Контрольные вопросы и задания

1. Доказать, что в примере 3 сечения множества рациональных чисел в верхнем классе нет минимального элемента.

2. Доказать лемму о числе r для случая, когда  или  рациональны.

3. Доказать что А₁ | В₁, введенное в доказательстве теоремы Дедекинда – сечение в множестве рациональных чисел.

4. Доказать случай 2 теоремы Дедекинда.

5. Доказать, что множество вещественных чисел несчетно. Указание: воспользоваться способом доказательства несчетности множества бинарных последовательностей.

6. Построив соответствующие сечения, доказать равенства:

а)  ; б).

7. Построить сечение, определяющее число .

8. Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.

9. Показать, что множество всех правильных рациональных дробей m/n, где m и n – натуральные числа и 0 < m < n, не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти нижнюю и верх-нюю грани этого множества.

11. Пусть {– x} – множество чисел, противоположных числам x{x}. Доказать, что

а*) inf{– x} = – sup{x}; б) sup{– x} = – inf{x}.

12. Пусть {x + y} есть множество всех сумм x + y, где x{x} и y{y}. Доказать равенства:

а) inf{x + y} = inf{x} + inf{y};

б) sup{x + y} = sup{x} + sup{y}.

Примеры решения

Задача 11(а).

Пусть m = inf{– x}, это означает, что:

1)  – x  m для любых – x{– x};

2) для любого  > 0 существует такой элемент –x'{– x}, что – x' < m + .

Тогда для любых x{x} справедливо неравенство  x  – m и для любого  > 0 существует такой элемент  x'{x}, что x' > – m – .

Следовательно, по определению – m = sup{x} = – inf{– x}.

7. Множества мощности континуума и выше

Для мощности множества вещественных чисел R есть специальное обозначение – с. Любое множество имеющее такую мощность называется континуумом (от английского continue – продолжаться).

Введение понятия мощность континуума порождает два вопроса.

1. Существует ли множество мощностью больше чем с?

2. Существует ли множество промежуточной мощности между счетным и континуумом?

На первый взгляд множеством мощности больше с является любая плоская фигура, например, квадрат. Однако, это не так и справедлива

ТЕОРЕМА. Открытый единичный квадрат на плоскости имеет мощность равную с.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим отображение f точек квадрата на его сторону. Возьмем любую точку внутри квадрата с координатами (x, y). Пусть в десятичном представлении x = 0,a₁a₂a₃..., а y = 0,b₁b₂b₃... . Образуем число z = f(x, y) = = 0,a₁b₁a₂b₂a₃b₃..., которое является координатой точки на стороне квадрата. Таким образом, мы отобразим точки квадрата на его сторону. Ясно что это отображение инъективно, т.е. если мы берем точки А = (x₁, y₁) и B = (x₂, y₂), такие, что А  В, и определим z_A = f(A), z_B = f(B), то получим z_A  z_B, т.е. две разные точки A и B квадрата отображаются в две разные точки на отрезке прямой. Действительно, пусть А  В. Значит x₁  x₂ или y₁  y₂, а раз так, то эти числа отличаются хотя бы одним десятичным знаком, и значит z_A  z_B.

Инъективность означает, что точек в квадрате не больше, чем на отрезке. С другой стороны, их не может быть меньше, поскольку отрезок является подмножеством квадрата. Следовательно, построенное отображение f взаимно-однозначно.

Тем не менее, множества мощности выше континуума существуют, более того, справедлива

ТЕОРЕМА. Для любого множества А существует множество В большей мощности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть имеется множество А. Рассмотрим множество В, являющееся множеством всех функций, определенных в точках множества А и равных 0 или 1 в этих точках. Покажем, что мощность множества В больше мощности А.

Рассмотрим на множестве А функцию из B, определенную по правилу

где aА. Поставим каждой точке аА в соответствие функция f_a(x)В и рассмотрим полученное множество

B₁ = { f_a(x)B | aA } B.

Очевидно, что нами установлено взаимно однозначное отображение А  В₁. Следовательно, | A | = | B₁ |, а значит | A |  | B₁|.

Покажем, что | A |  | B₁|. Это эквивалентно тому, что не существует взаимно однозначного отображения А на все В. Предположим противное, что существует биективное отображение   : А  В, которое каждому аА ставит в соответствие элемент bВ и каждой функции из B – элемент множества A. Обозначим  (a) = f^(a)(x), и рассмотрим функцию

g(x) = 1 – f^(а)(x).

По свойствам элементов множества В имеем, что значение f^(а)(x) равно 0 или 1, тогда это свойство выполнено и для функции g(x). Следовательно, g(x)В. Значит, по предположению, существует такая точка bА, что ей однозначно соответствует g(x), т.е. g(x) = f^(b)(x). Возьмем х = b, тогда получим

g(b) = 1 – f^(b)(b) = f^(b)(b).

Отсюда f^(b)(b)=1/2, что противоречит условию принадлежности функции f^(b)(x) множеству В. Поэтому, такого отображения  не существует. Значит, мощность В строго больше мощности А.

Из теоремы следует, что множества самой большой мощности не существует.

Эквивалентный способ построения множества большей мощности получим, если определим B как множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества A. Множество всех подмножеств некоторого множества A называется булеаном и обозначается 2^A (2^A={ C | C  A}). Тогда m(2^A) = 2^|A|.

Множество, мощность которого равна 2^c, называется множеством мощности гиперконтинуума.

Что касается проблемы существования множества промежуточной мощности, то оказалось, что это утверждение невозможно доказать на основе аксиом теории множеств, но оно и не противоречит им.