Рисунок 10.11

Такое приспособление можно установить для уравновешивания силы инерции массы mВ.

Для этого Fин = Fур

mB l1ω 12 cos ϕ 1 = − 2ω 2урmурrур cos ϕ y .

Отсюда следует

ω 1 = ω ур , ϕ = ϕ у − 1800 , ϕ ур = ϕ + 1800 .

Статический момент массы каждого из уравновешивающих грузов

равен

	mурrур =	mB l1	.
		2

Полное уравновешивание кривошипно-ползунного механизма – спаривание механизмов. Общий центр тяжести спаренного механизма всегда в точке О. Возрастают габариты. Пользуются в самолетостроении (рисунок 10.12).

О

Рисунок 10.12

10.2 Виброзащита машин

Рассмотрим машину с неуравновешенным вращающимся барабаном (рисунок 10.13)

Рисунок 10.13

Сила инерции Fин = mrsw 2

При вращении барабана сила инерции проектируется на оси Х и Y, т.е.

раскладывается на горизонтальную Fг	и вертикальную	Fв	составляющие.
ин		ин
Горизонтальная составляющая

Fинг = Fин × cos j = Fин × cos w t

вызывает горизонтальную раскачку машины.

Вертикальная Fинв = Fин × sin j = Fин × sin w t передается на фундамент и

может вызывать вибрацию стоящих рядом машин.

Различают два основных способа виброзащиты: виброгашение и виброизоляция.

10.2.1 Виброгашение

Основано на присоединении к машине дополнительных колебательных систем, называемых виброгасителями, которые создают динамические воздействия, уменьшающие интенсивность вибрации машины.

Рассмотрим горизонтальную вибрацию машины массой - m1 (рисунок 10.13).

Рисунок 10.14

За обобщенную координату примем линейное перемещение Х1 = q1. Для системы с одной степенью свободы уравнение движения

где a11 = m1,

a11q1 =

F cos ω t ,

или

F

q1 =

cos w t .

m1

Решение ищем в виде

q1 =

A cos ω t .

Дифференцируем два раза

q1 = - Aw 2 cos w t , и подставляя в исходное уравнение имеем,

-

Aw 2 cos w t =

F

cos w t .

m1

Откуда амплитуда колебания массы m1 до введения виброгасителя, м

A =

-

F

=

-

m1rw 2

= - r .

m1w 2

m1w 2

Присоединим к массе m1 динамический виброгаситель, состоящий из упругого звена жесткостью – С и инерционного элемента массой m2 (рисунок 10.15)

Рисунок 10.15

Обобщенные координаты

Х1 = q1 – перемещение массы m1;

Х2 = Х1 + q2 = q1 + q2 – перемещение массы m2; q2 = Х2 – Х1 – деформация упругой связи.

Для системы с двумя степенями свободы математическая модель имеет

вид

ì a11q	1	+ a12q2 + C11q1 + C12q2 = Q1 ,
í		+ a22q2 + C21q1 + C22q2 = Q2 .
î a21q1
Инерционные коэффициенты при Н = 2 кинетическая энергия в
квадратичной форме	1
T =				2	2
	2		(a11q	1 +	a22q2 +	2a12q1q2 ) .

Кинетическая энергия схемы

T = 12 (m1X12 + m2 X22 ) = 12 [m1q12 + m2 (q1 + q2 )2 ],

откуда

a11 = m1 + m2, a22 = m2,

a12 = a21 = m2.

Квазиупругие коэффициенты (Н=2). Потенциальная энергия в квадратичной форме

П = 12 (C11q12 + C22q22 + 2C12q1q2 ) .

Потенциальная энергия системы (формируется за счет деформации упругой связи)

П = 12 [C(X2 - X1 )2 ]= 12 Cq22 ,

откуда С11 = 0, С212 = С, С12 = С21 = 0. Обобщенные силы при Н = 2

δ A = θ 1δ q1 + θ 2δ q2 .

Для нашего случая

δ A = F(t)δ X1 = F(t)δ q1 ,

откуда

q 1 = F(t) = F cos w t = mrw 2 cos w t,

q 2 = 0.

Тогда система уравнений примет вид

ì a11q1 +	a12q	2 = F cos w t,
í	a22q2 + C22q2 = 0.
î a21q1 +
Решение для q1 и q2 ищем в виде
	q1 =	A × cos w t,
	q2 =	B × cos w t.

Дважды дифференцируя

q1 = - A × w 2 × cos w t,

q2 = - B × w 2 × cos w t,

и подставляя в исходную систему, получим два уравнения с двумя неизвестными амплитудами А и В

ì	-	a	11Aw		2	× cos w t -
ï
í	-	a		Aw 2		× cos w t -
ï			21
î

a12Bw 2 × cos w t = F cos w t,

a22Bw 2 × cos w t + C22B × cos w t = 0.

Или

cos w t[- a11w 2 A × - a12w 2B] = F cos w t,

cos w t[- a21w 2 A +

(C22 -

a22w 2 )B] = 0.

Частотный определитель вынужденных колебаний

D (w )

2

=

- a11w 2

- a12w 2

.

- a21w 2 (C22 - a22w 2 )

Амплитуды колебаний масс m1 и m2, м

F

- a12w 2

A =

D 1

=

0 (C22 - a22w 2 )

,

D (w )2

D (w )2

a11w 2

F

-

B

=

D 2

=

-

a21w 2

0

.

D

(w )2

D (w )2

При D (w )2 = 0 амплитуды

А и В будут

равны бесконечности, что

соответствует резонансному состоянию двухмассовой системы, когда вынужденная частота равна собственной ω = К.

Найдем значение вынужденной частоты при D (w )2 = 0.

D (w )	2	=		- a11w 2		- a12w 2		= 0.
				-	a21w 2	(C22 - a22w 2 )

После раскрытия определителя, учитывая, что а11 = m1 + m2, а12 = а21 = m2, а22 = m2, С22 = С1, получим

- (C - m2w 2 )(m1w 2 + m2w 2 ) - m2w 2 = 0,

- Cm1w 2 - Cm2w 2 + m1m2w 4 + m22w 4 - m22w 4 = 0,

w 2[m1m2w 2 - (m1 + m2 ) × C] = 0.

откуда

	C(m1 + m2 )						m1m2
w =		=		C		= К, mпр =		.
	m1m2			mпр			m1 + m2

Получили собственную частоту двухмассовой динамической модели, 1/с. Если D (w )2 ¹ 0, то можно найти такую частоту виброгасителя – m2,

при которой А амплитуда основной массы – m1, А = 0 (парциальная частота). При этом Δ1 = 0

1 =

F

− a12ω 2

= 0,

или

0 (C22 − a22ω 2 )

F(C22 − a22ω 2 ) = 0 , так как F ¹ 0 .

Значит

С22 – а22ω2 = 0,

C22

откуда ω =

=

C

=

P .

a22

mпр

Парциальная частота виброгасителя такое состояние системы, при котором А = 0 называют антирезонансом, а соответствующую частоту – Р – антирезонансной

	P = ω =		C
			m2 .

Для виброгашения по известной ω подбирают жесткость С и массу m2 виброгасителя.

Амплитуда перемещения виброгасителя при этом будет равна, м

B =	2	= −	F
			C .
	(ω )2

Аналогично можно подобрать виброгаситель для кривошипноползунного механизма даже без дополнительной массы (рисунок 10.16).

На ползун действует сила инерции

F(t) = mB 1ω 12 cos ω t .

В среднем положении ползуна зажмем его между двумя пружинами с приведенной жесткостью Спр = С1 + С2.

Пружины в среднем положении ползуна занимают нейтральное положение.

А

ω1

О1

Рисунок 10.16

Из условия антирезонанса

K = w =	Cпр			,
		mB

находится приведенная жесткость пружин

Cпр = w 2 × mB .

Для гашения крутильных колебаний в двухмассовой системе с моментами инерции J1 и J2 и приведенным коэффициентом жесткости между ними – С аналогично устанавливается дополнительная масса с моментом инерции – J0 на валу с коэффициентом жесткости С0, которые подбираются по условию (рисунок 10.17)

P =		C		= w .
		J0

Рисунок 10.17