8.4. Моделирование испытаний в схеме случайных событий

1) Моделирование случайных воздействий:

Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события. Пусть СЧ X_i - это возможные значения случайной величины , равномерно распределенной на интервале [0,1]. Необходимо реализовать случайное событие А, которое наступает с заданной вероятностью P. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение X_i случайной величины  удовлетворяет неравенству X_i  P, тогда вероятность наступления события А определяется как P(A):

_P

P(A) =  dx = P

⁰

А вероятность того, что событие А не наступит: P(A ) = 1 - P(A)

Пример:

Р_отказ. = 0,3; Р_норм. = 0,7

ДСЧ с норм. з-ном

распред-я

нет

X_i  0,3

да работа

отказ

2) Группа событий (метод розыгрыша по жребию):

Пусть А_1,  А_s- полная группа событий, Р₁,  Р_s - вероятность наступления этих событий.

Определим A_m как событие, состоящее в том, что выбранное значение X_i cлучайной величины  удовлетворяет неравенству l_m-1  X_i  l_m,

r l_m

где l_r =  P_i. Тогда P(A_m) =  dx = P_m

i=1 l_m-1

3) Моделирование испытаний, состоящих из двух независимых простых событий:

P(A), P(B) - вероятности наступления событий А и В соответственно.

P(AB) = P(A)P(B)

P( AB) = P(A)P(B) = P(A)[1 -P(B)]

P(AB) = P(A)P(B) = [1 - P(A)]P(B)

P(AB) = P(A)P(B) = [1- P(A)][1- P(B)]

4) Моделирование сложного события, состоящего из зависимых событий:

P(A), P(B)

P(B/A)

P(B/A) - ?

Применим формулу Байеса:

P(B) = P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A) (8.3)

P(B/A) = [P(B) - P(A)P(B/A)] / P(A)

Исход моделируется также, как и при независимых испытаниях (2 подхода).

8.5. Формирование возможных значений св

с заданным законом распределения

I. Точный универсальный (прямой) метод:

Теорема:

Если СВ  имеет функцию плотности распределения f_(y), то распределение СВ



 =  f_(y)dy (8.4) имеет равномерный закон распределения в интервале [0,1].

-

Чтобы получить число, принадлежащее совокупности СЧ {y_i}, имеющее f_(y), необходимо разрешить относительно y_i уравнение:

y_i

 f_(y)dy = x_j (8.5)

-

Пример: необходимо получить последовательность СЧ, имеющих экспоненциальный закон распределения f(y) = e^-y

y_i y_i

 f(y)dy = x_j =  e^-ydy = -e^-yi + 1 = x_j

0 0

ln (1 - x_j) = -y_i , y_i = -1/  ln x_j (8.6)

Достоинства метода: он дает самые точные результаты.

Недостатки метода: он используется тогда, когда:

- возможно взять 

- возможно решить уравнение относительно y_i

II. На базе центральной предельной теоремы теории вероятности (приближенный неуниверсальный метод):

1) получение последовательности СЧ с нормальным законом распределения:

Пусть требуется получить последовательность СЧ {y_i}, имеющих нормальное распределение с математич. ожиданием а, среднеквадратич. отклонением  и функцией плотности распределения f(y):

f(y) = 1/2 exp[ -(y-a)²/2²] (8.7)

Теорема:

Если независимые, одинаково распределенные СВ X₁,  X_n имеют математич. ожидание а₁ и среднеквадратичное отклонение ₁, то сумма этих чисел асимптотически стремится к нормальному распределению с а = а₁n (11.6)

и  = ₁n (8.8).

При моделировании в качестве базового распределения используется равномерное на интервале [0,1]:

a = 1/2n (8.9) ;  = 1/23n (8.10)

Пример:

Получить последовательность СЧ с нормальным законом распределения,

а = 5,  = 1.

a =1/2n , n = 16 ;  = 1/23n , n =12

2) получение последовательности СЧ с пуассоновским законом распределения:

Теорема:

Если Р - вероятность наступления события А при одном испытании, то вероятность наступления m событий при n независимых испытаниях, когда

n  , P  0, nP = a (8.11) асимптотически равна P(m,a):

a^m

P(m,a) = e^-a (8.12)

m!

и носит пуассоновский закон распределения.

Алгоритм:

P = 0,1 - 0,2

Из (8.11) определяется n - количество испытаний

n

ДСЧ с равномер. m = k

з-ном распред-я

X_i

да

X_i  P k = k +1

нет

III. Методы получения СЧ с нормальным законом распределения:

1) метод Бокса-Маллера:

y_n = (-2 ln U_n)^1/2 cos 2U_n+1 (8.13)

y_n+1 = (-2 ln U_n)^1/2 sin U_n+1 (8.14)

Числа U_n и U_n+1 равномерны на [0,1], y_n и y_n+1 - это нормальные числа с математич. ожиданием = 0 и  = 1.

Тогда числа с математич. ожиданием  и :

x_n =  + y_n

x_n+1 =  + y_n+1 (8.15)

IV. Метод, основанный на аппроксимации (приближенный универсальный):

Пусть требуется получить {y_i} с f_(y), возможные значения которой лежат в интервале (a, b).

f_(y)

f_(y)

a a_k a_k+1 b y

Представим f_(y) в виде кусочно постоянной функции, т.е. разобьем (a, b) на m интервалов таким образом, чтобы вероятность попадания СВ  в любой интервал (a_k , a_k+1) была одинаковой и постоянной.

y_i = a_k + y_ik

a_k+1

 f_(y)dy = 1/m (8.16)

a_k

Для того, чтобы найти a_k, необходимо решить (8.16) относительно a_k+1. (8.16) решается до процесса моделирования.

f(x) = 1/(b-a)

y_ik

x_j =  1/(a_k+1 - a_k) dy , y_ik = x_j(a_k+1 - a_k)

0

y_i = a_k + x_j(a_k+1 - a_k) (8.17)

Алгоритм формирования чисел:

а) до процесса моделирования формируется таблица значений a_k;

б) в процессе имитации формируется СЧ x_j с равномерным законом распределения и в соответствии со значением x_j выбирается интервал a_k, a_k+1;

в) формируется следующее СЧ x_j+1 в интервале [0,1] с равномерным законом распределения и в соответствии с (8.17) получаем y_i.