- •Глава 1. Теория множеств
- •1. Основные понятия теории множеств
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Операции над множествами
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •3. Отображения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •4. Мощность множества
- •0/1 1/1 2/1 3/1 . . .
- •1/2 2/2 3/2 4/2 . . .
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •5. Свойства счетных множеств
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •6. Свойства множества действительных чисел
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •7. Множества мощности континуума и выше
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •8. Нечеткие множества. Основные понятия
- •Примеры записи нечеткого множества
- •Основные характеристики нечетких множеств
- •Примеры нечетких множеств
- •9. Методы построения функций принадлежности нечетких множеств
- •10. Операции над нечеткими множествами
- •Свойства операций и .
- •11. Алгебраические операции над нечеткими множествами
- •12. Принцип обобщения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 2. Бинарные отношения и функция выбора
- •1. Бинарные отношения и операции над ними
- •Примеры решения
- •2. Свойства операций над отношениями
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •3. Способы задания бинарных отношений
- •Пример решения
- •4. Свойства бинарных отношений
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •5. Специальные бинарные отношения. Упорядочение и безразличие
- •6. Слабый порядок
- •XIслy ((X, y) Pсл и (y, X) Pсл)
- •XIслy ((y, X)Pсл и (X, y)Pсл).
- •7. Разбиение и эквивалентность
- •8. Качественный порядок
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •9. Нечеткие отношения. Основные понятия
- •10. Операции над нечеткими отношениями
- •11. Функция выбора. Основные понятия
- •12. Классификация функций выбора
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения
- •13. Задача векторной оптимизации
- •Контрольные вопросы и задания
- •Приложение Метод математической индукции
- •Контрольные вопрсы и задания
- •Примеры решения
- •Библиографический список
Контрольные вопросы и задания
1. Доказать самостоятельно свойство 3б).
2. Доказать, что А В = (А В) \ (А В).
3. Доказать, что множество корней многочлена (x) = = f(x)(x) есть объединение множеств корней многочленов f(x) и (x).
4. Доказать, что пересечение множеств действительных корней многочленов f(x) и (x) совпадает с множеством действительных корней многочлена (x) = f 2 (x) + 2 (x).
Доказать тождества (5 – 17).
5. (AB) (CD) = (AC) (BC) (AD) (BD).
6. (A \ B) (B \ C) (C \ A) (A B C) = A B C.
7. A \ (BC) = (A \ B)(A \ C) = (A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \C).
8. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C).
9*.(AB) \ C = (A \ C)(B \ C) = A(B \ C) = (AB)\(AC).
10. (AB) \ C = (A \ C) (B \ C).
11. A \ (B \ C) = (A \ B) (A C).
12*. A (B C) = (A B) (A C).
13. A (B C) = (A B) C.
14. A B = B A. 16. A B = A B (A B).
15. A (A B) = B. 17. A \ B = A (A B).
Доказать включения (18 –24).
18. [ (B \ C) \ (B \ A) ] A \ C.
19. A \ C [(A \ B) (B \ C)].
20. [(A C) (B D)] [(A B) (C D)].
21. [(A1 A2 . . . An) (B1 B2 . . . Bn)]
[(A1 B1) (A2 B2) . . . (An Bn)].
22. [(A1 A2 . . . An) (B1 B2 . . . Bn)]
[(A1 B1) (A2 B2) . . . (An Bn)].
23. [(A1 \ A2) (B1 \ B2)] [(A1 B1) (A2 B2)].
24. A B [(A C) (B C)].
25. Вытекает ли из A \ B = C, что A = B C?
26. Вытекает ли из A = B C, что A \ B = C?
27. Верны ли равенства:
а) A (B \ C) = (A B) \ C; б) (A \ B) C = (A C) \ B?
Если нет, то в какую сторону имеет место включение?
28. Доказать равносильность включений A \ B C и A
(B C).
29. Доказать включение
[() \ ()] .
Показать на примере, что в общем случае здесь нет равенства.
30. Доказать включения:
а) A B [(A C) (B C)];
б) [(A B) F] [(A F) (B F)];
в) [(A B) (C D)] [(A C) (B D)].
Показать на примере, что в общем случае здесь нет равенства.
31. Доказать, что:
а) A B (A C) (B C);
б) A B (A C) (B C);
в) A B (A \ C) (B \ C);
г) A B (C \ B) (C \ A);
д) B A (A \ B) B = A;
е) (A B) C = A (B C) C A;
ж*) A (B C) A B и A C;
з) (A B) C A C и B C;
и) (A B) C A C(B) C;
к) A (B C) (A C(B)) C;
л) (A \ B) B = A B A;
м) A B CB CA;
н) A B = A B A = B;
о) A = C(B) A B = и A B = S;
п) X Y = X C(Y) Y C(X);
р) X Y = S C(X) Y C(Y) X.
Доказать тождества (32–36).
32. C(A \ B) = C(A) B.
33. A \ B = A C(B).
34. (A B) (A C(B)) (C(A) B) = A B.
35. (A B) (A C(B)) = (A B) (A C(B)) = A.
36. C[C(C(X) Y) (X C(Y))] = Y \ X.
37. Упростить выражение C[C(X Y) (C(X) C(Y))].
38. Доказать, что:
а) A B = A = B;
б) A B = A B = A B;
в) A B = C B C = A C A = B.
39. Определить операции , , \ через:
а) , ; б) , ; в) \, .
40. Пусть A, B и C – данные множества. Решить системы уравнений:
а) г)
б*) д)
в) е)