Контрольные вопрсы и задания

1*. Доказать формулу S_n = 1² + 2² + 3² + … + n² =

= n(n +1)(2n +1) /6.

2*. Доказать неравенство 2ⁿ > 2n + 1 при n  3.

3*. Обозначим H_n = 1 + 1/2 + 1/3 +…+ 1/n – гармонические числа. Доказать, что Н_n неограниченно сверху, т.е. что Н_n  +.

4*. Доказать, что любую сумму денег более 7 копеек можно уплатить монетами достоинством 3 и 5 копеек.

5*. Доказать, что для любого n  0 число 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} делится на 133.

Доказать формулы и утверждения (6 – 13).

6. .

7. При любом х  1, .

8. Сумма кубов трех последовательных натуральных чисел n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ делится на 9.

9. Число диагоналей выпуклого n-угольника k = n(n –2) /2.

10. Последовательность а_n = (n корней) возрастает.

11. cos cos 2… cos 2ⁿ = .

12. .

13. .

Примеры решения

Задача 1.

, т.е. при n = 1 формула верна. S_{k + 1} = S_k + (k+1)³ = = = .

Задача 2.

2^{k + 1} = 2×2^k > 2(2k + 1) = 4k + 2 = (2k + 3) + (2k – 1) > 2k + 3.

Задача 3. Докажем, что .

1⁰. m = 1, Н₂ = 1 += 1 +.

2⁰. > ++= > 1 + = 1 +.

Это означает, что при достаточно большом n значение Н_n может стать больше любого числа.

Задача 4.

1⁰. 3 + 5 = 8 – верно.

2⁰. Пусть уплатили k копеек. Возможны два случая.

а) Вся сумма оплачена только 3-копеечными монетами, т.е. k=3n, где n3. Тогда k+1=3(n-3)+9+1=3(n-3)+25. В этом случае надо 9 копеек (3+3+3) заменить на 5 + 5.

б) Использована хотябы одна 5-копеечная монета. Тогда надо 5 копеек заменить на 3 + 3 – снова получим сумму k + 1.

Задача 5.

1⁰. 11² + 12¹ = 133 – верно при n = 0.

2⁰. 11^{k +3} + 12^{2(k + 1) +1} = 1111^{k + 2} + 14412^{2k + 1} = (144–133)  11^{k + 2} + 14412^{2k + 1} = 144  (11^{k + 2} + 12^{2k + 1}) – – 13311^{k + 2}.

В полученной разности уменьшаемое делится на 133 по предположению, а вычитаемое содержит множетель 133. Следо-вательно, все выражение делится на 133.

Библиографический список

1. Бугаев, Ю. В. Об одном методе отбора эффективных реше-ний на итерациях поиска [Текст] / Ю. В. Бугаев // Математич. моделирование информационных и технологич. систем: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГТА, 2000. Вып. 4. С. 211 – 215.

2. Новиков, Ф. А. Дискретная математика для программистов [Текст] / Ф. А. Новиков. СбП: Питер, 2000. 304 с.

3. Саати, Т. Аналитическое планирование организации систем [Текст] / Т. Саати, К. Кернс / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1991. 223 с.

4. Юдин, Д. Б. Вычислительные методы теории принятия решений [Текст] / Д. Б. Юдин. М.: Наука, 1989. 320 с.

5. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику: Учебное пособие для Вузов [Текст] / С. В. Яблонский. М.: Высш. шк., 2001. 384 с.

50