8.6. Формирование реализаций случайных векторов

I. Метод, основанный на точном универсальном методе (используется для получения непрерывных векторов):

Пусть требуется получить последовательность возможных значений y_i, z_i случайных величин , , заданных совместной функцией плотности f(у, z).

Алгоритм:

1) находим частную функцию плотности распределения СВ 



f_(z) =  f(y, z)dy (8.18)

-

2) определяется СЧ z_i с функцией плотности распределения f_(z), используя прямой метод

z_i

x_j =  f_(z)dz (8.19)

-

где x_j - СВ с равномерным законом распределения

3) определяется условное распределение СВ 

f(y/z_i)

f_(y/z_i) = (8.20)

f_(z_i)

4) определяется значение СЧ y_i, используя прямой метод

y_i

x_j+1 =  f_(y/z_i)dy (8.21)

-

Недостатки и достоинства этого метода такие же, как и у прямого метода с заданным законом распределения. Этот метод используется также и для 2-х и

3-х мерных случаев.

II. Метод, основанный на методе розыгрыша по жребию:

СВ можно задать проекциями на оси координат, причем эти проекции являются СВ, которые описываются совместными законами распределения. В простейшем случае, когда рассматривается СВ, расположенная на плоскости XOY, эта СВ может быть задана совместным законом распределения в проекциях  и  на оси OX и OY.

Рассмотрим дискретный случайный процесс, когда двумерная СВ ( , ) является дискретной и ее составляющие  принимают значения x_1,  x_n , а СВ  принимает значения y₁,  y_n. Каждой паре (x_i, y_j) соответствует вероятность P_ij, при этих предположениях можно найти частное распределение СВ , где каждому возможному значению x_i соответствует вероятность P_i

n

P_i =  P_ij (8.22)

j=1

y

(x_i, y_j)

y_j

x_i x

Алгоритм:

P₁ = P₁₁ + P₁₂ +  +P_1n

_{. . .} (8.23)

_{. . .}

P_n = P_n1 + P_n2 +  + P_nn

Берем z_k - СВ с равномерным законом распределения в интервале [0,1] - и, используя метод розыгрыша по жребию, определяем проекцию x_i.

Берем СВ z_k+1 с равномерным законом распределения в интервале [0, P_i] и, используя метод розыгрыша по жребию, определяем составляющую y_j, исходя из того, что уже определили x_i.

Достоинства и недостатки те же, что и в методе розыгрыша по жребию.

III. Метод с использованием корреляционной матрицы:

Пусть задан случайный вектор через математич. ожидание а₁,  ,а_n, где каждое a_i - это математич. ожидание по соответствующей составляющей, и задана корреляционная матрица:

K₁₁ K₁₂ . . . K_1n

K₂₁ K₂₂ . . . K_2n

K = . . .

. . .

K_n1 K_n2 . . . K_nn

где K_ij = K_ji и является корреляционным моментом

K_ij при i = j - это дисперсия.

Пусть имеется последовательность {y_i} независимых СЧ с мат.ожиданием а и дисперсией ². {y_i} должна иметь тот же закон распределения, что и вектор.

Тогда реализации Z_i случайного вектора удобно определить в виде следующего линейного преобразования:

Z₁ = c₁₁ (y₁ - a) + a₁

Z₂ = c₁₂ (y₁ - a) +c₂₂ (y₂ - a) +a₂ (8.24)

. . . .

Z_n = c_1n (y₁ - a) + c_2n (y₂ - a) + ... + c_nn (y_n -a) +a_n

где соответствующие коэффициенты с определяются, исходя из следующего преобразования:

K_ij = c_1ic_1j² + c_2ic_2j² + ... + c_iic_ij² (8.25)

Алгоритм:

1. Формируют СЧ y с законом распределения, соответствующим закону распределения вектора;

2. Из (8.25) определяют коэффициенты c_ij;

3. Значения c_ij подставляем в (8.24) и определяем составляющие вектора Z_i.