p							R	p
Пример 5.2. Вычислить интеграл									zdz, где : jzj = 1,
Im z > 0; 1 = 1:
Решение. Функция p							многозначна и определяется фор-
						z
		1			1
мулой pz = z 2					= e2 (ln jzj+i(arg z+2 k)); k = 0; 1: Так как на кри-

вой интегрирования ln jzj = 0, то pz = e2i (arg z+2 k), k = 0; 1. p

Условию 1 = 1 удовлетворяет значение k = 1. Кривую можно записать в виде z = ei', 0 < ' < . Так как выделенная ветвь будет однозначной, то по формуле (5.4) найдем

Z	p	zdz = Z0				ei( '2 + )iei'd' = i Z0						ei(		3'	+ )d' =
														2
=	2		3'	+ )			=	2	ei	5	ei =	2	(i + 1):
	3ei(		2			0		3		2		3

5.2. Интегральная теорема Коши

Рассмотрим теперь интегралы от аналитических (однозначных) функций. Важную роль при этом играет теорема:

Теорема 5.2 (интегральная теорема Коши для односвязной области). Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D. Тогда для любого замкнутого контура , лежащего

R

в D, f(z)dz = 0.

Заметим, что если функция f(z) является аналитической в замкнутой односвязной области D, то в качестве можно взять также границу этой области.

Рассмотрим теперь обобщение теоремы Коши на многосвязные области. Пусть D n + 1-связная область, граница которой состоит из внешнего контура 0, и внутренних контуров

1; : : : ; n.

180

Теорема 5.3 (интегральная теорема Коши для многосвязной области). Предположим, что функция f(z) аналитична а замкнутой n + 1-связной области D. Тогда интеграл от f по границе области D равен нулю; при этом предполагается, что обход граничных кривых проводится в таком направлении, чтобы область D оставалась слева.

Z	f(z)dz + Z		f(z)dz + : : : + Z		f(z)dz = 0:	(5.6)
0
	1		n

Теорему 5.3 можно сформулировать в следующей форме.

Если функция f(z) аналитична в замкнутой n + 1-связной области D и все граничные контуры 0; 1; : : : ; n обходятся в одном и том же направлении, то

Z	f(z)dz = Z	f(z)dz + : : : + Z	f(z)dz;	(5.7)
0	1	n

где 0 внешний контур, охватывающий остальные.

Формула (5.7) сразу получается из формулы (5.6), если у контуров 1; : : : ; n (или у контура 0,) изменить направление обхода на противоположное и перенести соответствующие интегралы в другую часть равенства (5.6).

Из теоремы 5.2 вытекает следующее важное свойство неза-

R

висимости интеграла f(z)dz от пути интегрирования.

Следствие 5.1. Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D и пусть a и b две любые точки из D. Тогда интегралы по всем кривым, идущим из a в b и лежащим внутри D, равны между собой.

Другими словами, интеграл зависит не от пути, а лишь от его начальной и конечной точек.

Точки z, в которых (однозначная) функция f(z) является аналитической, называются регулярными, или правильными.

181

Точки, в которых f(z) не является аналитической, в том числе точки, в которых f(z) не определена, называются особыми точками функции f(z). Особая точка z0 называется изолированной особой точкой, если найдется такая окрестность с центром z0, в каждой точке которой, за исключением самой точки z0, функция f(z) является аналитической.

Следствие 5.2 (неизменяемость интеграла при деформации пути интегрирования). Интеграл от аналитической функции f(z) по кривой (замкнутой или незамкнутой) не изменяет своей величины при любой непрерывной деформации кривой , если только при этой деформации кривая не пересекает особых точек функции f(z); в случае незамкнутой кривой подразумевается, что при деформации начало и конец остаются неподвижными.

5.3.Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть f(z) аналитическая функция в области D. Аналитическая в области D функция F (z) называется первообразной функции f(z), если F 0(z) = f(z) для всех точек z из D. Ясно, что если к первообразной F (z) прибавить произвольную постоянную C, то снова получится первообразная F (z) + C. Покажем, что никаких других первообразных функция f(z) не имеет, а именно: все первообразные функции f(z) получаются из какой-либо одной первообразной F (z) прибавлением произвольных постоянных C. Другими словами, любые две первообразные F1(z) и F2(z) одной и той же функции f(z) отличаются друг от друга постоянным слагаемым. По определению первообразной, функции F1(z) и F2(z), а следовательно, и их разность '(z) = F1(z) F2(z) = u(x; y) + iv(x; y) аналитичны в

182

области D, причем

'0(z) = F10(z) F20(z) = f(z) f(z) = @u@x + i@x@v = 0:

Отсюда получаем, что @u@x = 0, @x@v = 0 и, следовательно, функции u и v не зависят от x. В силу условий Коши-Римана (3.4) также @u@y = 0, @y@v = 0. Значит, функции u и v не зависят и

от y. Таким образом, функции u, v, а вместе с ними и функция ' являются постоянными, и F1(z) = F2(z) + C.

Итак, множество всех первообразных функции f(z) записывается в виде F (z) + C, где C произвольная постоянная. Это множество называется неопределенным интегралом от f(z) и

R

обозначается f(z)dz. Таким образом,

Z

f(z)dz = F (z) + C:

(5.8)

Пусть f(z) аналитическая функция в односвязной области D. Возьмем две точки z0 и z в D и рассмотрим интеграл

z
(z) = Z	f( )d ;	(5.9)
z0

вычисленный по какой-либо кривой, идущей от z0 к z и лежащей в D. Поскольку область D односвязна, то интеграл не зависит от выбора пути интегрирования (следствие 5.1). Если точка z0 фиксирована, то интеграл (5.9) зависит только от точки z и, следовательно, является в D функцией переменного z. Эта функция называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 5.4. Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D и z0 некоторая фиксированная точка из D. Тогда функция (z), определенная равенством (5.9), также аналитична в D и является первообразной функции f(z).

183