2. Структура моделей

В структуру моделей должны войти:

I. Компоненты модели.

II. Переменные.

III. Параметры.

IV. Законы функционирования элементов системы и в целом системы.

V. Ограничения.

VI. Функционалы качества и целевые функции.

VII. Схема взаимодействия элементов системы между собой.

I. Под компонентами модели понимаются элементы системы или ее подсистемы.

II. Процесс функционирования сложной системы представим как последовательную смену состояний во времени на интервале [t₀, t₁].

Пусть состояние системы в каждый момент t[t₀, t₁] характеризуется набором

z₁, z₂,  z_n = { z_l }_l=1,n (2.1)

В общем случае при t - var z_l есть набор функций времени:

z(t) = { z₁(t),  , z_n(t) } = { z_l(t) }_l=1,n (2.2),

где каждое z_l - это характеристика состояния системы, и для конкретного момента времени t ей соответствует точка в n-мерном пространстве, и мы говорим о мгновенном состоянии.

Процессу функционирования соответствует некоторая фазовая траектория.

Каждая z_l является в общем случае вектор-функцией времени.

Пусть мы имеем t₀ - некоторое начальное состояние, тогда

z(t₀) = {z₁⁰,  , z_n⁰} = {z_l⁰}_l=1,n (2.3)

v₁(t)  v_p(t)

x₁(t) y₁(t)

. .

. z(t), z(t₀) .

x_r(t) y_m(t)

Рисунок 2.1 - процесс функционирования сложной системы.

X(t) = { x₁(t),  , x_r(t) } = { x_i(t) }_i=1,r (2.4)

V(t) = { v₁(t),  , v_p(t) }= { v_j(t) }_j=1,p (2.5)

Y(t) = {y₁(t),  , y_m(t) } = { y_k(t) }_k=1,m (2.6)

(2.4) - (2.6) в общем случае все являются вектор-функциями времени. Каждая из составляющих является в свою очередь тоже функцией времени. Например,

z₁(t) = { z₁₁(t),  , z_1n(t) } и т. д.

Пример - цех (станки, персонал, ). Для V(t) пример - электростанция, транспортный процесс.

III. Параметры(А) - это некоторые составляющие, которые остаются постоянными на всем интервале моделирования.

Пример - пуассоновское распределение.

IV. Законы функционирования системы:

Z(t) = F[ z(t₀), X, V, t, A] (2.7)

Y(t) = [ z(t₀), X, V, t, A] (2.8)

F и  в общем случае - это некоторые операторы, где

F - оператор переходов

 - оператор выходов

F и  могут быть функциями, функционалами, логическими условиями, алгоритмами, таблицами и т. д. Задача моделирования - определить, что такое F и . Для имитационной модели F и  - это алгоритмы, описывающие поведение системы.

Время t может быть представлено через некоторый интервал времени t. Как правило эти t при моделировании являются const. Тогда T - интервал моделирования мы можем представить:

T = mt (2.9),

где m - число интервалов дискретизации.

Если время представляется так, то речь идет о дискретной модели. В соответствии с (2.9) может меняться реальное, либо модельное, либо системное время. Это зависит от того, в каком времени мы будем моделировать.

Для статической стохастической модели:

Z = F {Z₀, X, V, A} (2.10)

Для статической детерминированной модели:

Z = F {Z₀, X, A} (2.11)

Для динамической детерминированной модели:

Z(t) = F {Z₀, X, A, t} (2.12)

В качестве операторов перехода для (2.12) могут быть различные автоматы (Мили, Мура).

Для динамической стохастической модели:

Z(t) = F {Z₀, X, V, t, A} (2.13)

Если t дискретна, то F может быть определено в виде вероятностных автоматов. Если t непрерывна, а дискретными являются X и Y, то речь идет о событиях (дискретно-стохастическая модель с непрерывным временем), в этом случае идет речь о системах массового обслуживания (СМО) и марковских процессах.

Все переменные разделяют на экзогенные (независимые) и эндогенные (зависимые). Экзогенные - V, X, эндогенные - Z, Y.

Также переменные делят на управляемые и неуправляемые.

Если F и  - случайные операторы, то при помощи математических моделей однозначно определяется распределение вероятностей для характеристик состояния системы.

V. Ограничения представляют собой установленные пределы изменения значений переменных или ограничивающие условия распределения и расходования тех или иных средств (энергии, топлива и т.д). Математически ограничения как правило имеют форму неравенств. Ограничения делят на искусственные (вводимые разработчиком) и естественные (присущие самой системе).

VI. Под показателем эффективности функционирования системы понимают такую числовую характеристику, которая оценивает степень приспособленности системы к выполнению задач, стоящих перед ней.

Вся проблема формирования критериев качества и показателей эффективности сводится к следующей структуре (рисунок 2.2):

структура проблемы формирования

критериев качества

определение критериев упорядочение

качества критериев

содержание желаемое временное

значение определение

Рисунок 2.2 - структура проблемы формирования критериев качества.

Содержание:

Для того, чтобы определить содержание критериев, необходимо решить задачу декомпозиции целей от уровня абстрактной цели до целей, оцениваемых конкретными показателями эффективности на уровне хозяйственных механизмов (рисунок 2.3).

- абстрактная цель (официальная)

- определенные относительные подцели

- количественные подцели на уровне

хозяйственных альтернатив

Рисунок 2.3 – система целей.

Пример - больница, поликлиника.

Желаемое значение:

Нужно определить: решается ли задача оптимального управления или решается задача наилучшего в некотором смысле управления. Внутри задачи оптимального управления необходимо определить: требуется ли решение задачи минимизации или максимизации критерия. А внутри задачи поиска наилучшего решения необходимо определить качество принимаемого решения.

Пример: оптимальное решение - попадание в цель, наилучшее решение - попадание в некоторую зону.

Временное определение:

Здесь необходимо найти T_{план.гор.:}

Т_{план.гор.} = min {Т_откл., Т_{инф.гор.}} (2.14)

Т_{план.гор.} (время планируемого горизонта) - это интервал моделирования,

Т_откл. (время отклика) - это временной интервал, когда сохраняется причинно-следственная связь между введенным возмущением (управлением) и откликом в системе,

Т_{инф.гор.} (время информационного горизонта) - это временной интервал, на котором расхождение между прогнозом и реальным процессом меньше заданной точности.

Упорядочение критериев:

Для сложных систем как правило ставится многокритериальная задача, и на этом этапе необходимо выбрать схему компромисса. Как правило в схеме компромисса весовые коэффициенты окончательно определяются экспертами.