10. Регрессионный и корреляционный анализ

10.1. Моделирование систем массового обслуживания (смо)

СМО представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях. Этот класс моделей используется для формализации процесса функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания. В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы. Они могут быть связаны с процессами функционирования экономической, производственной, технической и других систем.

Характерной особенностью СМО является то, что:

а) входной поток в такую систему случайный;

б) время обслуживания случайно.

В любом элементарном акте обслуживания возможно выделить 2 составляющие:

а) ожидание обслуживания;

б) сам процесс обслуживания.

На рисунке 10.1 приведен некоторый элементарный прибор обслуживания (Q -схема):

U_i

_i y_i

K_i

H_i

П_i

Рисунок 10.1 – Некоторый элементарный прибор обслуживания.

где П_i - прибор, H_i - накопитель

УH_i может находиться l_i = 0, L_i^н заявок, где L_i^н - емкость накопителя;

_i - входной поток, он характеризуется интервалами между поступлением заявок в систему, _i - неуправляемые переменные;

U_i - среднее время обслуживания канала конкретной заявки, U_i - управляемый поток;

y_i - выходной поток, он создает заявки как обслуженные, так и не обслуженные, y_i задается через переменные - интервалы между заявками, покидающими прибор П_i .

I. Входной поток():

Потоком событий называется последовательность событий, которые происходят одно за другим в случайные моменты времени. Потоки можно разделить на:

а) потоки однородных событий. В этом случае все заявки, поступающие в систему, абсолютно одинаковы с точки зрения обслуживания. Для характеристики этого потока можно задать t^пр - момент прихода заявки в систему;

б) поток неоднородных событий. В этом случае все заявки неодинаковы, такой поток характеризуется последовательностью { t^пр, f^пр}, где t^пр - момент прихода заявки в систему, f^пр - набор признаков, характеризующий заявку с точки зрения обслуживания (приоритет и т.д.).

1) Простейший поток (стационарный пуассоновский):

Такой поток должен обладать следующими 3-мя свойствами:

а) стационарность;

б) отсутствие последействия;

в) ординарность.

Стационарность.

Если вероятность попадания того или иного числа событий на интервал времени t зависит только от длины этого интервала и не зависит, где этот интервал находится на оси времени, то такой поток называется стационарным.

Интенсивность потока  не является функцией времени ( = const).

Отсутствие последействия.

Если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них не зависит от числа событий, попадающих на другие, то такой поток называется потоком с отсутствием последействия. Этот поток не имеет памяти.

Ординарность.

Если вероятность попадания 2-х и более событий на элементарный интервал времени t пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события, то такой поток называется ординарным.

P₁ >> P_n, где n = 2, 3, ...

Для простейшего потока характерно:

a^k

P(k, a) = e^-a (10.1)

k!

f() = e^- (10.2)

 - интенсивность потока

 = 1/  (10.3)

2) Нестационарный пуассоновский поток:

Основная характеристика (t) - мгновенная плотность потока

m(t + t) - m(t)

(t) = lim (10.4)

t0 t

где m(t) - среднее число событий, которое происходит на элементарном участке времени t,

(t)  const.

Для такого потока:

a_m

P_m(, t₀) = e^-a (10.5)

m!

t₀ + 

a =  (t)dt (10.6)

t₀

3) Поток Пальма:

Если промежутки времени между последовательными событиями ₁, _2, ... являются независимыми СВ, то такой поток называется потоком Пальма. Частным случаем этого потока является простейший поток, для которого все интервалы - это независимые СВ, имеющие экспоненциальный закон распределения. Нестационарный поток не является потоком Пальма.

4) Поток Эрланга:

Этот поток получается из простейшего путем рассеивания последнего.

Поток Эрланга k-го порядка получается из простейшего, если сохранить каждую (k + 1) точку простейшего и выбросить все остальные.

()^k

f_k() = e^- (10.7)

k!

II. Поток обслуживания (U):

f(^обсл) = e^{-обсл} (10.8)

 - интенсивность обслуживания

III. Состояние элементов во времени(Z):

Процесс функционирования П_i можно представить как процесс изменения его состояния во времени. Переход в новое состояние означает изменение количества заявок, которое в нем находится.

Z_i = { Z_i^н , Z_i^к } (10.9)

Z_i^н - состояние накопителя,

Z_i^к - состояние канала.

Если Z_i^н = 0, значит очереди нет, если Z_i^к = 0, значит канал свободен, если Z_i^к = =1, значит канал занят.

IV. Схема сопряжения ( R ):

Могут быть различные композиции элементарных приборов. Если элементарные приборы соединены параллельно, то речь идет о многоканальной СМО.

K_i1

H_i

K_i2

K_in

H_1i K_1i



H_2i K_2i

H_ni K_ni

Если элементарные приборы соединены последовательно, то речь идет о многофазной системе. Если соединить последовательно эти 2 прибора, то получим многофазную единую систему.

V. Собственные параметры ( H):

Под собственными параметрами понимается:

1) количество фаз;

2) количество каналов в каждой фазе;

3) количество накопителей;

4) емкость каждого накопителя.

В зависимости от емкости накопителя СМО могут быть:

1) с потерями, когда накопителя нет;

2) с ожиданием ( имеет бесконечную очередь );

3) системы смешанного типа ( очередь ограничена ).

VI. Алгоритм функционирования (А), который определяет правила поведения заявок в системе в различных ситуациях:

В зависимости от места возникновения ситуации существуют различные правила ожидания заявок в системе и правила обслуживания заявок в канале.

Правила ожидания:

1) первый пришел, первый обслужился (FIFO);

2) по минимальному времени ожидания;

3) в соответствии с различными приоритетами.

Приоритеты могут быть:

1) статические. Приоритеты присваиваются заранее и не зависят от состояния заявки в системе;

2) динамические. Приоритеты присваиваются в процессе моделирования и могут меняться в зависимости от ситуаций.

3) относительные. С таким приоритетом заявка ждет окончания обслуживания предыдущей заявки.

4) абсолютные. В этом случае заявка не ждет окончания обслуживания предыдущей заявки, а прерывает ее.

Правила выбора канала:

1) заявка попадает в первый освободившийся канал;

2) по жребию ( случайным образом ).

В системе должен быть предусмотрен отказ.

Т.о. СМО (Q-схему) можно представить в виде следующей шестерки:

Q = {, U, Z, R, H, A} (10.10)

где  - входной поток,

U - поток обслуживания,

Z - состояния системы,

R - схема сопряжения,

H - собственные ( внутренние ) параметры,

A - алгоритм поведения заявки в системе.