- •Глава 1. Теория множеств
- •1. Основные понятия теории множеств
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Операции над множествами
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •3. Отображения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •4. Мощность множества
- •0/1 1/1 2/1 3/1 . . .
- •1/2 2/2 3/2 4/2 . . .
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •5. Свойства счетных множеств
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •6. Свойства множества действительных чисел
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •7. Множества мощности континуума и выше
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •8. Нечеткие множества. Основные понятия
- •Примеры записи нечеткого множества
- •Основные характеристики нечетких множеств
- •Примеры нечетких множеств
- •9. Методы построения функций принадлежности нечетких множеств
- •10. Операции над нечеткими множествами
- •Свойства операций и .
- •11. Алгебраические операции над нечеткими множествами
- •12. Принцип обобщения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 2. Бинарные отношения и функция выбора
- •1. Бинарные отношения и операции над ними
- •Примеры решения
- •2. Свойства операций над отношениями
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •3. Способы задания бинарных отношений
- •Пример решения
- •4. Свойства бинарных отношений
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •5. Специальные бинарные отношения. Упорядочение и безразличие
- •6. Слабый порядок
- •XIслy ((X, y) Pсл и (y, X) Pсл)
- •XIслy ((y, X)Pсл и (X, y)Pсл).
- •7. Разбиение и эквивалентность
- •8. Качественный порядок
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •9. Нечеткие отношения. Основные понятия
- •10. Операции над нечеткими отношениями
- •11. Функция выбора. Основные понятия
- •12. Классификация функций выбора
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •13. Задача векторной оптимизации
- •Контрольные вопросы и задания
- •Приложение Метод математической индукции
- •Контрольные вопрсы и задания
- •Примеры решения
- •Библиографический список
Контрольные вопросы и задания
1. Доказать, что если отношение R транзитивно, то R–1 также является транзитивным.
2. Доказать, что из асимметричности отношения R следует асимметричность R–1.
3. Доказать, что из антисимметричности отношения R следует антисимметричность R–1.
4. Доказать, что из рефлексивности отношения R следует рефлексивность R –1.
5. Доказать, что для симметричности отношения R необходимо и достаточно, чтобы Rd было симметрично.
6. Отношение R симметрично тогда и только тогда, когда R = R-1.
7. Доказать, что если отношения R1 и R2 рефлексивны, то рефлексивны отношения R1 R2 , R1 R2 , R1–1.
8. Доказать, что если отношения R1 и R2 антирефлексивны, то антирефлексивны и отношения R1 R2, R1 R2, R1–1. Показать, что композиция R1 o R2 антирефлексивных отношений может не быть антирефлексивной.
9. Доказать, что если отношения R1 и R2 симметричны, то симметричныны отношения R1 R2, R1 R2, R1–1, R1 o R1–1.
10. Доказать, что если отношения R1 и R2 антисимметричны, то антисимметричны также R1 R2 и R1–1.
11. Пусть отношения R1, R2 – симметричны. Доказать, что для того чтобы R1 o R2 было симметрично необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство R1 o R2 = R2 o R1.
12. Пусть отношения R1 и R2 антисимметричны. Объединение R1 R2 антисимметрично тогда и только тогда, когда R1 R2-1 .
13. Доказать, что если отношение R асимметрично, то R R1 асимметрично для любого отношения R1.
14. Доказать, что объединение R1R2 асимметричных отношений R1 и R2 асимметрично тогда и только тогда, когда R1R2-1= = .
15. Доказать, что если отношение транзитивно, то его симметричная и асимметричная части тоже транзитивны.
16. Пусть отношения R1, R2 транзитивны и R1 транзитивно относительно R2. Доказать, что тогда R1 R2 также является транзитивным.
17*. Доказать, что если отношения R1, R2 рефлексивны, то справедливо включение R1R2 R1oR2 .
18. Доказать, что отношение R асимметрично тогда и только тогда, когда R = ( Rd)a.
19. Доказать, что для того чтобы отношение R было полным необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество
Ra= Rd.
20. Доказать, что если отношения R1, R2 рефлексивны, то их композиция тоже рефлексивна.
21*. Доказать, что отношения R (R Rd ) = R (R )s полны.
22. Доказать, что если отношение R полно, тоR R–1 и R–1 ==R (R R–1).
23. Доказать, что если отношение R асимметрично, то R–1 R иR = R–1(R Rd).
24. Доказать, что композиция полных отношений R1 и R2 является полным отношением.
25*. Отношение Р негатранзитивно тогда и только тогда, когда xPy zА, xPz или zPy.
26. Доказать, что если R рефлексивно, то Rd антирефлексивно, если R антирефлексивно, то Rd рефлексивно.
Доказать, что полное отношение рефлексивно.
28. Доказать, что асимметричное отношение антирефлексивно.
29*. Доказать, что отношение R негатранзитивно тогда и только тогда, когда Rd транзитивно.
Пусть отношение R симметрично, транзитивно и для любого x существует такой y, что (x, y)R. Доказать, что оно рефлексивно.
Доказать, что ацикличное отношение асимметрично.
Доказать, что если отношение антирефлексивно и транзитивно, то оно ациклично.
Доказать, что асимметричное и негатранзитивное отношение транзитивно.
Доказать, что если отношение антирефлексивно, транзитивно и слабо полно, то оно негатранзитивно.
Доказать, что дополнение и двойственное отношение к антисимметричному и рефлексивному отношению R являются слабо полными.
Доказать, что любое отношение R симметричное и антисимметричное одновременно, является транзитивным.
Доказать, что для того чтобы отношение R было асимметричным необходимо, чтобы Rd иR были полными.
Построить бинарное отношение:
а) рефлексивное, симметричное, не транзитивное;
б) рефлексивное, антисимметричное, не транзитивное;
в) рефлексивное, не симметричное, транзитивное;
г) не рефлексивное, антисимметричное, транзитивное;
д) симметричное, транзитивное, но не рефлексивное.