8. Качественный порядок

Дополним отношение строгого упорядочения P_уп свойством транзитивности. Назовем полученное отношение качественным порядком P_кач. Рассмотрим два примера такого отношения.

1) Пусть х, у – вещественные числа. Введем качественный порядок следующим соотношением:

хР_качу  x > у + 1.

Очевидно, что в данном случае отношение Р_кач асимметрично и транзитивно, но оно не является негатранзитивным. Покажем это. Дополнение к введенному отношению определим как

хР_кач у   <=>    х  у + 1

Положим у = 0; х = 0.9; z = – 0.9. Тогда, очевидно, выполняются отношения (х, y) Р_кач ; (y, z) Р_кач ; (х, z)  Р_кач.

Т.е. условие негатранзитивности не выполняется.

Согласно рассмотренному примеру, а также доказанному ранее свойству транзитивности слабого порядка, можно сделать вывод, что асимметричное негатранзитивное отношение Р является транзитивным, но обратное не всегда верно.

2) Введем на множестве точек n-мерного евклидова пространства следующее отношение Par, называемое отношением Парето:

х, уРаr    i : х_i  y_i и   j : х_j > у_j.

Отношение Парето называется также безусловным критерием предпочтения (БКП). Оно означает, что точка x по всем координатам имеет не меньшие значения, чем точка y и хотя бы по одной координате имеется строгое превосходство. В двумерном случае данное отношение можно изобразить графически. Возможны следующие ситуации:

а) x₁ < y₁ б) x₁ > y₁ в) x₁ < y₁

x₂ > y₂ x₂ = y₂ x₂ < y₂

нет отношения Раr; есть отношение Раr, есть отношение Раr,

  x лучше y; y лучше x.

Отношение Раr является качественным порядком.

Также как и для P_уп и P_сл, на основе P_кач можно построить

производные от него отношения:

I_кач - отношение качественного безразличия;

хI_качу   ( xР_кач у) и (уР_кач х );

R_кач – нестрогий качественный порядок R_кач = Р^d _кач.

Качественный порядок также называют в литературе частичным порядком. Понятия же нестрого качественного и нестрого частичного порядков различны.

Помимо введенных выше специальных бинарных отношений дадим краткие определения некоторых других, часто встречающихся отношений.

Отношение R_част называется нестрогим частичным порядком, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Нестрогий частичный порядок можно определить по формуле R_част = P_кач   .

Рефлексивное и транзитивное бинарное отношение называется предпорядком. Симметричный предпорядок является отношением эквивалентности, антисимметричный предпорядок – нестрогим частичным порядком.

В заключение изложения теории специальных бинарных отношений приведем сводную таблицу их свойств.

	Рефл.	Антирефл.	Симм.	Асимм.	Анти-симм.	Транз.	Нега-транз.	Полн.	Ацикл.
Pуп				
Iуп			
Rуп								
Pсл									
Iсл						
Rсл								
Pкач		+							
Rкач								
Rчаст						

В предлагаемой таблице использованы следующие обозначения:

  – данным свойством отношение обладает по определению;

 – это свойство вытекает из определения.