.ожидания используется среднее значение, которое определяется следующим образом:
N
x = 1/N xi (8.29)
i=1
Теорема:
При больших N среднее арифметическое будет являться СВ, которая стремится к нормальному закону распределения с мат.ожиданием а и дисперсией 2. Тогда точность :
= t (8.30)
N
t22
N = (8.31)
2
Алгоритм выбора необходимого числа реализаций:
1. Задается N0 в интервале от 50 до100 реализаций;
2. Используя имитационную модель, определяем Р;
3. Полученное Р подставляем в (8.28) и получаем N1;
4. Сравниваем Ni-1 и Ni, если Ni-1 < Ni, то мы повторяем весь алгоритм, начиная с п.2.
Для вычисления оценки мат. ожидания и дисперсии используется тот же алгоритм, но в п.2 вычисляется оценка дисперсии и оценка мат.ожидания, а в п.3 N1 вычисляется по формуле (8.31).
8.8. Особенности фиксации и статистической
обработки результатов моделирования
При имитационном моделировании необходимо предусмотреть меры по организации эффективной обработки данных и их представлении. При выборе метода обработки существенную роль играют следующие особенности:
1) при моделировании получают огромные выборки, которые количественно позволяют оценить характеристики процесса функционирования системы. При этом возникает проблема хранения промежуточных результатов моделирования. Она в основном решается за счет организации алгоритма т.о., чтобы оценки вычислялись в процессе моделирования;
2) априорно сделать какие-либо предположения о характеристиках процесса функционирования системы невозможно, поэтому в моделировании используются оценки моментов распределения;
3) блочность структуры модели, когда исходными данными для моделирования одного компонента являются результаты моделирования какого-либо другого компонента.
При построении алгоритма мы должны выдвигать к нему 2 критерия ( с вычислительной точки зрения):
1) используемая память должна быть минимальна;
2) время вычисления должно быть минимально.
I. Пусть в качестве искомой величины фигурирует вероятность наступления некоторого события А. В качестве оценки вероятности используется частота:
m
P(A) = (8.32)
N
где m - число появлений события А,
N - число реализаций.
II. Пусть в результате моделирования необходимо оценить закон распределения. Для этого область значений СВ разбивается на k интервалов, и для каждого i-го интервала определяется либо mi (количество значений СВ, попавших в i-ый интервал), либо определяется Pi (частота):
Pi = mi /N (8.33)
III. Если результат моделирования - это мат.ожидание. Оценкой мат.ожидания является среднее значение:
N
y = 1/N yi (8.34)
i=1
IV. В качестве результата моделирования - дисперсия.
N
D = 1/N (yi - y )2 (8.35)
i=1
N N
Dy = 1/(N - 1) yi2 - 1/[N(N - 1)] ( yi )2 (8.36)
i=1 i=1
V. Если оценка - корреляционный момент между последовательностью СВ, принимающих значения X и Y.
N
K = 1/N (yi - y)(xi - x) (8.37)
i=1
N N N
K = 1/(N - 1) yi xi - 1/[N(N - 1)] yi xi (8.38)
i=1 i=1 i=1