Контрольные вопросы и задания

1. Доказать: а) I_уп  P_уп  P^–1 _уп = AA;

б) I_уп = R^s_уп; P_уп = R^a_уп.

2. Доказать свойства 1), 2), 3), 6) отношения слабого порядка и производных от него отношений.

3. Доказать следующие свойства:

а) R_кач – полное негатранзитивное отношение;

б) отношение, не различающее близко расположенные точки

(т.е. xRy, если х  у – 1) является качественным порядком;

в) R_кач не является транзитивным, а, следовательно, R_кач  R_сл ;

г) I_кач – рефлексивно, симметрично, но не всегда транзитивно;

д) I_кач = R^s_кач и R^d_кач = Р_кач.

4. Какие из следующих отношений являются отношениями эквивалентности:

а) равенства двух чисел;

б) подобия двух треугольников;

в) порядка на вещественной прямой;

г) линейной зависимости в пространстве Rⁿ (n > 1);

д) параллельности прямых на плоскости;

е) перпендикулярности прямых на плоскости.

5. Доказать, что если отношение R транзитивно и симметрично и _R  _R = A, то R – отношение эквивалентности.

6*. Доказать, что композиция эквивалентностей R₁ и R₂ является отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда R₁ o R₂ = R₂ o R₁.

Доказать, что R является отношением эквивалентности (7–11).

7. R = { (a, b) | a, bNN , a₁ + b₂ = b₁ + a₂}.

8. R = { (a, b) | a, bN , a – b делится на m }.

9. R = { (a, b) | a, bNN , a₁b₂ = a₂b₁ , если a₂b₂  0,

a₁= b₁ , если a₂b₂ = 0 }.

10. R = { (, ) | , R ,  – Q }.

11. R={ (x, y)  | x, yR , f(x) = f(y) }, функция f – фиксирована.

12. Доказать, что следующие отношения являются эквивалентностями. Построить для них фактор-множества.

а) R = { (x, y) | x, yR³ , x₁² +x₂² +x₃² = y₁² +y₂² +y₃² };

б) R = { (x, y) | x, yR² , x₁ = y₁ };

в) R = { (x, y) | x, yR² , x₂ = y₂ };

г) R = { (x, y) | x, yR  , x – [x] = y – [y] }.

13. Доказать, что R является отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда (R o R^–1)   = R .

14. Доказать, что если R – отношение эквивалентности, то и обратное отношение также является отношением эквивалентности.

15. Пусть R₁ и R₂ – отношения эквивалентности. Доказать, что

а) R₁ o R₁ = A²  R₁ = A²;

б) R₁ o R₂ = A²  R₂ o R₁ = A².

16. Доказать, что объединение R₁  R₂ эквивалентностей R₁ и R₂ является эквивалентностью тогда и только тогда, когда R₁  R₂ = R₁ o R₂.

17. Доказать, что отношение R на множестве A является одновременно эквивалентностью и частичным порядком в том и только в том случае, когдаR = .

18. Показать, что следующие отношения являются частичным порядком:

а) A  B в универсальном множестве S;

б) x(t)  y(t) для любого t в пространстве C[a,b];

в) m делит n на множестве N .

19*. Пусть отображение   : AAA обладает свойствами:

а)  (x, y) = (y, x);

б)  (x, (y, z)) = ((x, y), z);

в)  (x, x) = x.

Доказать, что отношение R={ (x, y) | (x, y) = x } является частичным порядком.

20. Пусть функции f₁ и f₂ определены на [0,1]. Будем говорить, что f₁Rf₂, если .

Показать, что R – отношение частичного порядка.

21. Пусть множества X, Y – частично упорядочены. Введем на XY отношение: (x₁, y₁)  (x₂, y₂), если x₁  x₂, y₁  y₂. Доказать, что это отношение является частичным порядком.

22. Доказать, что если R – частичный порядок, то R^-1 также частичный порядок.

23. Доказать, что отношение R на множестве A есть предпорядок тогда и только тогда, когда R = (R o R)  .