4.4. Показательная функция

Показательная функция ez комплексного переменного z определяется следующими соотношениями: для любого комплексного числа z = x + iy

ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y):

(4.13)

Второе равенство в (4.13) получается, если принять по определению ex+iy = ex eiy и применить к eiy формулу Эйлера (1.12). Из (4.13) следует, что

jezj = jex+iyj = ex; Arg ez = y + 2 n:

Отсюда видно, что ez 6= 0 при всех z 2 C. Определение (4.13) и свойства функции ei' позволяют легко доказать, что функция ez обладает обычными свойствами показательной функции:

ez1+z2 = ez1 ez2 ; ez1 z2 = ez1 =ez2 ; (ez)n = enz:

Докажем первое из этих свойств. Пусть z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2. Применяя (4.13) и (1.13), получим:

ez1 ez2 = ex1 eiy1 ex2 eiy2 = ex1 ex2 eiy1 eiy2 = = ex1+x2 ei(y1+y2) = ez1+z2

Остальные два свойства доказываются аналогично. Докажем, что функция ez будет аналитической во всей ком-

плексной плоскости C. Для этого надо проверить выполнимость условий Коши-Римана (3.4). Если w = u + iv, то в силу (4.13) u+iv = ex cos y+iex sin y, откуда u = ex cos y; v = ex sin y:

Функции u; v дифференцируемы. Очевидно

@u	=	@v	= ex cos y;	@u		=	@v		= ex sin y:
@x		@y		@y			@x

122

Таким образом, условия (3.4) выполнены, и аналитичность функции ez доказана. Чтобы вычислить производную (ez)0, воспользуемся формулой (3.5):

ez 0 = @u@x + i@x@v = ex(cos y + i sin y) = ez:

Следовательно, для производной функции ez имеет место

обычная формула:

(ez)0 = ez:

Следующее свойство функции ez не имеет аналога в случае показательной функции действительного переменного: функция ez является периодической с чисто мнимым периодом 2 i. В самом деле, для любого целого n

ez+2 ni = ex cos(y+2 n)+i sin(y+2 n) = ex(cos y+i sin y) = ez:

Из периодичности функции w = ez следует, в частности, что она не является однолистной во всей комплексной плоскости. Для выяснения, в каких областях эта функция однолистна, положим z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2. В силу (4.13) равенство ez1 = ez2 равносильно следующим условиям:

ex1 = ex2 ; cos y1 = cos y2; sin y1 = sin y2;

откуда следует x1 = x2, y1 = y2 + 2 n, где n произвольное

целое число, или	(4.14)
z1 z2 = 2 ni:

Следовательно, для взаимной однозначности отображения w = ez в области D необходимо и достаточно, чтобы D не содержала никакой пары точек, для которой справедливо (4.14). В частности, этому условию удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной 2 , например полосы

1 < x < 1; 2k < y < 2(k + 1) ; k 2 Z:

123

Каждой такой полосе соответствует совокупность значений w = ez = ei , для которых, в силу равенств = ex, = y, имеем

0 < < 1; 2k < < 2(k + 1) :

Эти значения w заполняют всю комплексную плоскость переменного w с разрезом по действительной положительной полуоси (рис. 4.10). При этом прямые y = y0 (показаны на рис. 4.9 пунктиром) переходят в лучи = y0 (рис. 4.10), а интервалы x = x0, 2k < y < 2(k + 1) (показаны сплошными линиями для k = 0) в окружности = ex0 (с выколотыми точками на полуоси u > 0). Полосы 0 < Im z < h < 2 показательная функция ez отображает в углы 0 < < h. В частности, полоса 0 < Im z < переводится в верхнюю полуплоскость.

Рис. 4.9

Рис. 4.10

Пример 4.4. Найти образ области M : 0 < Re z < ; Im z < 0 при отображении w = eiz.

124

Решение. Представим отображение w в виде компо-

зиции двух отображений: w1					=	iz	и w2	=		ew1 . Пер-
вое	представляет собой			поворот		на	угол			против ча-
								2
совой		стрелки.	Область
				M (рис. 4.11) при этом перей-
дет	в	область	M1 : 0 < Im w1 < ; Re w1 > 0							(рис. 4.12).
Отображение w2 переведет по-
лосу		M1 : 0 < Im w1 < ;		в	угол
0 < arg w2 < ,			то есть в	верхнюю
полуплоскость. Поскольку

jw2j = jew1 j =

=jeRe w1+i Im w1 j =

=jeRe w1 ei Im w1 j =

=eRe w1

и Re w1 > 0, то	jw2j > 1.	Итак,	Рис. 4.11
искомым образом	будет	область
M2 : Im w > 0; jwj > 1 (рис. 4.13).

Рис. 4.12

Рис. 4.13

125