12. Принцип обобщения

Принцип обобщения – одна из основных идей теории нечетких множеств – носит эвристический характер и используется для расширения области применения нечетких множеств на отображения. Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на множестве X со значением в множестве Y, если она каждому элементу xX ставит в соответствие элемент yY со степенью принадлежности _f(x,y). Нечеткая функция f определяет нечеткое отображение f : XY .

Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком f : XY или нечетком f : XY отображении для любого нечеткого множества А, заданного на Х, определяется нечеткое множество f(A) на Y, являющееся образом A.

Пусть f : XY заданное четкое отображение, а A = {_A(x)/х}– нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:

_f(A)(y) = ; yY,

где f ^–1(y)={x | f(x) = y}.

В случае нечеткого отображения f : XY, когда для любых xX и yY определена двуместная функция принадлежности _f(x, y), образом нечеткого множества А, заданного на Х, являет-ся нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности _f(A)(y) ={ min(_A(x),  _f (x, y) }.

Контрольные вопросы и задания

1. Пусть: A = 0,4/ x₁  0,2/ x₂  0/ x₃  1/ x₄;

B = 0,7/ x₁  0,9/ x₂  0,1/ x₃ 1/ x₄; C = 0,1/ x₁  1/ x₂  0,2/ x₃  0,9/ x₄.

Построить множества: а) AB;

б) АВ;

в) А \ В; В \ А.

2. Для универсального множества E = {Запорожец, Жигули, Мерседес, Феррари} прямым методом построить нечеткие множества: а) “скоростные”;

б) “средние”;

в) “тихоходные”.

3. Пусть E = {1, 2, 3, ..., 100} и соответствует понятию “возраст“. Прямым методом построить нечеткие множества

а) “пожилой”;

б) “пора замуж”;

в) “призывник”,

и построить аппроксимирующую формулу для соответсивующих функций принадлежности.

4. В условиях задачи 2 построить нечеткие множества а) – в) косвенным методом на основе парных сравнений элементов Е.

Глава 2. Бинарные отношения и функция выбора

1. Бинарные отношения и операции над ними

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть А₁, А₂, . . . , А_n – некоторые множества. Их прямым или декартовым произведением называется множество упорядоченных наборов из n элементов, т.е.

А₁А₂ . . . А_n = {(а₁, а₂, . . . , а_n) | a_iA_i }.

Если все множества A_i совпадают A = А₁ = А₂ = . . . = А_n, то прямое произведение А₁А₂ . . . А_n = Aⁿ называют прямой n-ой степенью множества А.

Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество R  AB. Если множества A и B совпадают А = В, то R называют бинарным отношением на множестве А.

Если (x, y)R, то это обозначают еще xRy и говорят, что между элементами x и y установлено бинарное отношение R.

Приведем примеры бинарных отношений.

Пусть A = B = R, пара (x, y) является точкой вещественной плоскости. Тогда бинарное отношение

R₁ = { (x, y) | x² + y²  1 }

определяет замкнутый круг единичного радиуса с центром в точ-ке (0, 0) на плоскости, отношение

R₂ = { (x, y) | x  y }

полуплоскость, а отношение

R₃= { (x, y) |  |x – y|  1 }

полосу.

Диагональ множества AA, т.е. множество ={(x,x) | xA}, называется единичным бинарным отношением или отношением равенства в A.

Областью определения бинарного отношения R называется множество _R = { xA |  yB, (x, y) R }.

Областью значений бинарного отношения R называется множество _R = { yB |  xA, (x, y)R }.

Образом множества X относительно отношения R называется множество

R(X) = { yB | (x, y)R, xX };

прообразом X относительно R называется R ^–1(X).

В теории выбора и принятия решений большую роль играют бинарные отношения предпочтения, то есть такие отношения, согласно которым в паре (x, y)R элемент x в каком-то смысле лучше, чем y. Например:

- в смысле отношения R₂ "лучше" означает "больше или равно";

- в смысле отношения R₃ понятие "лучше" может означать "отстоит не больше чем на единицу".

Как для любых множеств, для бинарных отношений можно определить понятия нестрогого и строгого включения и равенства. Так, например, R₁ содержится в R₂ (R₁  R₂), если любая пара (x, y), которая принадлежит отношению R_1, также принадлежит и отношению R₂.

Операции над бинарными отношениями определяются подобно операциям над соответствующими множествами. Пусть А – произвольное множество на котором введены бинарные отношения R, R₁, R₂,...

1) Объединение двух бинарных отношений R₁ и R₂ – это отношение

R₁  R₂ = { (x, y) | (x, y)R₁ или (x, y)R₂ }.

2) Пересечение двух бинарных отношений R₁ и R₂ – это отношение

R₁  R₂ = { (x, y) | (x, y)R₁ и (x, y)R₂ }.

3) Обратное отношение R ^–1 = { (x, y) | (y, x)R}.

4) Дополнение к отношению ={ (x, y) | (x, y)(AA) \ R}.

5) Двойственное отношение R^d = .

6) Композиция (суперпозиция) отношений R = R₁oR₂  содержит пару (x, y) тогда и только тогда, когда существует такое zA, что (x, z)R₁ и (z, y)R₂.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Доказать, что для любых множеств E, F, G справедливы равенства:

а) E(F  G) = (EF)  (EG); б) E(F  G) = (EF)  (EG);

в) (F  G)E = (FE)  (GE); г) (FG)E = (FE)  (GE).

2. Справедливы ли равенства:

а) (AB)  (CD) = (A  C)  (B  D);

б) (AB)  (CD) = (A  C)  (B  D)?

3. Доказать, что:

а) (A \ B)C = (AC) \ (BC); б) A(B \ C) = (AB) \ (AC).

4*. Доказать, что

(PQ) \ (AB) = ((P \ A)Q)  (P(Q \ B).

5. Пусть множества A и C непусты. Доказать, что, для того чтобы A  B и C  D, необходимо и достаточно, чтобы вы-полнялось включение AC  BD. Остается ли в силе это утвер-ждение, если A или C пусто?

6. Доказать, что если A  P, B  Q, то

AB = (AQ)  (BP).

Доказать тождества (7-13).

7. (A  B)  (C  D) = (AC)  (BD).

8. (A  B)  (C  D) = (AC)  (BC)  (AD)  (BD).

9. AB = (AD)  (CB), где A  C и B  D.

10. S² \ (AB) = [(S \ A) S]  [S (S \ B)].

11. А_i  B_i= ( А_i  B_i).iI iI iI

12.  А_k B_t=  ( А_k  B_t). kK tT k,tKT

13.  А_k B_t=  ( А_k  B_t ). kK tT k,tKT

14. Пусть f : XY. Доказать, что отображение g : X XY, определяемое равенством g(x) = (x, f(x)), инъективно.

15. Найти  _R, _R, R ^–1, R o R, R o R ^–1, R ^–1 o R для отношений:

а*) R = { (x, y) | x,yN, x делит y };

б) R = { (x, y) |  x, yN, y делит x };

в) R = { (x, y) |  x, yR, x + y  0 };

г) R = { (x, y) |  x, yR, 2x  3y };

д) R = { (x, y) |  x, y[–/2; /2],  y  sin x };

е) R = { (x, y) |  x, yR, 9x²  4y² };

ж) R = { (x, y) |  x, yR, y2 – 4y + 5 < 2x };

з) R = { (x, y) |  x, yR,  4x² – y²  1 };

и) R = { (x, y) |  x, yR, xy < 3 };

к) R = { (x, y) |  x, yN, x – y делится на m };

л) R = { (x, y) |  x, yR, x – [x] = y – [y] };

м) R = { (x, y) |  x, yN, x и y имеют общий делитель };

н) R = { (x, y) |  x, yR, 4x² + 9y² < 36 }.