10. Операции над нечеткими отношениями

Объединение. Объединение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁R₂ – отношение, с функцией принадлежности, определямое выражением: _R1R2(x, y) = max {_R1(x, y), _R2(x, y) }

Примеры:

1. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: xR₁y – "числа x и y очень близкие", xR₂y – "числа x и y очень различны" и их объединение xR₁R₂y – "числа x и y очень близкие или очень различные".

где  – такое значение | y – x |, что _R1(x, y) = _R2(x, y).

2.

R1
	y1	y2	y3
x1	0,1	0	0,8
x2	1	0,7	0

R2
	y1	y2	y3
x1	0,7	0,9	1
x2	0,3	0,4	0,5

R1R2
	y1	y2	y3
x1	0,7	0,9	1
x2	1	0,7	0,5

Пересечение. Пересечение двух отношений R₁ и R₂ обо-значается R₁R₂ и определяется выражением:

_R1R2(x, y) = min { _R1(x, y), _R2(x, y) }.

Пример.

Выше изображены отношения: xR₁y, означающее "модуль разности | y – x | близок к ", xR₂y, означающее "модуль разности | y – x | близок к ", и их пересечение.

Алгебраическое произведение отношений. Алгебраическое произведение двух отношенийR₁иR₂обозначаетсяR₁R₂и определяется выражением:

_R1R2(x,y) =_R1(x,y)_R2(x,y)

Алгебраическая сумма отношений. Алгебраическая сумма двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁ + R₂ и опре-деляется выражением:

.

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

R₁  (R₂  R₃) = (R₁  R₂ )  (R₁ R₃), R₁  (R₂  R₃) = (R₁  R₂)  (R₁  R₃), R₁  (R₂  R₃) = (R₁R₂)  (R₁R₃), R₁(R₂R₃) = (R₁R₂)(R_1R₃), R₁ + (R₂  R₃) = (R₁ + R₂)  (R₁ + R₃), R₁ + (R₂  R₃) = (R₁ + R₂)  (R₁ + R₃).

Дополнение отношения. Дополнение отношения R обозначается и определяется функцией принадлежности:

(x,y) = 1 – _R(x,y).

11. Функция выбора. Основные понятия

Задача выбора возникает, когда из некоторого конечного или бесконечного множества надо отобрать подмножество в каком-то смысле хороших элементов. Подмножество отбираемых эле-ментов называется выбором, а правило их отбора – функцией выбора.

Более строго функцию выбора можно определить следующим образом. Пусть А – множество элементов из которых осу-ществляется выбор, ХА – множество допустимых решений (предъявление), а С(Х)Х – множество отобранных точек (выбор). Отображение  : Х  C(Х) называется функцией выбора. Алгоритм реализующий эту функцию выбора называется механизмом выбора.

Рассмотрим примеры наиболее распространенных механизмов выбора.

1) Скалярный оптимизирующий механизм – выбор вариантов, при которых некоторая скалярная функция f(х) достигает максимума.

С_опт(Х) = { хХ | х = arg max f(x) }

2) Условно-оптимальный механизм – выбор по схеме математического программирования, т.е. выбор таких хХ, при которых достигается условный максимум скалярной функции f₀(x) при выполнении системы ограничений.

С_мп(Х) = { хХ | х = arg[ max f₀(x) | f _i(х)  0, i = 1,..,m] }

3) Механизм доминирования по бинарному отношению R – выбор тех хХ, которые с любым элементом из Х находится в отношении R (элемент х лучше любого y в смысле отношения предпочтении R).

С_R(Х) ={ хХ |  yХ : (x, y)R }

4) Механизм блокировки по бинарному отношению R – вы-бор тех элементов xX, для которых в Х нет элемента лучше в смысле отношения предпочтения R.

С^R(Х) = { хХ |  yХ : (x, y)R }

5) Механизм ограничений по бинарному отношению R отбирает те элементы х, которые с фиксированной точкой u образует пару в R.

С_u(Х) = { хХ |  (x, u)R }

6) Паретовский механизм осуществляет выбор таких элементов х, для которых нет элемента y лучшего чем х сразу по всем критериальным функциям f _i(х).

С_par(Х) = { хХ | не  yХ : f _i(y)  f _i(x)  i = 1,..,m }

7) Турнирный механизм – выбор такого х, при котором достигает максимума турнирная функция f_R(x). Ее можно трактовать, как число очков, набранных элементом х во время турнира со всеми элементами из Х.

С_T(Х) = { хХ | х=arg max f _R(x) }; f _R(x) =  f _R (x,y) y

При решении задачи выбора возникают 2 подзадачи.

1) Задача анализа – организация выбора по заданному механизму выбора и предъявлению.

2) Задача синтеза – построение механизма выбора по известному выбору на предъявлении Х и результату выбора С(х).