- •Глава 1. Теория множеств
- •1. Основные понятия теории множеств
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Операции над множествами
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •3. Отображения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •4. Мощность множества
- •0/1 1/1 2/1 3/1 . . .
- •1/2 2/2 3/2 4/2 . . .
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •5. Свойства счетных множеств
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •6. Свойства множества действительных чисел
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •7. Множества мощности континуума и выше
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •8. Нечеткие множества. Основные понятия
- •Примеры записи нечеткого множества
- •Основные характеристики нечетких множеств
- •Примеры нечетких множеств
- •9. Методы построения функций принадлежности нечетких множеств
- •10. Операции над нечеткими множествами
- •Свойства операций и .
- •11. Алгебраические операции над нечеткими множествами
- •12. Принцип обобщения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 2. Бинарные отношения и функция выбора
- •1. Бинарные отношения и операции над ними
- •Примеры решения
- •2. Свойства операций над отношениями
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •3. Способы задания бинарных отношений
- •Пример решения
- •4. Свойства бинарных отношений
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •5. Специальные бинарные отношения. Упорядочение и безразличие
- •6. Слабый порядок
- •XIслy ((X, y) Pсл и (y, X) Pсл)
- •XIслy ((y, X)Pсл и (X, y)Pсл).
- •7. Разбиение и эквивалентность
- •8. Качественный порядок
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •9. Нечеткие отношения. Основные понятия
- •10. Операции над нечеткими отношениями
- •11. Функция выбора. Основные понятия
- •12. Классификация функций выбора
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •13. Задача векторной оптимизации
- •Контрольные вопросы и задания
- •Приложение Метод математической индукции
- •Контрольные вопрсы и задания
- •Примеры решения
- •Библиографический список
10. Операции над нечеткими множествами
Включение. Пусть A и B – нечеткие множества на уни-версальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если x E A(x) > B(x). Обозначение: A B.
Равенство. A и B равны, если xE A(x) = B(x). Обозначение: A = B.
Дополнение. Пусть = [0, 1], A и B – нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если xE A(x) = 1 – B(x). Обозначение: B = или A =. Очевид-но, что. (Дополнение определено для M = [0,1], но оче-видно, его можно определить для любого упорядоченного M).
Пересечение. AB – наибольшее нечеткое подмно-жество, содержащееся одновременно в A и B;
A B(x) = min{A(x), B(x)}.
Объединение. А В – наименьшее нечеткое подмно-жество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности
A B(x) = max {(A(x), B(x)}.
Разность. А \ B = А с функцией принадлежности:
A\B(x) = min { A(x), 1 – B(x)}.
Например.
Пусть: A = 0,4/ x1 0,2/ x2 0/ x3 1/ x4;
B = 0,7/ x1 0,9/ x2 0,1/ x3 1/ x4; C = 0,1/ x1 1/ x2 0,2/ x3 0,9/ x4.
Здесь:
1. A B, т.е. A содержится в B, С несравнимо ни с A, ни с B.
2. A B C.
3. = 0,6/ x1 0,8/ x2 1/ x3 0/ x4; = 0,3/ x1 0,1/ x2 0,9/ x3 0/ x4.
Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения A(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.
Рис. 1. Рис. 2
Рис. 3. Рис. 4.
На рис. 1 темная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. На Рис. 2 – 4 даны , A, A, соответственно.
Свойства операций и .
Пусть А, В, С – нечеткие множества, тогда выполняются следующие соотношения:
а) – коммутативность;
б) – ассоциативность;
в) – идемпотентность;
г) – дистрибутивность;
д) A = A, где – пустое множество, т.е. (x)=0 xE;
A = ;
AE = A, где E – универсальное множество;
AE = E;
е) – теоремы де Моргана.
В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае A, A E, что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств.
11. Алгебраические операции над нечеткими множествами
Алгебраическое произведение A и B обозначается AB и определяется так:
xE AB (x) = A(x)B(x).
Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А + В и определяется так:
xE A+В(x) = A(x) + B(x)A(x)B(x).
Для операций {, +} выполняются свойства:
–коммутативность;
–ассоциативность;
A = , A+ = A, AE = A, A+E = E ;
–законы де Моргана.
Не выполняются:
–идемпотентность;
–дистрибутивность;
а также A = , A+=E.
Докажем первый закон де Моргана. Обозначим A(x) через a, B(x) через b. Тогда в левой части равенства для каждого элемента х имеем: 1– ab, а в правой, согласно формуле алгебраического сложения: (1– a) + (1– b) – (1 – a)(1 – b) = 1 – ab.
Докажем, что первое свойство дистрибутивности не выполня-ется, т.е. A(B + C) (AB) + (AC). Для левой части имеем: a(b+c–bc) = ab + ac – abc; для правой: ab + ac – (ab)(ac) = ab + ac + a2 bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при aa2.
Замечание. При совместном использовании операций {, ,,} выполняются свойства:
А(B C) = (AB) (A C);
А (B C) = (AB) (AC);
А+(B C) = (A+B) (A+C);
А+ (B C) = (A+B) (A+C).
Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A1, A2, ..., An – нечеткие подмножества универсальных множеств E1, E2, ..., En соответственно. Декартово произведение A = A1A2 ...An является нечетким подмножеством множества E = E1E2 ...En с функцией принадлежности:
A(x1, x1, ..., xn) = min{ A1(x1), A2(x2) , ... , Ai(xn) }.