(z1; z2) =

§ 2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

2.1. Плоскость комплексного переменного

Если x и y являются переменными величинами (т.е. могут принимать различные значения), то z = x + iy называется комплексным переменным. При изменении x и y соответствующая точка z = x + iy пробегает некоторое множество точек комплексной плоскости C. Вся комплексная плоскость C называется также плоскостью комплексного переменного z.

Расстояние (z1; z2) между двумя точками z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 находится по формуле

p

(x1 x2)2 + (y1 y2)2 = jz1 z2j:

	Поэтому уравнение				окруж-
	ности радиуса R с цен-
	тром в точке z0			имеет вид
	jz z0j = R,		а	множество
	точек z, лежащих внутри
	круга радиуса R с центром
	z0,	задается	неравенством
	jz z0j < R.		Для	фиксиро-
	ванной точки z0 плоскости
	комплексного		переменного
	и	положительного			числа
	множество всех точек z,
Рис. 2.1	удовлетворяющих				неравен-
	ству jz z0j < ,			является

внутренностью круга радиуса с центром z0. Это множество называется -окрестностью точки z0.

Множество D точек называется открытым, если всякая его точка имеет окрестность, принадлежащую D (т.е. целиком

41

состоящую из точек данного множества D). Например, множество D = fz : jz z0j < Rg (см. рис. 2.1) является открытым. Действительно, возьмем любую точку z1 2 D. Тогда jz1 z0j < R, и d = R jz1 z0j > 0 будет расстоянием от z1 до окружности jz z0j = R. Поэтому, если 0 < < d, то множество jz z1j < лежит в D; это и доказывает, что D открыто.

Точка z1 называется граничной точкой множества D, если в любой окрестности точки z1 найдутся как точки, принадлежащие множеству D, так и точки, ему не принадлежащие. Множество граничных точек называется границей множества D и обозначается @D.

Пусть на отрезке 6 t 6 заданы непрерывные функции действительного аргумента x = x(t) и y = y(t). Тогда эти функции определяют на плоскости некоторую непрерывную кривую. Уравнение

z(t) = x(t) + iy(t); t 2 [ ; ]

(2.1)

называется параметрическим уравнением этой кривой. Точки a = z( ) и b = z( ) называются соответственно началом и концом кривой.

Если двум различным значениям t из интервала ( ; ) соответствует одна точка на кривой, то эта точка называется точкой самопересечения. Кривая (2.1), для которой z( ) = z( ), называется замкнутой.

Множество D называется связным, если любые две точки из D можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в D. Открытое связное множество называется областью. Приведем примеры областей: круг jz z0j < R; кольцо r < jz z0j < R, 0 < r < R; вся плоскость C; полуплоскость Re z > a, где a действительное число. В то же время круг jz z0j 6 R не является областью, так как это множество не является открытым.

42

Рис. 2.2

Множество, состоящее из области D и всех граничных точек области D, называется замкнутой областью и обозначается D. Например, круг jz z0j 6 R и кольцо r 6 jz z0j 6 R являются замкнутыми областями; но кольцо r < jz z0j 6 R не является замкнутой областью и не является областью (так как это множество не будет открытым).

Множество D называется ограниченным, если существует такое число R > 0, что множество D целиком содержится в круге jzj < R.

Области на плоскости C делятся на односвязные и многосвязные. Область называется односвязной, если ее граница состоит из одной непрерывной кривой без самопересечений (возможно, замкнутой). Например, круг jz z0j < R и полуплоскость являются односвязными областями. Область, не являющаяся односвязной, называ-

ется многосвязной. В частности, многосвязная область называется n-связной, если ее граница состоит из n (n > 1) непересекающихся непрерывных кривых; некоторые из них могут вырождаться в точку. Например, на рис. 2.2 изображена 4- связная область D; ее граница состоит из четырех кривых 1,

2, 3, 4.

2.2. Стереографическая проекция

Рассмотрим еще одну геометрическую интерпретацию комплексного числа. Пусть S сфера радиуса 1=2, касающаяся комплексной плоскости C в точке z = 0, и Pточка сферы, диаметрально противоположная точке 0

43

(рис.	2.3).	Возьмем	произвольную точку z 2 C и				прове-
дем	луч P z. Этот луч			имеет	единственную точку		пересе-
чения Z со		сферой	S;	очевидно, Z 6= P . Тем		самым каж-
дой	точке	z 2 C поставлена			в соответствие	точка	Z 2 S,
Z 6= P . Наоборот, если				задана	точка Z 2 S, Z 6= P ,		то ана-
логичное построение			дает соответствующую			точку	z 2 C.
				Тем самым мы построили взаим-
				но однозначное соответствие меж-
				ду точками комплексной плоскости
				C и точками сферы S, отличны-
				ми от P . Это соответствие называ-
				ется стереографической проекцией.
				Нетрудно видеть, что если точки
				ZN сферы приближаются к P , то
				соответствующие точки zn плоско-
	Рис. 2.3			сти C неограниченно удаляются от
				начала координат. Точке P не со-
ответствует ни одна точка из C. Но мы введем в рассмотрение

дополнительную (воображаемую) точку, которую назовем бесконечно удаленной и обозначим z = 1. Эту точку z = 1 мы и поставим в соответствие точке P . Комплексная плоскость C, дополненная бесконечно удаленной точкой, называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается C. Каждой точке z 2 C соответствует единственная точка Z 2 S, и наоборот; сфера S называется комплексной сферой, или сферой Римана. Сфера Римана показывает, что точка z = 1 и остальные точки из C, называемые конечными, в некотором смысле равноправны: и те, и другие изображаются точками сферы S. Такое представление часто бывает удобным при рассмотрениях, включающих бесконечно удаленную точку.

Можно доказать, что при стереографической проекции прямые и окружности на C переходят в окружности на S, углы между пересекающимися кривыми сохраняются.

44