Полный момент трения, Нм

	D / 2	D3		d3		1		fF		(D3 -			d3 )
	Mf = p2p f ò r 2dr = 2p r × f(		3 -		3 )		=	G	×		2			2		.
		2		2		3		3		(D		-	d		)
	d / 2

Момент трения в сплошной пяте диаметром d (рисунок 2.41), Нм

Mf =		1 fFG ×		d ,
		3
где f – коэффициент трения скольжения.
S =	p d2	, p =		4FG	.
4				p d2
dMf = dFf × r = dFN × f × r = p2p r × dr f × r .
d / 2			r 3			4F		1		d3
Mf = 2p f × p ò r 2dr = 2p fp				= 2p f		G	×		×		3 .
			3			2		3		2
0						p d

Mf = 13 FG × f × d .

2.3.4Механический КПД машины

При установившемся движении машины работа движущихся сил равна работе сил сопротивления АS=АC

АС = АП.С + АВ.С,

где АП.С – работа полезных сил сопротивления; АВ.С – работа вредных сил сопротивления.

Так как всегда существуют вредные сопротивления, то отношение абсолютной величины работы (или средней мощности) полезных сопротивлений к работе движущихся сил за один полный цикл установившегося движения машины называется механическим КПД машины (механизма)

h =	AП.С	=	РП.С	< 1.
	Aд		Рд

КПД машины является одной из важнейших количественных характеристик её качества. Чем больше η , тем большая часть энергии расходуется в механизме на полезную работу и тем меньше доля потерь ее на

вредные сопротивления, т.е. тем рациональнее используется поступающая энергия.

Наряду с КПД η пользуется понятием коэффициента потерь - ϕ . Коэффициентом потерь называется отношение абсолютной величины

работы (или средней мощности) вредных сопротивлений к работе (или средней мощности) движущих сил

				AП.С			РП.С .
	j	=				=
					Aд		Рд
Таким образом	AП.С				АS − AВ.С
h =			=						= 1 -		j .
	Aд				Aд
											n последовательно
Определим КПД машины					состоящего из

соединенных механизмов, КПД которых соответственно η 1 , η 2 , ..., η n (рисунок 2.42)

Aд	А1	А2	Аn-1	Аn
1		2	…	n
η 1		η 2		η n

Рисунок 2.42

Ад – работа движущих сил; А1 – полезная работа первого механизма, являющаяся по отношению ко

второму работой движущих сил; А2 – полезная работа второго механизма и т.д.

Тогда	h 1 =	А1	;	h 2 =	А2	; h n =	Аn	.
		Ад			А1
							Аn- 1

Перемножим соответственно левые и правые части этих равенств

h 1 × h 2 × × h n

=

A1

×

A2

An

=

AП.С

,

AS

A1

An- 1

Aд

но

АП.C

= h å

- КПД всей машины.

Ад

Следовательно

h å = h 1 × h 2 × × h n = ∏n

h i ,

i= 1

т.е. полный КПД машины, состоящей из ряда последовательно соединенных механизмов, равен произведению частных КПД.

При параллельном соединении нескольких механизмов с общим электродвигателем (рисунок 2.43)

	η 1
Aд	An	1
1

		η 2
Aд	Aд2	An2

η n

Aдn Ann

Рисунок 2.43

Aд = ån Адi ,	Aп.с = ån Ani ,
i= 1	i= 1

где Aдi (i = 1, 2, …, n) - работа движущих сил отдельных механизмов; Ani (i = 1, 2, …, n) - полезные работы, совершаемые этими

механизмами.

Учитывая, что η i =	Ani			(i = 1, 2, …, n)
	Aдi
для КПД машины, имеем
						ån Аni		ån
		Aп.с								η i Aдi
η å	=				=	i= 1	=		i= 1		.
						n			n
		Ад
						å Aдi			å Aдi
						i= 1			i= 1

Если η 1 = η 2 = = η n , то η å = η 1 = η 2 = = η n ,

т.е. в этом случае КПД всей машины тот же, что и для отдельных механизмов.

Если	Aд1 = Aд2 = = Aдn , то η å	=	1 ån	η i .
			n i= 1

Таким образом КПД машины равен среднему арифметическому от КПД отдельных механизмов.

2.3.5 Определение сил реакций в кинематических парах

В результате действия на звенья внешних сил в кинематических парах появляются силы реакции.

а)

б)

Рисунок 2.44

Во вращательной кинематической паре V класса (рисунок 2.44а) результирующая сила реакции FR проходит через центр шарнира. Величина и направление этой реакции неизвестны. В поступательной паре (рисунок 2.44б) сила реакции перпендикулярна к оси движения этой пары, но неизвестны ее величина и точка приложения.

В любой группе Ассура имеем 6 неизвестных величин – величина и направление сил реакций в трех кинематических парах. Для плоской группы можно составить шесть уравнений статики – два уравнения проекций всех сил на координатные оси и одно уравнение моментов для каждого звена. Таким образом группы Ассура являются статическими определимыми и расчет начинают с группы наиболее удаленной от ведущего звена. Степень подвижности группы Ассура: W = 3n-2P1 = 3x2 – 2x3 = 0, т.е. система находится в равновесии.

Пример - Исходные данные:

1кинематическая схема механизма в заданном положении (рисунок 2.16а);

2планы скоростей и ускорений для этого положения (рисунки 2.16б, 2.16в);

3массы звеньев m2, m3 (кг);

4собственные моменты инерции звеньев относительно осей, проходящих

через центра тяжестей JS2, JS3 (кгм2);

5момент полезного сопротивления Мпс (задан в задании на курсовой проект).

Момент полезного сопротивления заменяем парой сил полезного сопротивления, приложенных по концам ведомого звена перпендикулярно ему в направлении момента (рисунок 2.45)

			Fnc = M nc / lO B , Н.
					2
Силы веса Fσ 2 =			m2 g , Н и	Fσ 3	= m3 g , Н.
Силы инерции Fин2 = m2 aS2 , Н				и			Fин3 = m3 aS3 , Н.
Моменты пары сил инерции Мин2 =					J S2 ε 2 , Нм,			Мин3 = J S3 ε 3 , Нм.
Момент пары			сил Мин2 и силу			инерции		Fин2 заменяем одной
			′	перенесенной параллельно из центра
результирующей силой инерции Fин2
тяжести S2 на плечо		2
	h
h2 =			Мин2 / Fин2 , м ,				2 = h2 /μl , мм.
						h

Перенесенная сила инерции Fин2 должна давать такой же по направлению момент относительно точки S2 как и момент Мин2.

Аналогично переносим F ин3 на плечо h3 - Fин′ 3

h3 = Мин3 / Fин3 , м , h3 = h3 /μl , мм.

Для определения сил реакций в кинематических парах механизм разбиваем на группы.

Из рассматриваемого механизма выделим группу 2 кл. 2 пор. 1 вида и прикладываем к ней известные внешние силы. В точках А и О2 прикладываем неизвестные силы реакций: FR1.2 – со стороны первого звена на второе и FR03 – со стороны стойки на третье в произвольном направлении (рисунок 2.46).

Векторное уравнение сил

FR12 + Fσ2 = Fин2' + Fσ3 + Fин3' + FRo3 = 0

(две силы полезного сопротивления, Fnc действующие на звено 3 в векторном уравнении можно не учитывать, т.к. они компенсируют друг друга).

В этом уравнении силы реакции FR12 и FR03 известны только по точкам приложения и неизвестны по величине и по направлению. Внешние силы

Fσ2 , Fин2′ , Fσ3 , Fин3′ известны по точкам приложения, по направлению и по модулю.

Рисунок 2.45

Рисунок 2.46

Рисунок 2.47

Силы реакций FR12 и FR03 раскладываем на две составляющие

нормальные (параллельно звеньям) и тангенциальные (перпендикулярно звеньям), которые становятся известны по точкам приложения и по линии действия

FR12 = FRn12 + FRt 12 , FR03 = FRn03 + FRt 03 .

Тангенциальные составляющие определяются по величине и по направлению из уравнений равновесия составленных отдельно для каждого звена относительно средней кинематической пары – точки В

å M

B2

= - (Ft

h

t

) + (F h

Fσ2

) + (F1

h

Fин2

) = 0,

R12

FR12

σ2

ин2

Ft

æ

(F h

Fσ2

) + (F1

h

1

)

ö

= ± ç

σ2

ин2

Fин2

÷ .

R12

ç

h

t

÷

ç

FR12

÷

è

ø

å M

B2

= - (Ft

h

t

) + (F h

Fnc

) - (F h

Fσ3

) - (F/

h

1 ) = 0,

R03

FRO3

nc

σ3

ин3

Fин

Ft

=

æ

(F h

Fnc

) - (F h

Fσσ

) - (F

/

h

/

) ö

± ç

nc

σ3

ин3

Fин3

÷ .

R03

ç

hFt

÷

ç

÷

è

R03

ø

Знаки ± определяют истинное направление

Ft .

Векторное уравнение принимает вид

R

n

+

t

+

+

'

+

+

'

+

t

+

n

= 0.

F

F

F

F

F

F

F

F

R12

R12

σ2

ин2

σ3

ин3

R03

R03

Графически решаем векторное уравнение (строим план сил, рисунок

2.47) проводим

линию

действия

силы

Fn

параллельно

звену АВ. Из

R12

произвольной точки на этой линии откладываем вектор произвольной длины

силы Ft

(мм).

R12

Масштабный коэффициент плана сил

m

= Ft

/

t

, Н/мм.

F

F

R12

R12

Из

конца вектора

t

проводим в масштабе

μ F

последовательно

F

вектора, мм

R12

/

/

= F /μ

,

= F

/μ

,

F

F

F

F

σ2

σ2

ин2

ин2

= F /μ

,

/

= F

/

/μ

,

F

F

F

F

σ3

σ3

ин3

ин3

FR03t = FRt03 /μF .

Из конца последнего вектора FRt 03 проводим линию действия силы

реакции FRn03 параллельно звену 3. Точка пересечения двух линий действий

определит на плане сил полюс построения PF, а также величину и направление всех неизвестных сил, Н

FR12 = FR12 m F , FR03 = FR03 m F .

Пример – Исходные данные:

-кинематическая схема механизма в заданном положении;

-планы скоростей и ускорений для этого положения (рисунок 2.17);

-массы звеньев m1, (m2 = 0), m3, m4, m5 (кг);

-собственные моменты инерции звеньев относительно осей,

проходящих через центры тяжестей JS3, JS4 (кг.м2).

Внешние силы, действующие на звенья механизма (рисунок 2.48а):

-сила полезного сопротивления Fnc;

-силы веса FGi = mig , Н;

-силы инерции Fинi = miaSi , Н;

-моменты пары сил инерции Mинi = JSiεi , Нм . Плечи переноса сил hi = Mинi/Fинi = Mинi/FGi , м

i =

hi

/ μ l , мм

h

Силы реакций в кинематических парах.

Звенья 4-5 (II кл., 2 пор., 2 вид) (рисунок 2.49).

Векторное уравнение сил

R34 +

ин4/

+ Fσ4 +

ин5 +

G5 +

nc +

R05 = 0 ,

F

F

F

F

F

F

где

=

n

+

t .

F

F

F

R34

R34

R34

Из уравнения моментов, относительно точки С, находим Ft

, Н

R34

å M

C4

= - Ft

h

t

- F h

Fин4

+ F h

FG4

= 0,

R34

FR34

ин4

G4

æ

- F

h

F

+

F

h

F

ö

Ft

=

±

ç

ин4

σ4

÷

.

ç

ин4

σ4

÷

R34

h

t

ç

÷

è

FR34

ø

Векторное уравнение принимает вид

n +

t +

/

+

+

+

+

+

= 0

F

F

F

F

F

F

F

F

.

R34

R34

ин4

σ4

ин5

σ5

пc

R05

Неизвестные силы реакций F

,Fn

и

F

(Н) находим из плана

R05

R34

R34

сил (графическое решение векторного уравнения), построенного в масштабе μ F Н/мм (рисунок 2.50)

FR05 = FR05m F , FRn34 = FRn34m F , FR34 = FR34m F .

а)

б)

Рисунок 2.48

в)

Рисунок 2.49

Рисунок 2.50

Звенья 2-3. Группа II кл. 2 пор. 3 вида статически не определима, т.к. нормальные составляющие сил реакций FRn03 и FRn12 параллельны звену О2А

и друг другу и при построении плана сил не пересекаются. Поэтому в группе 3 вида рассматриваем каждое звено в отдельности. Звено – 3 (рисунок 2.51).

Векторное уравнение сил, действующих на звено 3

FR23 + Fσ3 + Fин3/ + FR43 + FR03 = 0 .

Сила реакции FR23 известна по линии действия – перпендикулярно звену О2А. Сила реакции FR43 = − FR43 .

Направление и величину FR23 находим из уравнения моментов, Н