Примеры решения

Задача 6.

1) Пусть R₁, R₂ и R₁ o R₂ - отношения эквивалентности. Докажем, что R₁ o R₂ = R₂ o R₁.

Пусть (x, y)R₁ o R₂, так как R₁ o R₂ – отношение эквивалентности, то (y,x)R₁ o R₂. Последнее означает, что существует такой элемент zA, что (y, z)R₁ и (z, x)R₂. Так как R₁ и R₂ – симметричны, то (x, z)R₂ и (z, y)R₁. Следовательно, (x, y)R₂ o R₁. Обратное включение доказывается аналогично.

2) Пусть R₁ o R₂ = R₂ o R₁, покажем, что R₁ o R₂ является отношением эквивалентности.

Пусть x – произвольный элемент множества A. Так как R₁, R₂ рефлексивны, то (x, x)R₁ и (x, x)R₂, следовательно, (x,x)R₁oR₂, т.е. отношение R₁ o R₂ – рефлексивно.

Докажем его симметричность. Пусть (x, y)R₁oR₂, в силу равенства R₁ o R₂ = R₂ o R₁ получим (x, y)R₂ o R₁, т.е. существует такой zA, что (x, z)R₂, (z, y)R₁. Из симметричности R₁ и R₂ следует, что (y, z)R₁ и (z, x)R₂. Следовательно, (y, x)R₁ o R₂.

Для доказательства транзитивности достаточно показать, что (R₁ o R₂) o (R₁ o R₂)  R₁ o R₂. Действительно,

(R₁ o R₂) o (R₁ o R₂) = R₁ o (R₂ o R₁) o R₂ = R₁ o (R₁ o R₂) o R₂ =

= (R₁ o R₁) o (R₂ o R₂)  R₁ o R₂.

Задача 19.

Проверим выполнение свойств отношения частичного порядка. Так как (x, x) = x, то (x, x)R и отношение рефлексивно.

Пусть выполнены оба условия (x, y)R и (y, x)R, т.е. (x,y)=x и  (y, x) = y. Тогда x = y, так как (x, y) = (y, x) по определению функции . Следовательно, отношение антисимметрично.

Докажем его транзитивность. Пусть (x, y)R и (y, z)R, т.е. (x, y) = x и (y, z) = y. Тогда

(x, z) = ((x, y), z) = (x, (y, z)) = (x, y) = x.

Следовательно, (x,z)R, что и требовалось доказать.

9. Нечеткие отношения. Основные понятия

Пусть Е = Е₁Е₂ ...Е_n – прямое произведение универсальных множеств и М – некоторое множество принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как не-четкое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае n = 2 и М = [0, 1], нечетким отношением R между множествами X = Е₁ и Y = Е₂ будет называться функция R: (X,Y)  [0, 1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х, y)XY величину _R(x, y)[0, 1]. Обозначение: нечеткое отношение на XY запишется в виде: xX, yY: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: XX  [0,1] называется нечетким отношением на множестве X.

Примеры:

1. Пусть X = {x₁,x₂,x₃}, Y = {y₁,y₂,y₃,y₄}, М = [0, 1]. Нечеткое отношение R = X R Y может быть задано, к примеру, таблицей:

	y1	y2	y3	y4
x1	0	0	0,1	0,3
x2	0	0,8	1	0,7
x3	1	0,5	0,6	1

2. Пусть X = Y = (–, ), т.е. множество всех действительных чисел. Отношение x >> y (x много больше y) можно задать функцией принадлежности

3. Отношение R, для которого _R(x, y) =, при достаточно больших k можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к другу числа".

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (x_i, x_j) в случае X R X соединяется ребром с весом _R(x_i, x_j), в случае X R Y пара вершин (x_i, y_j) сое-диняется ребром c весом _R(x_i, y_j).

Примеры:

1. Пусть Х={x₁,x₂,x₃}, и задано нечеткое отношение R: XX [0, 1], представимое графом:

2. Пусть X={x₁,x₂} и Y={y₁,y₂,y₃}, тогда нечеткий граф вида:

задает нечеткое отношение X R Y.

Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x, y), для которых функция принадлежности положительна:

S(R) = {(x, y): _R(x, y) > 0}.

Пусть R₁ и R₂ – два нечетких отношения такие, что (x, y)XY: _R1(x, y) _R2(x, y), тогда говорят, что R₂ содержит R₁ или R₁ содержится в R₂. Обозначение: R₁R₂.

Пример:

Отношения R₁, R₂ – отношения типа y>>x (y много больше x). При k₂ > k₁ отношение R₂ содержит R₁.