Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 1

21

Таким образом, напряженное состояние в точке тела характеризуется девятью числами, образующими матрицу

	σx	τyx	τzx
Tн = τxy		σy	τzy	.	(1.3)
τxz		τyz	σz

Величины σx, τxy , . . . , σz как раз и являются компонентами тензора напряжений.

1.6. Усилия. Это понятие удобнее всего ввести при помощи тела, называемого брусом или стержнем. Пусть заданы пространственная кривая s и плоская фигура f , центр тяжести C которой находится на линии s. Фигура f перемещается вдоль кривой s так,

чтобы ее (фигуры) плоскость все время была ортогональна к вектору t касательной к линии s в текущей точке (рис. 1.3a). Поверхность Ω, которую образует при таком движении контур фигуры f , называется поверхностью бруса, а сам брус – это тело, ограниченное поверхностью Ω и двумя торцевыми поверхностями ω0 и ω , имеющими форму фигуры f (см. рис. 1.3b). Линия s именуется осью бруса, а разрез A, совпадающий с фигурой f , – поперечным сечением бруса. Если ось s прямолинейна и поперечное сечение вдоль нее не меняется, брус называется призматическим.

Теперь можно перейти к описанию усилий. На рис. 1.4a показана одна из частей бруса, полученная при помощи поперечного разреза. Действие отброшенной части на оставшуюся сведено к векторам S и M силы и момента, связанным с центром тяжести поперечного сечения. Вектор момента изображен на рисунке при помощи двойной стрел-

ки, что позволяет легко отличить его от вектора силы. Момент считается положительным, если при взгляде на острие вектора M наблюдается вращение против хода часовой стрелки. В центре тяжести сечения размещено и начало ортогональной системы координат, ось ox которой совмещается с осью бруса, а оси 0y и 0z принадлежат поперечному сечению. Составляющие векторов S и M в данной системе координат называют усилиями в поперечном сечении стержня.

Проекцию N вектора S на ось ox именуют продольной силой, иногда – нормальной силой, ибо она направлена вдоль волокон бруса и, стало быть, нормальна к его поперечному сечению. Составляющие Qy и Qz , отнесенные

22

Часть I

к плоскости самого сечения, называют поперечными силами. Момент Mx получил название крутящего момента, поскольку он стремится закрутить стержень относительно его оси, а составляющие My и Mz вектора M – суть изгибающие моменты. Если силы, приложенные к стержню, известны, то все шесть усилий могут быть найдены из условий равновесия любой отсеченной части бруса.

Усилия можно связать с нормальными и касательными напряжениями, отнесенными к тому же самому поперечному сечению бруса (F – площадь такого сечения). Как видно из рис. 1.5b (см. также рис. 1.4b),

N =	σxdF, Qy =	τxy dF, Qz = τxz dF,
F	F	F
	Mx = (τxy z − τxz y)dF,		(1.4)
	F
My = − σxzdF,		Mz = σxydF.
	F	F

Понятие усилий, достаточно важное при исследовании многих частных задач механики, может быть распространено и на тела, не имеющие форму бруса.

1.7. Эпюры усилий. Усилия в брусе однозначно выражаются через поверхностную нагрузку и объемные силы. Если в процессе нагружения тело меняет свои форму и размеры незначительно (см. далее п. 3.2, 3.3), то установить аналитическую связь между усилиями (1.4) и внешними силами можно при помощи одних лишь уравнений равновесия. Довести же решение задачи об усилиях в брусе до числа удается лишь в случае, когда все внешние воздействия, включая и реакции связей, известны.

По определению, усилия в брусе – суть функции только одного переменного – параметра, определяющего положение центра тяжести поперечного сечения на оси бруса. В качестве такого параметра обычно выбирается дуговая координата произвольной точки C, отсчитываемая вдоль линии s от начала 0 стержня (см. рис. 1.3). Чтобы установить зависимости

N (s), Qy (s), . . . , Mz (s),

(1.5)

необходимо рассечь брус поперечным разрезом на две части, одну из частей отбросить, заменив ее влияние на оставшуюся часть усилиями (1.5), и составить шесть независимых условий равновесия рассматриваемой части тела. Наглядное представление о распределении усилий вдоль оси бруса, а, значит, и о том, где они экстремальны, дают графики функций (1.5), именуемые эпюрами усилий. Далее рассказ о построении эпюр усилий ведется на примере призматического бруса.

Глава 1

23

Стержень, изображенный на рис. 1.6, отнесен к правой системе координат, начало 0 которой располагают в центре тяжести одного из торцов бруса. Тот торец, в котором находится точка 0, называют начальным. Ось 0x системы координат совмещают с осью бруса, направляя ее от начала стержня к его концу. Оси

0y и 0z принадлежат начальному поперечному сечению. Векторы положительных усилий в начальном торце стержня антипараллельны соответствующим координатным осям, тогда как в конце стержня направления положительных усилий и соответствующих координатных осей совпадают. Так как направления искомых усилий заранее неизвестны, их на рассматриваемой части стержня обычно изображают положительными.

Сказанного достаточно для того, чтобы можно было обратиться к конкретной задаче. На рис. 1.7a показан брус прямоугольного поперечного сечения, начальный торец которого свободен, а конечный – защемлен. На левую кромку консоли оперта плита, оказывающая на брус равномерно распределенное давление заданной интенсивности q. Кроме того, к правому нижнему углу начального торца прикреплен натянутый силою 2√2P трос. Его наклон к оси 0y составляет 30o, а к осям 0z и 0x – 45o и 135o соответственно. На брус действуют также реакции в заделке, сводящиеся к векторам R1 и R2, компоненты которых могут быть найдены из условий равновесия конструкции в целом. Однако в рассматриваемой задаче определять опорные реакции не обязательно, ибо при вычислении усилий всегда можно рассматривать равновесие той отсеченной части бруса, которая опору не содержит. Такая часть изображена на рис. 1.7b. Сила 2√2P заменена ее составляющими, через y и z обозначены оси, проходящие через центр тяжести текущего поперечного сечения параллельно осям 0y и 0z соответственно. Тогда (пометка лев под знаком суммы означает, что рассматривается равновесие не всей конструкции, а только ее левой отсеченной части):

Px = 0 : N − P = 0 → N = P ;

лев

Py = 0 : Qy + √6P + qx = 0 → Qy = −√6P − qx;

лев

Pz = 0 : Qz + P = 0 → Qz = −P ;

лев

24

Часть I

Mx = 0 : Mx

qx

h

P

h+ √

P

h

= 0

Mx =

1 [qhx+ P h(2

√

−

·

6

·

6)];

лев

2

−

·

2

→

2

−

My = 0 : My

−

P

·

x + P

·

h

= 0

→

My =

1 P (2x

−

h);

лев

2

2

Mz = 0 : Mz + qx

x

P

h + √

P

x = 0

Mz =

qx2

P (√

x

h).

·

6

·

→

−

6

−

лев

2

−

·

2

−

На рис. 1.8 приведены графики только что вычисленных функций – эпюры всех шести усилий. Они изображены в аксонометрии и заштрихованы ординатами. Усилия

N = P, Qz = −P

вдоль оси 0x не меняются. Их эпюры на интервале [0, L] являются прямыми линиями, параллельными оси стержня. В начале и в конце указанного интервала на эпюрах ”N ” и ”Qz ” имеются разрывы, называемые скачками. Величины скачков в точности равны значениям сил (активных либо реактивных), которые приложены по торцам стержня в направлениях осей 0x и 0y соответственно. Эпюру продольных сил можно изображать с любой стороны от оси 0x и в любой плоскости, содержащей эту ось. В рассматриваемом примере ее (эпюры) ординаты отложены вверх от оси 0x в плоскости 0xy. Эпюра поперечных сил Qz обязательно изображается в плоскости 0xz, т. е. в плоскости действия усилий Qz . Ординаты откладываются в таком направлении от оси 0x, чтобы при взгляде на эпюру ”Qz ” со стороны острия оси 0z направления скачков на графике совпадали с направлениями приложенных сил.

Усилия

√

1

√

1

Qy = −

6P − qx,

Mx =

[qhx + P h(2 −

6)],

My =

P (2x − h)

2

2

Глава 1

25

являются линейными функциями абсциссы x. Графики прямых линий строятся по двум точкам, ординаты которых равны значениям соответствующих усилий в начале и в конце стержня. Правила построения эпюры ”Qy ” те же, что и эпюры ”Qz ”. Изображать эпюру крутящих моментов Mx так же, как и эпюру продольных сил N , можно произвольно. На эпюре ”Mx” имеются скачки (в начале и в конце стержня), равные прикладываемым крутящим моментам. В данном примере значение Mx(0) отрицательно. Знак крутящего момента в конце стержня может быть любым. При qhL > 2P h(√6 − 2) этот знак положителен.

Эпюра ”My ” изображается в плоскости 0xz, ортогональной вектору момента My . И на этой эпюре имеются скачки, равные приложенным по торцам сосредоточенным моментам. В начале стержня момент M = P h/2 относительно оси 0y вызывает составляющая Px = P силы, приложенной в точке A. Если этот момент заменить парой сил так, как это показано на рис. 1.9a, то можно увидеть, что волокно AA бруса окажется растянутым, а волокно BB – сжатым. Эпюры изгибающих моментов изображают таким образом, чтобы их ординаты были отложены со стороны растянутых волокон стержня. Такое правило освобождает от необходимости указывать на эпюрах изгибающих моментов знак, тогда как постановка знака на всех четырех эпюрах остальных усилий обязательна. Следует обратить внимание на то, что знак "+" на эпюре ”N ” означает растяжение бруса. Если смотреть на векторы торцевых крутящих моментов как на векторы сил, то брус зрительно будет восприниматься как растягиваемый этими силами. Знак "+" на эпюре ”Mx” отвечает "растяжению".

	26							Часть I
	Изгибающий момент
		1		2		√
	Mz (x) = −		qx		− P (		6x − h)
		2

меняется вдоль оси консоли по закону квадратной параболы. График кривой линии строят по нескольким точкам. Особый интерес представляют экстремальные значения функции Mz (x). По производным

M	=		qx2		√		P, M =
		−		−		6		−	q
z							z

функции Mz (x) видно, что последняя в пределах интервала [0, L] стационарных точек не имеет и что ее график обращен выпуклостью вниз (при изображении эпюры ”Mz ” в плоскости 0xy со стороны растянутых волокон бруса; см. рис. 1.9b и 1.8).

В плоской задаче эпюры усилий строятся проще. На рис. 1.10a показана двутавровая балка, имеющая в начале подвижную цилиндрическую опору и неподвижную цилиндрическую опору в конце. Плоскость 0xy является плоскостью симметрии как для конструкции, так и для нагрузки на нее, поэтому только усилия N , Qy (x) и Mz (x) могут быть отличными от нуля. Расчетная схема балки представлена на рис. 1.10b. Все силы приведены

к оси бруса, так что в том месте, где действует заданная сила P , появляется сосредоточенный момент величиной 3qL · L/8 = 3qL2/8.

Правила знаков для усилий те же, что и в пространственной задаче, но сформулировать их можно проще, без непосредственного обращения к системе координат. Продольная сила N считается положительной при растяжении стержня (рис. 1.11). Поло-

Глава 1

27

жительная поперечная сила вращает рассматриваемую отсеченную часть бруса по часовой стрелке, а положительный изгибающий момент Mz растягивает волокна, расположенные ниже плоскости 0xz.

Используя рис. 1.11, можно составить выражения для усилий в поперечных сечениях, расположенных на участке балки между точками с координатами x = L и x = 2L, т. е. при L < x ≤ 2L. Если же мысленно представить себе, что разрез сделан в сечении m, левее которого к отсеченной части бруса приложена только одна внешняя сила – реакция R2, то при помощи этого же рисунка можно будет получить формулы для усилий и при 0 ≤ x ≤ L. Из рис. 1.11 видно также, что для определения величин N , Qy и

Mz достаточно знать только реакцию R2, тогда как реакции R1 и R3 останутся в ходе последующих вычислений невостребованными. Тем не менее их тоже следует найти хотя бы для того, чтобы убедиться в правильности вычислений. Кроме того, при отыскании усилий на участке 2L ≤ x ≤ 3L балки удобнее рассматривать равновесие ее правой отсеченной части (рис. 1.12).

Условия равновесия Px = 0, MB = 0 и MA = 0, составленные для всей конструкции в целом (см. рис. 1.10b), позволяют найти реакции

R1 = −3qL, R2 =	35qL	, R3 =	37qL	,	(1.6)
	8		8

а при помощи уравнения Py = 0 можно убедиться в том, что реакции R2 и R3 найдены правильно. После этого останется последовательно определить усилия на всех трех участках балки.

a) 0 ≤ x < L (рис. 1.11, точка m):

Px = 0 : N = 0; Py = 0 : Qy − R2 = 0; Mm = 0 : Mz − R2x = 0.

лев

лев

лев

С учетом значения R2 = 35qL/8 (см. формулы (1.6)) отсюда следует:

35

35

N = 0, Qy =

qL,

Mz =

qLx.

(1.7a)

8

8

b) L < x ≤ 2L (рис. 1.11, точка k):

Px = 0 : N + 3qL = 0; Py = 0 : Qy − R2 + 6qL = 0;

лев

лев

3 qL2

Mk = 0 : Mz

−

R2 x + 6qL(x

−

L)

−

= 0.

лев

8

28

Часть I

Стало быть,

N = −3qL,

13

qL

Qy = −

qL,

Mz =

(51L − 13x).

(1.7b)

8

8

c) 2L ≤ x ≤ 3L (рис. 1.12, точка k):

Px

= 0 : N + R1 = 0; Py = 0 :

−

Qy + 3q(3L

−

x)

−

R3 = 0;

пр

−

пр

Mk = 0 :

−

Mz + R3(3L

−

x)

−

3q(3L

−

x)

·

1 (3L

−

x) = 0.

пр

2

Подстановка сюда реакций R1 и R3 по формулам (1.6) дает:

N = −3qL, Qy =	37		qL − 3qx,
		8

Эпюры усилий (1.7a)–(1.7c) изображены на рис. 1.13. Следует обратить внимание на то, что в точке a прямолинейный участок эпюры ”Mz ” плавно переходит в квадратную параболу, обращенную выпуклостью вниз.

Mz =	q	(3L − x)(L + 12x).	(1.7c)
	8

1.8. Связь между усилиями и интенсивностями распределенных погонных нагрузок. На рис. 1.14a показан элемент стержня, выделенный из последнего двумя поперечными сечениями, расположенными бесконечно близко друг к другу. К центрам тяжестей торцевых сечений элемента приложены усилия, замещающие влияние на него отброшенных частей бруса. Кроме того, вдоль оси ab элемента действуют распределенные погонные нагрузки (как силовые, так и моментные), к которым сведены все внешние силы. Чтобы не затемнять чертеж,

силовые и моментные воздействия на рис. 1.14a разделены. Интенсивности mx, my , mz погонных распределенных моментов имеют размерность единицы момента, деленной на единицу длины (т. е. размерность силы). Усилия в различных сечениях бруса отличаются друг от друга, но если сечения b и a расположены бесконечно близко друг к другу, то бесконечно мала и

Глава 1

29

разность Sb − Sa между усилиями в указанных сечениях. С точностью до величин высшего порядка малости ее можно принять равной линейной части dS изменения усилия Sa. При выполнении рис. 1.14 это обстоятельство было учтено.

На рис. 1.14b воздействия на элемент еще более дифференцированы. На каждой из 6 схем этого рисунка показаны только те нагрузки, которые входят в соответствующие условия равновесия рассматриваемого элемента,

аименно в уравнения

Px = 0, Py = 0, Pz = 0, Mx = 0, My = 0, Mz = 0.

Первое и последнее из них в подробной записи имеют вид:

Px = 0 : (N + dN ) + qxdx

N = 0

qx =

dN

;

−

→

− dx

Mz = 0 : (Mz + dMz ) + mz dx + qy dx · (dx/2) − Mz − Qy dx = 0 →

mz = −

dMz

+ Qy .

dx

Подчеркнутое слагаемое имеет высший порядок малости по сравнению с остальными слагаемыми и потому отбрасывается. Аналогично составляются

30 Часть I

и все остальные условия равновесия элемента. В итоге получаются 6 соотношений, связывающие усилия в брусе с интенсивностями погонных нагрузок:

qx =

dN

, qy =

dQy

, qz =

dQz

,

− dx

− dx

− dx

(1.8)

dMx , my =

dMy

dMz + Qy .

mx =

Qz , mz =

− dx

− dx

−

− dx

В частном случае, когда распределенные нагрузки отсутствуют, отсюда следует:

N = 0, Qy = 0, Qz = 0, Mx = 0, Qz = −My , Qy = Mz .

Это означает, что на тех участках бруса, где нет нагрузки, продольная сила, поперечные силы и крутящий момент постоянны, а изгибающие моменты меняются по линейному закону. Если же q = const и m = const (равномерно распределенные воздействия), то первые из четырех названных выше усилий линейны, а изгибающие моменты описываются квадратичными функциями. Все только что сказанное имеет прямое отношение и к рассмотренным в предыдущем пункте примерам.

В плоской задаче из 6 соотношений (1.8) остаются 3 зависимости:

dN			dQy		dMz
qx = −		, qy = −		, Qy − mz =		.	(1.8a)
	dx		dx		dx

В балках воздействия qx и mz , как правило, отсутствуют. В этом случае

qy = −	dQy	, Qy =	dMz		(1.9)
				.
	dx		dx

Таким образом, поперечная сила в балке является производной от изгибающего момента, а интенсивность погонной распределенной нагрузки равна производной от поперечной силы с обратным знаком.

Зависимости (1.8)–(1.9) используются как для контроля вычислений, так и при построении эпюр усилий. На рис. 1.15a изображена балка, несущая распределенную треугольную нагрузку, интенсивность которой

q(x) = qx/L

максимальна в точке x = L. Равнодействующая S такой нагрузки, равная площади S = qL/2 треугольника, действует по вертикали, проходящей через его центр тяжести. Поэтому 2/3 силы S воспринимается правой опорой балки и 1/3 – ее левой опорой. Так как R1 = 0, то продольных сил в балке нет. Тогда (см. рис. 1.15b)

Mk = 0 : Mz	−	qL		x +	qx2		x			= 0,
		6	·		2L ·		3
лев