Двухмассовая динамическая схема (рисунок 9.11)

		Рисунок 9.11
где Jпр =	J 2 + J 3 +	(J4 + J5 )	ω 32	, MCпр = MC	ω 3	- приведенный ко
					ω 2
			ω 22
второй массе	момент	инерции	ведомых частей		привода, и момент
сопротивления движению.

9.3 Математические модели

Одной из наиболее важных характеристик любой модели является число степеней свободы, которое определяется числом независимых координат, полностью описывающих положение каждой точки системы.

Эти координаты называются обобщенными и обозначаются q1, q2, …, qН, где Н – число степеней свободы. В качестве обобщенных координат можно выбирать как абсолютные перемещения звеньев (точек) (например, абсолютные движения входного звена φ1=q1), так и сравнительно малые относительные перемещения, которые по сути дела выражают колебания упругих элементов φ1 – φ2 = q2. Таким образом, число обобщенных координат одновременно является минимальным числом координат, которыми можно охватить все возможные положения системы.

Первую и вторую производные обобщенной координаты называют соответственно обобщенной скоростью (qH ) и обобщенным ускорением (qH

).

Математические модели составляются на базе уравнения Лагранжа второго рода (в частных производных).

Если число степеней свободы = Н, то система уравнений Лагранжа в независимых координатах будет

d æ

¶ T ö

¶ T

¶ П

ç

÷

-

+

=

Q j ,

(9.9)

¶ q

¶ q

¶ q

dt ç

÷

j

j

è

j ø

где t – время;

q – обобщенная координата;

q - обобщенная скорость;

Т – кинетическая энергия;

П – потенциальная энергия;

Q – обобщенный момент;

J= 1, 2, …, Н.

Кинетическая энергия системы вращающихся звеньев

T = 1

ån Ji w i2 =

1

ån Ji w i × w i

2

1

2

1

где Ji – момент инерции i – й массы; ωi – угловая скорость i-го звена.

Кинетическая энергия системы с (q1, q2, …, qН) обозначенными координатами может быть описана однородной квадратичной функцией

(квадратичной формой)					обобщенных скоростей с			коэффициентами	ajk.
При ajk	= const квадратичная форма имеет вид
					T = 1	åH	× åH a jk × q j × qk ,	(9.10)
					2	j= 1	k= 1
причем	a jk	=	akj	- называют обобщенной (приведенной) массой					или
инерционным коэффициентом.
В развернутом виде зависимость (9.10) для								кинетической энергии
имеет следующий вид:
H = 1 T =		1 a11q1		× q1	= 1 a11 × q12 ;
		2			2
H = 2 T =		1	(a11q	12 + a22q22 + 2a12q1q2 ); a12 = a21
		2
H = 3 T =		1	(a11q	12 + a22q22 + a33q33 + 2a12q1q2 + 2a13q1q3 + 2a23q2q3 ).
		2

Структура этих выражений, напоминающих квадрат многочлена, в пояснениях не нуждается. Практический прием определения коэффициентов ajk для конкретных систем будет показан ниже.

Потенциальная энергия в механизмах в общем случае является функцией обобщенных координат. Она формируется в основном за счет упругих деформаций звеньев.

С той же точностью, как и при записи кинетической энергии, потенциальная энергия может быть выражена в квадратичной форме:

	1	H	H
П =		å	× å сjk × q j × qk ,	(9.11)
	2	j= 1	k= 1

где сjk = сkj - квазиупругие коэффициенты (квази – почти).

Выражения (9.11) записанные в раскрытом виде, полностью совпадают с зависимостями (9.10), если коэффициенты ajk заменить на сjk и обобщенные скорости – обобщенными координатами. Например, при Н=3:

П = 12 (c11q12 + c22q22 + c33q23 + 2c12q1q2 + 2c13q1q3 + 2c23q2q3 ) . (9.12)

Практический прием определения коэффициентов сjk для конкретных систем будет показан ниже.

Обобщенные моменты. Сумма работ на возможных виртуальных

перемещениях, выраженных через вариации обобщенных	координат ∂ q j
может быть записана в виде
∂ A = Q1∂ q1 + Q2∂ q2 + + QH ∂ qH .	(9.13)

Здесь Qj (j=1, 2, …,H) - обобщенные моменты. В зависимости от того, соответствует ли qj линейной координате или угловой Qj имеет размерность силы или момента.

При определении обобщенных сил, для конкретных систем, достаточно написать уравнение вида (9.13) для этой системы.

После подстановки этих выражений и уравнение Лагранжа (9.9) получаем систему Н дифференцируемых уравнений второго порядка

d æ		¶ T ö				¶ T			¶ П
	ç			÷	-			+			= Q j ,
		¶ q				¶ q			¶ q
dt ç			÷				j			j
è			j ø

j = 1, 2, …, Н – число степеней свободы (число уравнений). Пусть Н=3. Кинетическая энергия при j = 1

d æ

¶ T

ö

ç

÷

=

a

11

q

1

+ a

12

q

2

+ a

13

q

3

ç

¶ q1

÷

dt è

ø

d	dt	ставим над q	j	вторую точку.
					∂ T
		При a = const				= 0 .
					∂ q1

Потенциальная энергия при j = 1

∂ П = c11q1 + c12q2 + c13q3 . ∂ q1

Подставляя в уравнение Лагранжа, получим первое уравнение системы при j = 1

a11q1 + a12q2 + a13q3 + c11q1 + c12q2 + c13q3 = Q1 .

Второе уравнение системы при j = 2

a21q1 + a22q2 + a23q3 + c21q1 + c22q2 + c33q3 = Q2 .

Третье уравнение системы при j = 3

a31q1 + a32q2 + a33q3 + c31q1 + c32q2 + c33q3 = Q3 .

Легко заметить закономерность в индексах инерционных и квазиупругих коэффициентов: первый индекс отвечает номеру уравнения, а второй – номеру

обобщенного ускорения или обобщенной координаты, при которых стоит данный коэффициент.

Таким образом, систему дифференциальных уравнений для любого числа степеней свободы – Н можно без труда воспроизвести, не прибегая каждый раз к подстановке кинетической и потенциальной энергии в уравнение Лагранжа (9.14).

Такой разумный автоматизм резко сокращает число возможных ошибок на этом весьма ответственном этапе динамического исследования системы.

a j1q1 + a j2q2 + + a jHqH + cj1q1 + cj2q2 + + cjHqH = Q j ,

(j = 1, 2, …, Н)

Пример практического приема составления системы дифференциальных уравнений математической модели (рисунок 9.12).

При составлении динамической модели учитываем жесткость упругой втулочно-пальцевой муфты на 1 валу привода.

После кинематического расчета имеем: ωI, ωII, ωIII, ω2’ – угловые скорости валов;

J Zi = γ 32π bid4i - собственные моменты зубчатых колес;

γ = 7800 кг/м3 – удельный вес стали;

32π ≈ 101

bi = di/6 – ширина и диаметр зубчатых колес, м

После расчета маховика (рисунок 8.5) блок-схема машинного агрегата (физический объект) имеет вид (рисунок 9.12).

МC III

План.

Зуб.

Рычажн.

М

Мех.

Пер.

Х

Мех.

i12

i23

ω =ω

ωII

ωIII

д

Мд

JМ III

Jпр III

I

Рисунок 9.12

Известные параметры:

-угловые скорости валов - ωI, ωII, ωIII; 1/с;

- передаточные отношения – iпл = i12 =	ω I	;	i23 =	ω II	;	i13 =	ω I
							ω III
	ω II			ω III

;

-момент инерции маховика установленного на валу III – JM III, кгм2 (маховик может быть установлен на любом валу);

-приведенный к валу III момент инерции машинного агрегата, кгм2

Jпр.III = Jпр.0 + Jпр.

Учитывая, что после установки маховика, неравномерность хода не превышает 5%, переменную составляющую момента инерции рычажного

механизма - Jпр. принимаем равной среднему значению, тогда

Jпр.III = Jпр.0	12		~		(9.15)
	+ å		Ji / 12;
		ш= 1
- приведенный к валу III момент сопротивления движению (из
диаграммы МС = МС(φ), рисунок 8.5)
MC.III = M0 + M sin ϕ III = M0 + M sin ω III t .					(9.16)
где М0 – постоянная составляющая момента сопротивления, Нм;
M - переменная составляющая, Нм.
~		Mmax
M0 = M =				.	(9.17)

2

Переменная составляющая момента сопротивления изменяется по синусоидальному закону с частотой - ω III .

Таким образом, ω III есть частота вынужденных колебаний

механической системы, 1/с.

На рисунке 9.12 вал двигателя соединяется с валом машинного агрегата (входной вал планетарного редуктора) упругой муфтой.

Одна из конструкций упругой муфты показана на рисунке 9.13

1

3

2

М Машинный

агрегат J м

J д

Рисунок 9.13

Полумуфты 1 и 2 соединены упругими элементами 3, допускающими относительное угловое смещение полумуфт. В первом приближении характеристику сил упругости в муфте можно считать линейной.

C =	MC	,	(9.18)
	ϕ

где С – коэффициент жесткости, Нм; МС – момент сопротивления, Нм;

φ – угловое смещение полумуфт, рад.

Для различных конструкций упругих муфт коэффициент жесткости находиться в пределах

С = (2000…3000), Нм.

При деформации упругих элементов происходит рассеяние

(диссипация) энергии в муфте.
Для малых угловых смещений – φ	момент диссипативных сил Мψ
пропорционален угловой скорости - ϕ	Cψ
Mψ = − bϕ = −			ϕ ,		(9.19)
	2π ω
		III		Cψ
где b – коэффициент пропорциональности b =						;
				2π ω
					III

ψ= 0,5 – коэффициент диссипации.

Динамическая модель

Динамическая модель машинного агрегата будет состоять из ведущей (электродвигатель) массы – JД, и ведомой (машинный агрегат) массы – Jпр.I - соединенных упругой муфтой (рисунок 9.14)

М Ψ

С

Мс I

Jпр I = J2

J

= J

д

I

ϕ

= ϕ

, М

ϕ2

I

д

д

Ψ

Ри

14

где J1 =

J Д +

JM

- момент инерции ротора электродвигателя и

2

муфты, кгм2 (берутся из каталогов);

МД – движущий момент электродвигателя, Нм (подлежит

определению);

	φ1 = φg	- угол поворота вала двигателя, рад;
	ω 1 = ω Д	=	dϕ Д	= ϕ Д	- угловая скорость двигателя, 1/с;
			dt
						π nД
				ω	Д =		,
						30

где С = (2000…3000) – коэффициент жесткости упругой муфты, Нм; ψ = 0,5 – коэффициент диссипации; φ2 – угол поворота вала машинного агрегата, рад;

w 2 = j 2 - угловая скорость вала машинного агрегата, 1/с

(подлежит определению);

МС.I – приведенный к валу I момент сопротивления

движению, Нм

MC.I = MC.III × i31 ,

или с учетом (9.16)

MC.I = M0 × i31 + M × i31 × sin w III t ,

(9.20)

где	i31 =	ω III	;
		w I

Jпр.I – приведенный к валу I момент инерции машинного агрегата,

кгм2.

Если маховик установлен на валу III

Jпр.I

= JM ×

i312

+

Jпр.III × i312 ,

(9.21)

Если маховик установлен на валу II

Jпр.I =

JM ×

i212 +

Jпр.III ×

i312 ,

(9.22)

Если маховик установлен на валу I

Jпр.III × i312

Jпр.I

= JM

+

,

(9.23)

ω III

ω II

12

~

где i31 =

; i21 =

; Jпр.III =

Jпр.0

+ å

Ji

/ 12 .

w I

w I

i= 1

Математическая модель.

Выбор обобщенных координат.

В качестве первой обобщенной координаты принимаем абсолютную координату (угол поворота) ведущей массы – JД, φ1 = q1. Угол поворота ведомой массы – Jпр.I.

ϕ 2 = ϕ 1 + q2 = q1 + q2 ,

где q2 = φ2 – φ1 - угловое смещение полумуфт, что соответствует амплитуде колебаний массы – J2.

Полученное число обобщенных координат отвечает числу степеней свободы данной динамической модели Н = 2.

Математическая модель состоит из системы двух дифференциальных уравнений

ì a11q	1	+ a12q	2 + c11q1 + c12q2 = Q1 ,
				(9.24)
í		+ a22q	2 + c21q1 + c22q2 = Q2 .
î a21q1

Определение инерционных коэффициентов.

Выражение кинетической энергии для рассматриваемой модели:

T =	1	[J Д j 12 +		Jпр.I j 22 ]=	1	[J Дq12 +	Jпр.I (q1	+ q	2 )2 ]=
	2		[J Дq12		2				(9.25)
	=	1		+ Jпр.Iq12	+	Jпр.Iq22 +	2Jпр.Iq	1q2	].
		2

Кинетическая энергия в общем виде для системы с Н = 2:

T =

1

[

2

2

2a

]

.

(9.26)

2

a11q1

+ a22q2 +

12q1q2

Приравнивая в выражениях

(9.25)

и

(9.26)

коэффициенты при

q12 ,

q22 ,

q1q2 находим:

a11 =

Jg

+ Jпр.I

, ü

a22

=

Jпр.I ,

ï

(9.27)

ý

a12 =

ï

a21 = Jпр.I .þ

Определение квазиупругих коэффициентов.

Выражение потенциальной энергии для рассматриваемой модели, которая формируется за счет деформации упругой связи

П =	1 c(j	2 -	j 1 )2 =	1 cq22 .	(9.28)
	2			2
Потенциальная энергия в общем виде для системы Н = 2
П = 1	[c11q12	+	c22q22 +	2c12q1q2 ].	(9.29)
2
Приравнивая в выражениях			(9.28)	и (9.29) коэффициенты	при

q22 и q1q2 , находим:

с11	=	0,	ü
с22 =		с,	ï	(9.30)
			ý
с12	=	с21 =	ï
			0.þ

Определение обобщенных моментов

На ведущую массу со стороны электродвигателя действует движущий момент – МД. Его направление совпадает с направлением вращения вала, т.е. МД совершает положительную работу. На ведомую массу действует приведенный момент сопротивления движению – МC.I. Его направление противоположно направлению вращения, т.е. Мc.I – совершает отрицательную работу. При деформации упругой муфты действует момент диссипативных сил – Мψ.

Уравнение работ на возможных перемещениях для рассматриваемой модели