Контрольные вопросы и задания

1. Какова мощность множества всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?

2. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости, радиусы и координаты центра которых – рациональные числа, счетно.

2. Какова мощность множества всех многочленов, коэф-фициентами которых служат корни многочленов с целыми коэф-

фициентами (алгебраические числа).

4*. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на [a, b], не более, чем счетно.

5. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на всей числовой прямой, конечно или счетно.

6*. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества E на прямой больше единицы, то множество E конечно или счетно.

7. Пусть E – какое-либо несчетное множество положительных чисел. Доказать, что найдется такое число  > 0, что множество E (–, +) несчетно.

8. Доказать, что множество всех стационарных последовательностей натуральных чисел счетно. Последовательность называется стационарной, если она состоит из одинаковых элементов.

Примеры решения

Задача 4.

Каждая точка разрыва монотонной функции f(x) является точкой разрыва первого рода. Действительно, так как функция f(x) монотонна и ограничена на отрезке, то она имеет конечные пределы при x0, где  – произвольная точка разрыва функции f(x).

Назовем скачком функции в точке  разность f(+0) –f(–0) этих пределов. Пусть функция f(x) возрастает. Легко проверить, что множество точек разрыва, в которых скачок больше  (где  – произвольное положительное число), конечно, а число этих точек не больше, чем (f(b) – f(a)) /.

Обозначим через E_k множество точек разрыва со скачком, большим, чем 1/ k. Множество E всех точек разрыва равно объединению всех E_k: E = E₁  E₂  E₃  . . .  E_k  . . .

Так как все E_k конечны, то E не более чем счетно.

Для монотонно убывающей на [a, b] функции доказательство аналогично.

Задача 6.

Разобьем прямую на счетное множество отрезков точками 0, 1, 2, 3, . . . Каждый отрезок содержит не более одной точки данного множества, следовательно, между точками множества E и некоторым подмножеством построенного множества отрезков существует взаимно однозначное соответствие. Значит, множество E не более чем счетно.

6. Свойства множества действительных чисел

Другим важным примером бесконечного несчетного множества является множество вещественных чисел R. Дадим одно из возможных определений вещественного числа с помощью сечений Дедекинда.

Рассмотрим разбиение множества всех рациональных чисел на два непустых подмножества А и В. Будем называть это разбиение сечением и обозначать А | В, если выполняются условия:

1⁰. Каждое рациональное число попадает в одно и только одно из множеств А или В.

2⁰. Для всех xA и yB имеет место соотношение y > x.

Назовем А нижним классом сечения, В – верхним классом.

Существуют сечения трех типов.

1. Сечение, у которого в нижнем классе нет максимального числа, а в верхнем классе есть минимальное число, назовем сечением первого типа.

2. Сечение, у которого в нижнем классе есть максимальный элемент, а в верхнем классе нет минимального число, назовем сечением второго типа.

3. Сечение, у которого в нижнем классе нет максимального элемента, а в верхнем классе – минимального, назовем сечением третьего типа.

Примеры сечений:

1) А ={ x | x < 1 }; B = { x | x  1 } – сечение 1-го типа;

2) А ={ x | x  1 }; B ={ x | x > 1} – сечение 2-го типа;

3) А ={ x | x³  2 }; B ={ x | x³ > 2} – сечение 3-го типа.

Докажем что в третьем примере нижний класс не содержит

максимальный элемент. Для этого покажем, что

 аA  n > 0  : (a + 1/ n)³ < 2.

Так как (a+1/n)³ < a³ + (3a²+3a+1)/n, то достаточно выбрать такое n, чтобы n > 3a²/(2–a³). Иными словами, какое бы рациио-нальное а из A мы ни выбрали, в классе А всегда можно найти число больше его.

Аналогично можно доказать, что в этом примере в верхнем классе нет минимального элемента.

Сечения типа 1 и 2 определяют рациональное число r. Для сечения 1 типа это число - наименьшее в верхнем классе, для сечения 2 типа - наибольшее в нижнем классе. Сечение 3 типа не определяет никакого рационального числа, так как предположение противного противоречит определению сечения.

Будем говорить, что сечение 3-го типа определяет иррациональное число  , если для любых рациональных чисел xA и yB выполняется неравенство  x <  < y. Иррациональные числа – это множество чисел, каждое из которых определяется некоторым сечением 3-го типа. Множество действительных (вещественных) чисел – это множество рациональных и иррациональных чисел.

Рассмотрим основные свойства действительных чисел.

1. Любое вещественное число можно представить конечной или бесконечной десятичной дробью. И обратно, для любой десятичной дроби существует вещественное число, которое она представляет.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть имеем вещественное число  ( > 0) которое не является ни целым, ни конечной дробью. Поскольку   – нецелое число, то существует такое целое число С₀, что выполняется условие: С₀ <  < С₀ + 1. Отрезок [С₀, С₀ + 1] разделим на 10 равных частей точками С₀ + 1/10, С₀ + 2/10, . . .. Очевидно, существует целое С₁, 0 < С₁ < 10, что выполняется условие С₀ + С₁/10 <  < С₀ + (С₁ + 1)/10.

Аналогично, разбив отрезок [С₀ + С₁/10, С₀ + (С₁ + 1)/10] на 10 частей, найдем целое С₂ (0, 10), что

С₀ + С₁/10 + С₂/100 <  < С₀ + С₁/10 + (С₂ + 1)/100,

и т.д. Таким образом, получим десятичную дробь С₀,С₁С₂С₃ ..., с помощью которой можно представить  с произвольной точностью.

Докажем обратное утверждение. Пусть имеется бесконечная десятичная дробь С₀,С₁С₂С₃ … . Покажем что всегда существует вещественное число , для которого именно эта дробь является десятичным представлением. Возьмем произвольное натуральное n. Обозначим

С(n)=С₀,С₁С₂. . .С_n; C'(n)= С₀,С₁С₂. . .С_n + 1/10ⁿ.

Очевидно, что для любых n, m > 0 C(n) < C'(m).

Произведем следующее сечение в области рациональных чисел. В верхний класс В включим все рациональные числа больше С(n) для всех n, а в класс А - остальные рациональные числа. Построенное сечение А | В определяет число .

ЗАМЕЧАНИЕ. Вместо десятичного представления можно брать двоичное, троичное и представление по любому другому основанию.

2. Множество вещественных чисел является непрерывным.

Рассматривая сечение множества рациональных чисел, мы убедились, что возможна такая ситуация, когда между классами отсутствует граница, определяемая элементом разбиваемого множества (в данном случае – рациональным числом). Для множества действительных чисел такой случай невозможен. Прежде, чем рассмотреть это свойство, докажем лемму.

ЛЕММА. Для любых вещественных чисел  >  существу-ет рациональное число r, что  > r > .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим подробно лишь случай, когда оба вещественных числа  и , не являющихся рациналь-ными. Построим два сечения в множестве рациональных чисел: 1) А_ | В_, определяемое числом ; 2) А_ | В_, определяяемое числом . Поскольку  > , то А_  А_, а, значит, существует рациональное число r, такое, что rА_ и rА_. Следовательоно,  > r  .

Поскольку оба сечения произведены иррациональными

числами, то они относятся к сечениям 3-го типа, а, значит, в классе А_ нет наибольшего числа. Поэтому, r всегда можно увеличить, чтобы выполнялось строгое неравенство  > r > .

Докажем теперь свойство 2. Рассмотрим сечение на множестве вещественных чисел, то есть такое разбитие А и В чтобы выполнялись условия 1⁰ и 2⁰. Свойство 2 отражает следующая

ТЕОРЕМА ДЕДЕКИНДА. Для всякого сечения А | В мно-жества вещественных чисел существует число , производящее это сечение, которое будет либо наибольшем в нижнем либо наименьшем в верхнем классе.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим число  следующим образом. Выделим в А и В подмножества А₁  А, В₁  В рацио-нальных чисел. Нетрудно доказать, что А₁ | В₁ является сечением в области рациональных чисел, оно определяет некоторое вещественное число, которое обозначим  . Это число попадает либо в класс А, либо в класс В.

Предположим, что  попало в класс А и не является там наибольшим. Тогда существует такое A, что   . По только что доказанной лемме, существует рациональное число r такое, что   > r > , а так как  и  принадлежат классу А, то rA₁. Таким образом, rA₁ и r > , что противоречит определению числа . Следовательно, если А, то оно является наибольшим в классе А.

Аналогично доказывается, что если  В, то оно является наименьшим в верхнем классе.

Следствием доказанной теоремы является тот факт, что множество вещественных чисел сплошь заполняет числовую ось.

Пусть X = {x} – некоторое подмножество множества вещественных чисел. Определим верхнюю и нижнюю грани множества X.

Число m = inf{x} называется нижней гранью или инфимумом множества X, если:

1) для любого xX выполняется неравенство xm;

2) для любого  > 0 существует x'X такой что x' < m + .

Аналогично число M = sup{x} называется верхней гранью или супремумом множества X, если:

1) для любого xX выполняется неравенство x  M;

2) для любого  > 0 существует x"X такой что x" > M – .

Пусть  – произвольное вещественное число, а A | B – определяющее его сечение. Число   можно определить с помощью верхней грани множества A или нижней грани множества B, т.е.

==.

Если  – рационально, то для сечения 1-го типа инфимум достигается на множестве B, а для сечения 2-го типа супремум – на множестве A.