- •Глава 1. Теория множеств
- •1. Основные понятия теории множеств
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Операции над множествами
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •3. Отображения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •4. Мощность множества
- •0/1 1/1 2/1 3/1 . . .
- •1/2 2/2 3/2 4/2 . . .
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •5. Свойства счетных множеств
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •6. Свойства множества действительных чисел
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •7. Множества мощности континуума и выше
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •8. Нечеткие множества. Основные понятия
- •Примеры записи нечеткого множества
- •Основные характеристики нечетких множеств
- •Примеры нечетких множеств
- •9. Методы построения функций принадлежности нечетких множеств
- •10. Операции над нечеткими множествами
- •Свойства операций и .
- •11. Алгебраические операции над нечеткими множествами
- •12. Принцип обобщения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 2. Бинарные отношения и функция выбора
- •1. Бинарные отношения и операции над ними
- •Примеры решения
- •2. Свойства операций над отношениями
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •3. Способы задания бинарных отношений
- •Пример решения
- •4. Свойства бинарных отношений
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •5. Специальные бинарные отношения. Упорядочение и безразличие
- •6. Слабый порядок
- •XIслy ((X, y) Pсл и (y, X) Pсл)
- •XIслy ((y, X)Pсл и (X, y)Pсл).
- •7. Разбиение и эквивалентность
- •8. Качественный порядок
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •9. Нечеткие отношения. Основные понятия
- •10. Операции над нечеткими отношениями
- •11. Функция выбора. Основные понятия
- •12. Классификация функций выбора
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •13. Задача векторной оптимизации
- •Контрольные вопросы и задания
- •Приложение Метод математической индукции
- •Контрольные вопрсы и задания
- •Примеры решения
- •Библиографический список
Контрольные вопросы и задания
1. Доказать, что нестрогое включение обладает свойством рефлексивности: A A.
2. Показать, что {{1,2}, {2,3}} {1, 2, 3}.
3. Доказать, что для любых множеств A1, A2, . . . , An если справедливы включения A1 A2 ... An A1, то A1 = A2 = ... =An.
2. Операции над множествами
Определим следующие операции.
1. Объединение. Пусть А и В – произвольные множества. Их объединением называется множество С = А В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.
2. Пересечение. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих А и В. Обозначается так: C = A B.
3. Разность. Разность множеств А и В – это множество С (С = А \ В), состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Если В А, то разность С = А \ В называется дополнением В до А.
Считается, что все множества включены в некоторое множество U, которое называют универсальным множеством. В этом случае дополнение какого-либо множества А до U обозначается С(А) или .
4. Симметричная разность. По определению симметричная разность двух множеств А и В – это множество
С = А В = (А \ В) (В \ А).
Основные свойства операций.
Коммутативность:
А В = В А; А В = В А.
2. Ассоциативность:
(А В) С = А (В С) = А В С;
(А B) С = А (В С) = А В С.
Свойствами коммутативности и ассоциативности обладают многие операции. Чтобы не создалось впечатления, что коммутативность и ассоциативность являются общими свойствами всех операций приведем пример неассоциативной операции – возведение в степень: (23)2 = 82 = 64; = 28 = 512. Некоммутативной операцией является операция умножения матриц (АВ ВА).
3. Взаимная дистрибутивность:
а) (А В) С = (А С) (В С);
б) (А B) С = (А С) (В С).
Для вещественных чисел выполняется свойство дистрибутивности операции умножения относительно сложения a(b + с) = = аb + ас. Операции и множеств – взаимно дистрибутивны:
Докажем равенство а).
Предположим, что x(А В) С, тогда xС и xА или xВ. Рассмотрим первый случай xС и xА. Тогда хА С, а значит, по определению объединения, х(А С) (В С).
Во втором случае, т.е. при xС и xВ получаем, что x (В С) (А С). Таким образом, мы доказали включение
[(А В) С] [(А С) (В С)].
Докажем обратное включение. Пусть х(А С) (В С), тогда хА С или хВ С. В первом случае хА и хС. Во втором случае хВ и xС. В обоих случаях получаем, что хС и хА или хВ. Следовательно, х(А В) С. Тем самым доказано включение (А С) (В С) (А В) С.
Таким образом, (А В) С = (А С) (ВС), что и требовалось доказать.
4. Идемпотентность:
A A = A; A A = A.
5. Законы поглощения:
(A B) A = A; (A B) A = A.
6. Свойства нуля:
A =A; A = .
7. Свойства единицы:
A U =U; A U = A.
8. Инволютивность:
.
Законы де Моргана:
; .
Свойства дополнения:
; .
Законы де Моргана можно обобщить на произвольное количество множеств. Пусть А1, А2, . . . – некоторые множества и пусть все они включены в S (А1, А2, . . . S). Тогда выполняются следующие соотношения.
11. – дополнение объединения множеств равно пересечению их дополнений.
12. – дополнение пересечения множеств равно объединению их дополнений.
Докажем свойство 11. Пусть х, тогда х, значит, x не принадлежит ни одному из множеств Ak (k,хАk), следовательно, по определению дополнения, хS \Аk для любого k. Отсюда вытекает, что х.
Обратно, пусть х. Тогда этот элемент принадлежит каждому из множеств S \ Ak (k, хS\ Ak). Следовательно, хAk для любого k, а, значит, хи поэтому х, что и требовалось доказать.