Пример 3.2. Доказать, что функция w = z + iz нигде не дифференцируема.

Решение. Выделим действительную и мнимую части исследуемой функции.

w = z + iz = x + iy + i(x iy) = x + y + i(x + y):

Значит, u = v = x + y. Вычислим частные производные

@u@x = @u@y = @x@v = @y@v = 1:

Отсюда видно, что условие @u@y = @x@v не выполнено ни в

одной точке комплексной плоскости, следовательно, функция w = z + iz нигде не дифференцируема.

3.2.Связь между аналитическими и гармоническими функциями

Действительная функция u = u(x; y) двух переменных x и y называется гармонической функцией в области D, если она определена в D, имеет всюду в D непрерывные частные производные первого и второго порядков и удовлетворяет в каждой точке области D уравнению Лапласа:

@2u		+	@2u				= 0:	(3.6)
2				@y	2
@x

Уравнение Лапласа и гармонические функции играют важную роль в физике и технике. Например, установившееся распределение температуры в области D, потенциал электрического поля в областях, свободных от зарядов, являются гармоническими функциями. В гидродинамике потенциал скоростей и функция тока безвихревых плоских течений несжимаемой

79

идеальной жидкости также являются гармоническими функциями. Связь между аналитическими и гармоническими функциями, которая будет изучена в данном разделе, используется в разнообразных приложениях аналитических функций.

Теорема 3.2. Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями.

Итак, если f(z) = u + iv аналитическая функция, то функции u и v будут гармоническими. Но обратное неверно: если u и v произвольно выбранные гармонические функции, то функция f(z) = u + iv не обязательно будет аналитической. Например, функция f(z) = Rez = x + 0 i не аналитична, хотя функции u = x, v = 0 гармонические. Чтобы функция f(z) = u+iv была аналитической, функции u и v должны быть не только гармоническими, но и удовлетворять условиям (3.4). Гармоническая функция v, связанная с гармонической функцией u условиями Коши-Римана (3.4), называется сопряженной с u. Из теорем 3.1 и 3.2 вытекает следующее утверждение.

Теорема 3.3. Для того чтобы две гармонические функции u = u(x; y) и v = v(x; y) составляли аналитическую функцию f(z) = u + iv, необходимо и достаточно, чтобы v являлась сопряженной с u.

Пусть в односвязной области D задана гармоническая функция u(x; y), причем известно, что она является действительной частью аналитической функции f(z) = u + iv. Тогда для мнимой части v = v(x; y) из условий (3.4) находим

@x@v = @u@y ; @y@v = @u@x:

Таким образом, задав функцию u, мы можем найти и частные производные функции v. Известно, что функция нескольких переменных в односвязной области D восстанавливается

80

по своим частным производным однозначно с точностью до постоянного слагаемого. Итак, задав гармоническую функцию u в односвязной области D, мы можем однозначно с точностью постоянного слагаемого найти сопряженную с ней функцию v и тем самым восстановить аналитическую функцию f(z) = u+iv. Аналогично f(z) восстанавливается (с точностью до постоянного слагаемого) по своей мнимой части v (один из способов такого восстановления приводится в решении типового варианта).

Пример 3.3. Существует ли аналитическая функция у которой u(x; y) = arctg xy + x2 y2?

Решение. Для того чтобы функция u(x; y) являлась действительной частью некоторой аналитической функции, необходимо, чтобы она была гармонической. Проверим, удовлетворяет ли функция u(x; y) = arctg xy +x2 y2 уравнению Лапласа.

@u

1

y

y

=

+ 2x =

+ 2x;

@x

1 +

y2

x2

x2 + y2

x2

@u

1

1

x

=

2y =

2y;

@y

1 +

y2

x

x2 + y2

@2u

x2

y

0

2xy

=

+ 2x x =

+ 2;

@x2

x2 + y2

(x2 + y2)2

@2u

x

0

2xy

=

2y y =

2:

@y2

x2 + y2

(x2 + y2)2

@2u @2u

Очевидно

+

= 0 для всех точек (x; y) 2 R2, значит,

@x2

@y2

функция u(x; y) = arctg xy +x2 y2 гармоническая в R2 и является действительной частью некоторой аналитической функции.

81

Пример	3.4. Существует ли гармоническая функция
p		) отличная от постоянной? В случае поло-
u = '(y +	x2 + y2
жительного ответа найти эту функцию.
Решение. Пусть y +						= t, тогда u = '(t): Найдем
					x2 + y2
частные производные			функции u по x; y. По правилу нахож-
				p

дения производной сложной функции, имеем:

u0x

u0y

u00xx

u00yy

= '0 tx0 = '0 y +

x0

= '0

x

;

x2 + y2

x2 + y2

p

0

p

x

!;

2

2

= '0 ty0 = '0 y + x + y

y = '0

1 +

x2 + y2

x

!

0

p

x

!

2

px

!

0

= '0

='00

+'0

=

x2 + y2

x2 + y2

x2

+ y2

p

x

p

x2

p

x

2

2

= '00

2 x2

2 + '0

px + y

2

=

y2x2

+ y2

+ p

x + y

x

= '00

x2

+ '0

y2

;

x2 + y2

(x2 + y2)3=2

= '0 1 +

y

!!0

=

p

x2 + y2

!

2 y

!

0

= '00

1 +

y

+ '0

1 +

y

=

x2 + y2

x2 + y2

p

2 p

2

y2

p

y

2 + '0

x + y

= '00

1 +

y

x2 + y2

=

x2 + y2 !

x2 + y2

p

p

y

2

x2

= '00

1 +

!

+ '0

:

p

x2 + y2

(x2 + y2)3=2

Если u гармоническая функция, то она удовлетворяет уравнению Лапласа (3.6), т.е. имеет место равенство:

82

uxx00 + uyy00 = 0; значит,

'00

x2

+ '0

y2

+

x2 + y2

(x2 + y2)3=2

+'00

1 +

x2 + y2

!

2

(x2 + y2)3=2 = 0;

+ '0

y

x2

p

'00

2 +

x2

+ y2 ! + '0

x2 + y2 = 0;

2y

1

p

p

2

+ y

2

откуда с учетом y + px

= t получим

2t'00

+ '0 = 0:

(3.7)

Уравнение

(3.7)

допускает

понижение порядка

'0 = w(t);

'00 = w0(t); тогда уравнение (3.7) примет вид

2tw0 + w = 0:

Разделим переменные и проинтегрируем:

dw

w;

dw

dt

; ln jwj

1

C

;

2t dt =

w =

2t

= 2 ln jtj + ln

21

C1

; '0

C1

C1dt

p

w =

2p

=

2p

; d' =

2p

; '(t) = C1 t + C2:

t

t

t

Значит, искомая функция u(x; y) имеет вид:

q

p

u(x; y) = C1 y + x2 + y2 + C2;

где C1; C2 произвольные действительные постоянные.

83