2.2.5 Понятия об аналитических методах

Аналитический метод применяется для глубокого исследования механизмов с большой точностью.

Цель: получить математическую зависимость между перемещениями, скоростями и ускорениями ведомого звена n и перемещением ведущего звена φ1 и длинами звеньев

Достоинства: большая точность.

Недостатки: малая наглядность, большая сложность.

Все разновидности общих аналитических методов кинематического исследования рычажных механизмов можно свести к двум основным (базовым) методам:

-метод замкнутого векторного контура разработанный В.А.Зиновьевым;* -метод преобразования координат с использованием матриц, предложенный Ю.Ф.Морошкиным.**

Сущность методов заключается в определении функции положения интересующей нас точки К на произвольном звене - п (рисунок 2.18).

В случае механизма с одной степенью подвижности положение любого звена -пи любой точки на нем К однозначно определяется в зависимости от угла поворота ведущего звена (или перемещения , который

принимается за обобщенную координату , т . е .

Рисунок 2.18

____________________________________________________________________

__* Зиновьев Вячеслав Андреевич (1899-1975 гг.) - автор учебника по ТММ.

** Морошкин Юрий Федорович (1903-1977 гг.) - предложил общий метод

структурного и кинематического анализа механизмов.

где rк - радиус-вектор точки К механизма;

Пк - функция положения рассматриваемой точки К;

- координата 1 звена.
1-я производная от функции положения по									называется первой
передаточной функцией или аналогом скорости, м
П¢к =	drк			=			dПк (j 1 )	= (Vк* ) = П¢к .
	dj 1						dj 1
Вторая передаточная функция или аналог ускорения, м
П¢¢к =		d				(П¢к ) = d2Пк = (a*к ) = П¢¢к .
		dj
					1		dj 12

Передаточная функция, как и функция положения, являются чисто геометрическими характеристиками и выражаются в функции , а не в

функции времени.

Если отвечает угловой координате, то размеренность передаточных функцийсовпадает с размеренностью функции положения Пк - м.

Связь геометрических характеристик с кинематическими определяется следующими зависимостями. Скорость точки К

где П к = V*к - аналог скорости точки К, имеющий размерность длины, м Ускорение тоски К

aк = rк =

dVк

d

dП′к

dω 1

=

(П¢к × w 1 ) =

× w 1 + П¢к

=

dt

dt

dt

dt

= w 1

dП¢к

×

dj 1

+ П¢к × e 1 = П¢¢к × w 12

+ П¢к × e 1 ,

dj 1

dt

где- аналог ускорения точки К, имеющий размерность длины.

Таким - образом, задачи кинематического исследования сводятся к определению функций положения и передаточных функций (или аналогов скоростей и ускорений), по известным . Если

Если начальное звено совершает поступательное движение, то обобщенной координатой является перемещение - S.

Если звено - n совершает вращательное движение, то его угловая скорость -и угловое ускорение определяется:

функция положения звена

угловая скорость

где - аналог угловой скорости звена n (величина безразмерная).

В зубчатых передачах передаточной функцией является передаточное отношение

Угловое ускорение

e n =

dω n

=

d

(П¢n × w 1 ) = w 1

×

dП′n

+ П¢n

dω 1

=

dt

dt

dt

dt

= w 1

dП¢n

×

dj 1

+ П¢n × e 1 = П¢¢n × w 12 + П¢n × e 1 ,

dj 1

dt

где

- аналог

углового

ускорения

звена

n

(величина

безразмерная).

Для

цикловых

механизмов

т.е.

при

2.2.5.1 Метод замкнутого векторного контура

Дано:

lO A =

l1 м,

l

AB

=

l

2

м, μ

l

м

,

w

1

= const,

1

c

1

мм

Рисунок 2.19

Определим скорость и ускорение точки А (рисунок 2.19).

Начало неподвижной системы координат помещаем в точку O1

Положение т.А определяется радиусом-вектором rА и углом

Скорость

Ускорение

Из метода планов имеем:

Скорость и ускорение т.В (рисунок 2.19). Каждому подвижному звену сопоставляется вектор . Направление обхода - произвольное

и

учитывается знаком перед вектором.

Уравнение замкнутости векторного контура:

Положение каждого вектора определяется его углом наклона, отсчитываемого против часовой стрелки от положительного направления оси до выбранного направления вектора.

Спроектируем на оси координат векторное уравнение

Из второго уравнения системы находим

Тогда

Подставим в первое уравнение системы. Радиус-вектор

Скорость точки В

é

2

sin j 1 cos1

ù

где

ê

- l1 sin j 1 -

l1

ú

= П¢B

2

2

2

ê

sin

j

ú

ë

l2

- l1

1 û

Ускорение точки В

aB =

dVB

=

d

(П¢Bw 1 ) = w 1 ×

dП′B

+ П¢B

dω 1

=

dt

dt

dt

dt

dП¢B

dj 1

= w 1

×

+ П¢Be 1 =

П¢¢B w 12

+

,

П¢B e 1

dj 1

dt

Приближенное значение при учете первых двух членов ряда Фурье

В данном случае даже для такого простейшего механизма значения

скорости VB	и ускорения ав имеют довольно громоздкий вид ( вторая
производная	от	берется при помощи Бинома Ньютона или

разложения в ряд Фурье).

Скорость и ускорение точки S2 будут иметь более громоздкий вид.

В сложных механизмах сначала определяется положение группы Ассура, присоединенной к ведущему звену, затем составляются векторные уравнения для наиболее удаленных групп. Поэтому аналитические методы получили развитие благодаря развитию и применению ЭВМ. В ряде случаев не удается получить выражения скорости и ускорения в явном виде. Эти задачи сводятся к задаче Коши, и решаются на ЭВМ численными методами,

т.е. определяются скорости и ускорения для нескольких конкретных положений механизма и по найденным значениям строятся графики.

2.2.5.2 Метод преобразования координат с использованием матриц

Некоторые элементы теории матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица элементов математической структуры. Матрица состоит из m строк и n столбцов.

a11

a12

...

a1n

A =

a21

a22

...

a2n

,

...

...

...

...

am1 am2 ... amn

Первый индекс – m строки.

Второй индекс – n столбца.

Прямоугольные матрицы обозначаются

или

æ

ö

или

é

ù

çç

÷÷

ê

ú .

è

ø

ë

û

Если n=1,

т.е.

один

столбец, то

матрица

называется «матрица-

столбец»

b1

B =

b2

.

...

bm

Если m = 1, т.е. одна строка, то «матрица–строка»

C =

c1

c2 ...

cn

.

Если в прямоугольной матрице m=n, т.е. число строк равно числу столбцов, то квадратная матрица соответствующего порядка

	d11	d12	...	d1n
D =	d21	d22	...	d2n				.
	...	... ... ...
	dm1	dm2	...	dmn

Суммой двух матриц А и В одинакового порядка называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц

a11

a12

...

a1n

b11

b12

...

b1n

A =

a21

a22

...

a2n

,

B =

b21

b22

...

b2n

,

...

... ... ...

...

... ... ...

am1

am2

...

amn

bm1

bm2

...

bmn

c11

c12

...

c1n

A +

B =

C =

c21

c22

...

c2n

,

...

...

...

...

cm1

cm2

...

cmn

где c11 = a11 + b11 ; c12 = a12 + b12 ;

...	...	...;
cmn =	amn + bmn .

Перемножить можно только такие матрицы, у которых число столбцов в первой матрице – n совпадает с числом строк – m во второй матрице, т.е. m=n (квадратные матрицы)

	d11	d12	...	d1n
A × B = D =	d21	d22	...	d2n			,
	...	...	...	...
	dn1	dn2	...	dnn

где каждый элемент матрицы D = A ´ B определяется по правилу умножения строки на столбец

d11 = (a11b11 + a12b21 + ... + a1nbm1 ), d12 = (a11b12 + a12b22 + ... + a1nbm2 ), d1n = (a11b1n + a12b2n + ... + a1nbmn ),

d21 = (a21b11 + a22b21 + ... + a2nbm ),

т.е., чтобы найти элемент строки К и столбца l матрицы D, надо найти сумму произведений элементов К матрицы А на элементы столбца l матрицы В.

dkl = ak1b1l + ak2b2l + ... + aknbml = åk akibil ,	(k, l = 1,2,...,n)
i= 1

Произведение матриц не подчиняется переместительному закону, т.е.

A ´ B ¹ B ´ A,

но ассоциативный и дистрибутивный законы сохраняются. A × B × C = (A × B) × C = A × (B × C) - ассоциативный, A(B + C) = AB + AC - дистрибутивный.

Квадратные матрицы можно умножать на столбцевые матрицы того же порядка. В результате получаются столбцевые матрицы.

d11

d12

...

d1n

b1

D =

d21

d22

...

d2n

,

B =

b2

,

...

...

...

...

...

dm1

dm2

...

dmn

bm

	c1				(d11b1 + d12b2		+	... +
D × B = C =	c2			=	(d21b1 + d22b2		+	... +
	...				.
	cn				(dm1b1 +	dm2b2 +		... +

d1nbm )

d2nbm ) .

dmnbm )

Транспонирование. Матрица А’, транспонированная к матрице А, образуется из матрицы А путем замены каждой ее строки на столбец того же номера

	a11	a12	a13
A =	a21	a22	a23				.
	a31	a32	a33

Транспонируя матрицу А, получим транспонированную матрицу А’

	a11	a21	a31
A = A'=	a12	a22	a32				.
	a13	a23	a33

Матрицы перехода.

При нахождении координат любой точки любого подвижного звена, относительно неподвижной системы координат (связанной со стойкой), пользуются методом преобразования координат с использованием матриц.

Например, точка К в подвижной системе координат O1 , X1 , Y1 , Z1 имеет координаты X1K Y1K Z1K (рисунок 2.20) или в матричной форме радиус-вектор точки К в подвижной системе

x1K

r1K = y1K . z1K

Рисунок 2.20

Координаты точки К в неподвижной системе координат OX0Y0Z0 определяется соотношением

x0K = x1K cos(x0x1 ) + y1K cos(x0y1 ) + z1K cos(x0z1 ) + x001 , y0K = x1K cos(y0x1 ) + y1K cos(y0y1 ) + z1K cos(y0z1 ) + y001 , z0K = x1K cos(z0x1 ) + y1K cos(z0y1 ) + z1K cos(z0z1 ) + z001 ,

где	x00	, y00	, z00	- координаты начала системы координат О1 в
	1	1	1

системе О.

Направляющие косинусы осей можно записать в виде матрицы перехода от подвижной системы координат О1 к неподвижной – О.

		cos(x0x1 )	cos(x0y1 )	cos(x0z1 )	x00
					1
M01	=	cos(y0x1 )	cos(y0y1 )	cos(y0z1 )	y00				.
		cos(z0x1 )	cos(z0y1 )	cos(z0z1 )	1
					z00
					1
		0	0	0	1

Формальное введение единицы в виде четвертой строки дает возможность получить квадратную матрицу 4x4.

Радиус-вектор точки К в неподвижной системе OX0Y0Z0.

r0K = M01r1K ,

или

x0K

cos(x0x1 )

cos(x0y1 )

cos(x0z1 )

x00

x1K

1

y0K

=

cos(y0x1 )

cos(y0y1 )

cos(y0z1 )

y00

×

y1K

.

z0K

cos(z0 x1 )

cos(z0y1 )

cos(z0z1 )

1

z1K

z00

1

1

0

0

0

1

1

Транспонируя матрицу М01, получим матрицу перехода от

неподвижной системы координат О к подвижной О1.

cos(x0x1 )

cos(y0x1 )

cos(z0x1 )

0

M10

= M'01 =

cos(x0y1 )

cos(y0y1 )

cos(z0y1 )

0

,

cos(x0 z1 )

cos(y0z1 )

cos(z0z1 )

0

x00

y00

z00

1

1

1

1

иr1K = M10r0K .

Если имеем n неподвижных систем координат, то переход от системы координат Оn к неподвижной системе координат осуществляется с помощью n последовательных переходов. Матрица преобразования координат Мon записывается как произведение матриц всех промежуточных переходов

Mon = M01 × M12 × × Mn− 1 n .

Вектор координат точки К в неподвижной системе

r0K = Mon rnk ,

где rnk - вектор координат точки К в системе n. Скорость точки К

V0K = r0K = Mon rnk .

Ускорение точки К

a0K = r0K = Mon rnk .

При нахождении координат заданной точки часто используются матрицы частного вида – для случаев, когда у системы O0X0Y0Z0 и O1X1Y1Z1 одна из трех координатных осей совпадают (или параллельны).

Поворот вокруг оси Х (рисунок 2.21)

Рисунок 2.21

Матрица поворота от подвижной системы к неподвижной вокруг оси

Х

		cos 0o	cos 90o	cos 90o	0			1	0
M01(x)	=	cos 90o	cos ϕ 10	cos(90o + ϕ 10 )	0		=	0	cos ϕ
		cos 90o	cos(90o − ϕ 10 )	cos ϕ 10	0			0	sin ϕ
		0	0	0	1			0	0

	0	0
10	− sin ϕ 10	0			.
10	cos ϕ 10	0
	0	1

Поворот вокруг оси Y (рисунок 2.22).

Рисунок 2.22

Матрица поворота

			cos ϕ 10		0	sin ϕ
	M01(Y)	=		0	1	0
			−	sin ϕ 10	0	cos ϕ
				0	0	0

10

10

0

00 .

1

Поворот вокруг оси Z (рисунок 2.23).

Рисунок 2.23

Матрица поворота

		cos ϕ 10	− sin ϕ 10	0	0
M01(Z)	=	sin ϕ 10	cos ϕ 10	0	0			.
		0	0	1	0
		0	0	0	1

Так как начала координат подвижной и неподвижной систем совпадают, то четвертые столбцы нулевые (как и четвертые строки) и можно перейти к матрицам размером 3x3.

Транспонируя матрицы M01(X) , M01(Y) , M01(Z) , получим матрицы поворота от неподвижной системы координат O0X0Y0Z0 к подвижной

O1X1Y1Z1 - M10(X) , M10(Y) , M10(Z).

Матрица перехода к параллельным осям (рисунок 2.24)

Рисунок 2.24

	1	0	0	X00
				1
M01 =	0	1	0	Y001				.
	0	0	1	Z001
	0	0	0	1

Рассмотрим плоский кпривошипно-ползунный механизм (рисунок

2.25)

Рисунок 2.25

Дано: lO1A = l1 ,

lAB = l2 ,

w 1 = const .

Неподвижную систему координат S0 связываем со стойкой и располагаем таким образом, чтобы ось O1X0 была параллельна линии движения ползуна (звено 3).

Со звеном 1 жестко связываем систему координат S1, направив ось O1X1 вдоль прямой О1А. Положение звена 1 относительно неподвижной системы координат задается углом поворота j 1 = j 01 между осями О1Х0 и О1Х1. С шатуном 2 жестко связываем систему координат S2, ось АХ2 направляем вдоль прямой АВ. Положение второго звена относительно первого задается углом j 12 между осями О1Х1 и АХ2. С третьим звеном жестко связываем систему S3, ось ВХ3 которой совпадает с линией движения ползуна. Положение звена 2 относительно звена 3 задается углом j 23 между осями АХ2 и ВХ3.

Положение точки В ползуна определяется матричным выражением

r0B = M03 × r3B ,

где M03 = M01 × M12 × M23 - матрица преобразований координат от

системы S3 к системе S0 (произведение матриц последовательных преобразований);

r3B - вектор координат точки В в системе S3

0

r3B = 00 .

1

Матрицы последовательных преобразований

		cos ϕ 01	− sin ϕ 01	0	0					cos ϕ 12	− sin ϕ 12	0	l1
M01	=	sin ϕ 01	cos ϕ 01	0	0			,	M12 =	sin ϕ 12	cos ϕ 12	0	0			,
		0	0	1	0					0	0	1	0
		0	0	0	1					0	0	0	1

		cos ϕ 23	− sin ϕ 23	0	l2
M 23	=	sin ϕ 23	cos ϕ 23	0	0			.
		0	0	1	0
		0	0	0	1

Перемножая матрицы между собой и умножая на матрицу-столбец, получаем вектор координат т.В в системе S0 (после преобразований имеем)

l1 cos ϕ 01

+

l2 cos(ϕ 01 +

ϕ 12 )

X0B

r0B =

l1 sin ϕ 01

+

l2 sin(ϕ 01 +

ϕ 12 )

=

Y0B

,

0

Z0B

1

1

т.е. XB = l1 cos ϕ 01 + l2 cos ϕ 02 , YB = l1 sin ϕ 01 + l2 sin ϕ 02 = 0 ;

где ϕ 02 = ϕ 01 + ϕ 12 - угол поворота второго звена.

Уравнения аналогичны полученным методом замкнутого векторного контура.