функции w = (3 + 2i)z4 не должна содержать внутри себя точек, модули которых совпадают, а аргументы отличаются на 2 , то есть областью однолистности является любой сектор вида

< arg z < + 2 ; где 2 R (в частности, при = 0 получим первую четверть.

2.5.Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Введем важное понятие предела функции w = f(z) в точке. Пусть задана точка z0 2 C и положительное число . Проколотой -окрестностью точки z0 называется -окрестность этой точки, за исключением самой точки z0 (т.е. внутренность круга радиуса с центром z0, из которого удален центр z0). Это множество можно записать в виде неравенств: 0 < jz z0j < .

Пусть функция w = f(z) определена в некоторой проколотой окрестности точки z0. Число A называется пределом функции w = f(z) в точке z0, если для любого " > 0 найдется такое > 0 (зависящее от "), что для всех точек проколотой-окрестности точки z0 выполняется неравенство jf(z) Aj < ".

Обозначается lim f(z) = A.

z!z0

Число A называется пределом функции w = f(z) в точке z0, если для любой (сколь угодно малой) окрестности UA точки A найдется такая проколотая окрестность точки z0, что для всех точек z из этой проколотой окрестности соответствующее значение w = f(z) лежит в UA.

В такой форме определение предела охватывает и случаи z = 1 и (или) A = 1; под проколотой окрестностью точки z = 1 понимается множество jzj > R.

Данное определение предела аналогично определению предела для функций действительных переменных. Поэтому такие важные теоремы, как теоремы о пределе суммы, произведения, частного и т.д. сохраняют силу и для функций комплексного

53

z!z0

Рис. 2.4

переменного. Если z = x + iy и f(z) = u(x; y) + iv(x; y), то равенство lim f(z) = A = a + ib эквивалентно двум равенствам

z!z0	lim v(x; y) = b, в которых фигурируют преде-
lim u(x; y) = a,
x!x0	x!x0
y!y0	y!y0

лы действительных функций u(x; y), v(x; y) двух действительных переменных x и y.

Дадим теперь определение предела функции в граничной точке области D (рис. 2.4). Если функция f(z) определена лишь в области D, то для граничной точки z1 не существует проколотой окрестности, в которой заданы значения f(z); в этом заключается отличие от предыдущего случая.

Число A называется пределом функции w = f(z) в граничной точке z1, если для любого " > 0 найдется такое > 0, что для всех точек проколотой -окрестности точки z1, принадлежащих области D, выполняется неравенство jf(z) Aj < ".

На рис. 2.4 указанные точки из D отмечены штриховкой. Перейдем к определению непрерывности функции ком-

плексного переменного.

Функция w = f(z), определенная в окрестности (не проколотой!) точки z0, называется непрерывной в точке z0, если lim f(z) = f(z0).

Непрерывность функции w = f(z) = u(x; y) + iv(x; y) в точке z0 = x0 + iy0 эквивалентна непрерывности двух действительных функций u(x; y) и v(x; y) переменных x и y в точке

(x0; y0).

Функция w = f(z), определенная в области D, называется

непрерывной в этой области, если f(z) непрерывна в каждой

54

точке области D. Функция w = f(z) называется непрерывной в замкнутой области D, если она определена в D и для каждой точки z0 2 D (включая граничные точки) выполнено равенство

lim f(z) = f(z0).

z!z0

Зафиксируем точку z0 и возьмем другую точку z 2 D. Тем самым аргумент изменится на величину

4z = z z0 = 4x + i4y;

называемую приращением аргумента. Соответствующее изменение функции

4w = f(z) f(z0) = f(z0 + 4z) f(z0)

называется приращением функции.

Функция w называется непрерывной в точке z0, если

lim 4w = 0.

4z!0

Пример 2.5. Функция w =	Im z			определена для z 6= 0.
		z

Можно ли доопределить ее в точке z = 0 так, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

Решение. Выделим действительную и мнимую части

функции w:

Im z

y

y(x + iy)

xy

y2

w =

=

=

=

+ i

:

x iy

2

2

2

2

2

2

z

x

+ y

x + y

x + y

Тогда u =

xy

, v =

y2

. Функции u(x; y), v(x; y) непре-

x

2

+ y

2

2

+ y

2

x

рывны в R2 за исключением точки (0; 0). В самом деле, пусть

(x; y) ! (0; 0) вдоль прямой y = kx. Тогда

lim

xy

= lim

x2k

=

k

;

x

2

+ y

2

2

2

x

2

1 + k

2

x!0

x!0 x + k

y!0 y=kx

55

lim

y2

= lim

x2k2

=

k2

:

x

2

+ y

2

2 2

x

2

1 + k

2

x!0

x!0 x + k

y!0 y=kx

Значит, пределы не существуют, так как их значения зависят от способа стремления точки z к нулю. Следовательно, предел функции w в точке z = 0 не существует, и ее нельзя доопределить в точке z = 0 так, чтобы она стала непрерывной.

Функция w, определенная на множестве D, называется равномерно непрерывной на этом множестве, если для любого " > 0 существует такое > 0, что для любых z1 2 D, z2 2 D, таких что jz1 z2j < выполняется неравенство jw(z1) w(z2)j < ".

Теорема 2.2 (Кантора). Если функция w непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D, то она и равномерно непрерывна на этом множестве.

Задания для аудиторных занятий к § 2

1. Доказать, что:

1)

lim

2in + 3

= 2i;

3)

lim

2n i

= 1;

n!1 n 5 + 2i

n!1

2n + i

2)

lim

5 7in

=

i

;

4)

lim

2n + 5i 1

=

2i

.

n

!1

3 + 7n

n

!1

in + 1

2. Найти пределы следующих последовательностей:

z

=

4n2 + 3n 1

i

5 + 2n

1)

n

3 + n ;

p

1 n2

2)

z

n

=

5n2 2n + 1

i

n2

9n + 7

2n + 3

n3 + 1

;

z

=

(n + 3)(7 2n)

+ i

2n 1

3)

n

9 11n + 3n2

p9n2 + 4n + 1;

56

n + 2

3n

5

4n

4)

zn =

+ i 1 +

;

n

2

n

2

1 +

4

2n

5n + 1

2n+3

5)

zn =

+ i

;

5

3n

5n

1

6)

zn = arctg

2n + 1

+ i3n sin

5

;

2n 1

4n

4

2

7)

zn = n2 sin

n2

+ in2

1 cos

n

;

8)

z

= (4n + 1)

sin

2

+ sin

3

+ i

n2 1

;

n

n

n

p3 + n2 + 4n4

9)

zn = ln

n2 5n + 3

+ i(2n + 1) arctg

2

;

n2 + 7n

9n

10)

z

=

n2 + 5n 1

5n

+ i arctg

n2 + 5n 1

n

n2 4n + 2

n + 4 .

3. Вычислить:

1)

lim

2z2 (3 4i)z 6i

;

z!2i

2z2 + 5iz 2

2)

lim

z2 (2 2i)z 2i

;

z!1 i

z2 2z + 2

3)

lim

2z2 5iz 3

5) lim

ch z

;

z!i

z2 + 1

;

z! 2 i

cos iz

4)

lim

ez + 1

;

6) lim

sin 5z

.

z! i

sin iz

z!0 z2 + sh 3z

4. Доказать по определению, что функция w = f(z) непрерывна в точке z0.

1)w = (4i + 1)z + 2 i; z0 = 2i;

2)w = 5iz + 3 2i, z0 = 1 + i;

3)w = iz2 2z, z0 = 1 i;

4)w = 3z2 iz, z0 = 3 + 2i.

5.Определить действительную и мнимую части функции

w = f(z).

57

1)w = 3z2 4iz;

2)w = zz 4Imz + 2Rez;

3)w = z2 5Imz2 + iRez;

4)w = (2 + 3i)z2 5z + 7i;

5)w = (z i)3;

6)w = (3 + 2i)z2 + 5izRez + Imz;

7)w = 2z + 3i; z 2i

8)w = 2zi + z1 z2;

9)w = 3z2 5iRez3 + z;

10)w = 3z3 5z2 + z.

6.Найти образы прямых x = c, y = c, y = x при отображении w = z2.

7.Найти образы прямых x = c, y = c и окружности jzj = r

при отображении w = z1.

8.Найти прообразы линий x = c, y = c при отображении

w = z1.

9.Для отображений w = z + z1 и w = z z1 найти образы

окружностей jzj = r.

10.Для отображения w = z + z1 найти прообразы прямых x = c, y = c.

11.Найти все значения функции w = f(z) в точке z0.

1)w = z2 + iz pz, z0 = i;

z

2) w = zz + iRez pz , z0 = 1.

12. Определить области однолистности функции w = f(z).

1)	w = z2;	4) w =	az + b		, ad bc 6= 0;
2) w = z3;			cz + d
		5) w = ez;
3) w = zn;		6) w =	1	(z +		1	).
			2
						z

58

13. Функции w = f(z) определены для z 6= 0. Какие из них могут быть доопределены в точке z = 0 так, чтобы они стали

непрерывны в этой точке?

Rez

2

)

1) w =

;

3) w =

Re(z

;

z

2

jzj

z

zRez

2) w =

;

4) w =

.

jzj

z

14. Установить, будет ли функция w = f(z) непрерывна,

равномерно непрерывна в области D.

1) w =

1

, D : jzj < 1;

z2 + 6z + 8

1

2) w =

,

D : jzj

< 1; j arg zj <

;

1 + z2

3

Re(z2)

3) w =

,

D : 0 < jzj < 2; Re > 1;

z

2

j2 j

4) w =

z + 2

, D : 1 < jzj < 2; Re < 0;

z(1 z)

+1

z+i

5)w = ez i 1 , D : Re z + Im z < 1.

15.Выведите формулы стереографической проекции, выражающие координаты ( ; ; ) точки P сферы с диаметром 1, касающейся z-плоскости в нулевой точке, через координаты

(x; y) соответствующей точки z. Выразите также x и y через; ; (оси ; предполагаются совпадающими с осями x и y).

16. Выведите формулы соответствия между координатами ( ; ; ) точки P и (x; y) точки z из задачи 14, в случае если сфера Римана имеет радиус 1, а z-плоскость проходит через её центр.

17. Воспользовавшись результатами задачи 14, найдите на

1 i;

1 ip

p

+ i

сфере образы точек:

1;

1; i;

3

;

3

.

p

2

2

2

59

ИДЗ 2

1. Доказать, что:

1.1. lim

n i

= 1;

n!1 n + 1

1.2. lim

2n i

= 2;

n!1 n + 5

lim

2n 3 + i

=

2i

1.3. n

!1

in + 1 + i

;

1 ni

lim

=

1

;

1.4. n

!1

1 + ni

5 7ni

lim

=

7

;

1.5. n

!1

ni + 5

3n i

lim

=

3i

;

1.6. n

!1

in + 3

4ni + 1 i

1.7. lim

= 4;

n!1

in + 5

1.8. lim

2n i

= 1;

n!1

2n + i

1.9. lim

5ni + 1

= 5i;

n!1 n + 5i

1.10. lim

n + 3i 1

= 1;

n!1 n 3i + 1

1.11. lim

2n + 3i

=

2

;

3n i

3

n!1

lim

3i + 1 n

=

1

;

3

1.12. n

3n + i

!1

2ni 1

1.13. lim

= 2i;

n!1 n + 2i

lim

5n i + 12

=

5i

;

1.14. n

in + 12

!1

7n 4i 3

1.15. lim

= 7;

n!1 n i + 1

1.16. nlim		ni + 3					=		i	;
	i		2n + 1						2
!1				2
1.17. lim	(n i)				= 1;
n!1	n2 + 1
1.18. lim	2n3 3in2 + 1								= 2;
n!1			n3 1

1.19.lim n2 5in + 4 = 1; n!1 n2 + 4n 5i

1.20.lim 3in + n2 i = 1; n!1 2n2 n 1 2

lim

5n + 3i in

= 5

i

1.21. n

!1

n + 5i

1

;

n

2

i

lim

+ 3in i

=

2;

1.22. n

!1

2in2 + 1

2n3 4in2 +1

lim

=

2i

;

1.23. n

!1

(1

in)3

lim

(3n i)2

=

3i

3in2 + 2

1.24. n

!1

;

2in2 3n + i

1.25. lim

= 2i;

n!1 n2 + 5in 4

1.26. lim

3n 1 i

= 3;

n!1

n + 3

1.27. lim

5in n i

= 5 + i;

n!1

in

2

3

1.28. lim

(in 1)

= 1;

9 n2

n!1

1.29. lim

4n 2 i

= 2i;

n!1

3 2in

lim

5n 3i

=

5i

2in + 5

2 .

1.30. n

!1

60

2. Вычислить:

2.1. lim

2n + 3

+ i

5n + 1

;

n 4

1 3n

n!1

7n + 3

3n + 1

2.2. lim

+ i

;

n!1

3n

7n + 1

3n + 4

2n + 1

2.3. lim

+ i

;

n!1

1 3n

1 5n

2.4. n!1

4 3n

1 2n ;

lim

5n

1

+ i

6n + 1

3n

1

1 n3

;

lim

+ i

5n

2

3n3

2.5. n!1

2n2 + 1

2.6. n!1

n2 + 3n

1 5n + 1

n2 4

+ i1 5n ;

lim

2.7. n!1

2n2

3n + 1

5n2 + 3

;

(1

2n)2

+ i4 + 2n

n2

lim

5n + 2

5n + 1

2.8. lim

+ i

;

4n 3

n!1

1 3n2

;

lim

2n2 + 3n

1

+ i

5 4n

3n n3

5n + 4

2.9. n!1

n2 + 3n

1 2n + 1

;

2.10. n!1 1 + 3n n2

+ i

1 + 2n3

lim

lim

(n + 1)2

1

+ i

4 8n

3 3n2

5n + 3 ;

2.11. n!1

lim

5n2 2n + 3

+ i

15n + 4

;

1 3n

2.12. n!1

2n2 + 1

lim

n 1

+ i

1 + 2n2

3n2 n + 1 ;

2.13. n!1

n

+ 1

2.14. n!1 pn2

6n + 5

;

lim

n

1

+ i

5n + 4

61

2.15. n!1

+ i1 7n!;

4 3n

lim

p4n2 + n

1 3n + 7

;

n2

6n + 9

5 4n2

lim

+ i

n2 3n

(1 2n)2 2

2.16. n!1

2n2 + 1

+ i

5n + 2

;

2.17. n!1 n2 3n + 5

1 n2

lim

2.18. n!1

1 + n + 3n2

+ i

7n + 1

;

n2 1

1 7n

lim

2n + 1

3n + 2

2.19. nlim

p

2

+ i

;

!1

1 + n

1 3n

4n + 7

9n + 1

2.20. lim

+ i

;

n!1

7n 4

9 3n

lim

n2 + 4n

5

+ i

1 n3

n2 1

(1 + 2n)3 3n ;

2.21. n!1

2.22. n!1

2n2 + 1

2n + 9

4 3n2

+ i9 2n ;

lim

2.23. n!1

3n 2

1 3n ;

lim

5

7n

+ i

3n + 4

2.24. n!1

n2

4n + 1

1 2n2

;

lim

(n + 1)(3 2n)

+ i

7n + 10

2.25. n!1

2n 1 + ip2n2 + 3n 5

;

lim

n + 2

3n + 5

2n + 1

n + 3

2.26. lim

+ i

;

n!1

1 n2

1 3n

2.27. n!1

8n + 3

+ i5

5n2

5

4

3n

3n

2n2 ;

lim

2.28. n!1

;

8n3 + 1

+ i

n2 + 1

4 3n n3

(1 2n)2 1

lim

2n + 5

7n + 1

2.29. nlim

p

2

5

+ i

;

!1

n

7 12n

62

2.30. lim

4n + 1

+ i

5n + 6

.

4 n

n!1

6 5n

3. Вычислить:

i

1 3n

!;

3.1. nlim

1 + 2n

1

n

1

n

!1

i

!;

3.2. nlim

1 2n + 1

n+1

1 n

n+2

1

2

!1

3.3. nlim

n

3

i

3 + 2n

!;

n + 3

n

2n + 1

n

!1

!;

3.4. n!1

2n + 1

3n 1

lim

2n

1

2n + i

3n + 4

n

!;

3.5. nlim

n2

1

n

i

2n

1

2 n

n2

+ 1

5 + 2n

!1

!;

3.6. nlim

1 + 3n + 5

2 n

+ i

1 2

5

3n

1

1 n

!1

1 + 2n

!;

3.7. nlim

3

3

+ i

1 + n + 1

2n+3

1

n 1

!1

3.8. nlim

2n

1

+ i

1 n + 2

!;

2n + 7

n+4

5

3n+1

!1

3.9. n!1

5n + 1

3 + n

!;

lim

6

5n

2n

i

n + 1

3n

!;

3.10. nlim

4n

1

3n+2

+ i

1 5n

3

3

4n + 1

7n 3

!1

i

3.11. nlim

5n + 6

n2

3

3n

!;

5n + 1

n

n2

+ 5

!1

63

3.12. lim

n!1

3.13. lim

n!1

3.14. lim

n!1

3.15. lim

n!1

3.16. lim

n!1

3.17. lim

n!1

3.18. lim

n!1

3.19. lim

n!1

3.20. lim

n!1

3.21. lim

n!1

3.22. lim

n!1

3.23. lim

n!1

3.24. lim

n!1

1 + 2n

4

1

i

2 + 3n

!;

7n+3

5 + 3n

1+n

2n

1

n+1

+ i

n n

1

!;

4

2n

3 5n

!;

3 + 2n

1 n

+ i 1

2n + 1

1 + 2n

3

5n+1

2n + 4

4n + 1

!;

2n 1

n + i

4n

1

2n

!;

5

3n

i

3n

2 3n

n

3n + 4

2n

!;

3n + 2

n

3n 4

2n

+ i

n + 5

3n+4

2n + 1

3n + 2

!;

+ i 1 +

2n

4n

2

3n

2n + 1

+ i 3n3+ 2

!;

2n + 5

5n

n

n 2

n + 1

+ i

n + 1

!;

n

2n 3

n

2n 3

2n2n 5

5n

+ i n + 1

!;

n + 2

1 2n

!;

2n 3

3n + 1

2n

3n 2 + i

3n

4

2n 1

!;

2n

3n + 1

2n 4

1 4n + i

3n

7

4n

!;

7

3n

2n

+ i

4n + 1

2 3n

4n

3

1 3n

64

3.25. nlim

3 + 5n

i

3

n

!;

1 + 5n

2n

3

2n+3

!1

3n3n

3 2n

!;

3.26. nlim

7

+ i

n

3

n + 3

5n

!1

i

!;

3.27. nlim

7n

1

1 2 + 3n

7n + 1

n

6

2n+3

!1

lim

2n 1

5n+2

+ i

1 n

3n

!;

2n + 5

3.28. n!1

2 n

3.29. nlim

5n5+ 2

i 3n + 5

!;

!1

n

2n

3n

n+2

3.30. nlim

1

7n

+ i

3n + 8

!.

4 7n

n+1

3n + 7

2n+9

!1

4. Вычислить:

3

3n + 1

4.1. lim

n2 sin

+ i

;

n!1

n2

n + 5

n ;

4.2. n!1

1 cos n

lim

n2

3

+ in sin

5

lim

n + 1

3

arctg

n

+ in sin 2n ;

4.3. n!1

p

p

1

n2 + 3n + 1

lim

2

n

n sin n

+ i

n2 1

4.4. n!1

+ 1

4.5. nlim

n2

1 cos n

+ i

3n + 5

!;

8

3n + 1

2n

!1

4.6. n!1 2n

3

n2 + 1

;

tg n2 + in3 1

lim

2

;

4

1 n3

lim

n sin

+ i

4.7. n!1

n n3 + 5n2 + 7

65

;

4.8. nlim

ctg 5n sin 7n + i

n + 5

!;

3

2

n + 1

2n

!1

4.9. n!1 3n

1

1

+ i

(2n + 1)2

2

tg n

sin n

5n2 + 1 ;

lim

4.10. n!1

n

n

;

lim

n

sin

3

+ sin

5

+ 5i

+ i5n + 4

;

4.11. n!1

(2n + 3)

sin n + sin 5n

lim

5

2

n + 1

n2 sin2

n + i

!;

4.12. nlim

n + 5

1

n + 1

3n

!1

n

4.13. n!1

1

1

+ i

n2 + 1

3

tg n

sin n

5 3n2 ;

lim

4.14. n!1

3n

2

tg

2

3

1

5n2

;

2n + i

n3

lim

n

;

4.15. n!1

2n + 1

3n + 5

lim

2n

1

+ i ln

5n + 3

n2 + 1

4.16. n!1

1

n3

1 cos n2 + i ln 4n2 + 3 ;

lim

;

4.17. n!1

arctg pn2

+ 3n + 1

+ in sin 3n + 2

lim

n + 3

5

!;

4.18. n!1

n

sin 3n3

+ i

2n 1

lim

3

5

p3n2

+ 1

n

1 cos n

+ in tg 7n ;

4.19. n!1

lim

2

1

2

3n2 + 2n + 5

3

lim

arctg

3n + 2

+ in sin 2n ;

4.20. n!1

p

sin

2

+ i ln

n2 5n + 3

lim

4n2 + 3n + 1

4.21. n!1

4n arctg 7n + i

3n

4n2 + 7

4.22. nlim

2n + 5

!;

3

2n + 3

1 2n

!1

66

;

lim

n2

tg

9

+ i

3n2 + 4n 5

4.23. n!1

n3

p3 3 + 5n2 + 7n6 ;

lim

(5n + 3) arcsin

4

+ i

1 5n3

;

4.24. n!1

n 4n3 + n2 + 3

4.25. nlim

ctg

2

sin

1

+ i

3n + 1 7+2n

!;

3n

7n

3n + 7

!1

4.26. nlim

n

sin

5

sin

9

+ 5i

n2 + 1

!;

n

n

5 + 2n2

!1

r

;

lim

(9n

1)

sin

4

+ sin

3

+ i arctg

100n + 11

n

11n

4.27. n!1

5n2 + 3n

2

2

5

2n+1

5+7n

lim

n sin

+ i

;

3n

4.28. n!1

2n+3

n

3

9

lim

+ 3n + 3

4.29. n!1

arctg p15n5 + 3n3 + 5n + in sin 2n + 11

;

lim

2

1

1

(3n + 4)2

7n

tg n sin n + i12n2 + 8n + 4

.

4.30. n!1

5. Вычислить:

5.1. lim

2z2 + 5iz 3

;

5.7. lim

eiz i

;

z2 + 1

z! i

z! 2

cos z

5.2. lim

sin 3z

;

5.8.

4z2 + 1

;

limi

z!0 z2 + 9iz

e z + i

z2 + 4

z!

5.3.

;

2

lim

2z

2

3iz

1

2z2 + (4i

z

!

2i

1)z

2i

lim

5.4.

e2iz + 1

;

5.9. z!i

e z + 1

;

lim

5.10. lim

sin 3z

;

e z + i

z

!

=2

+ 1

sin z

z! eiz

5.5. lim

;

z2 + 1

z!0 sh iz

5.11. lim

;

2

z

i

3z

+ iz + 2

5.6. lim

z2 iz + 6

;

!

z!3i

z2 + 9

67

5.12.

lim

3z2 iz + 2

;

5.22. lim

z2 + 9

;

6z2 + 7iz 2

2

z!

3i

z!3i z

5iz + 6

2

2

3iz + 4

5.13.

z2 + 4

;

5.23.

lim

z

;

lim

z! 2i 2 3iz 4z

2

2z2 + 5iz 2

z

2i

!

z

e z + 1

5.24. lim

e

+ 1

;

5.14. lim

;

2

z! i

z + i

z!i z

2 3iz 2

cos

i

lim

z

4iz + 2i

z

5.15.

lim

;

5.25. z

!

2i

z

2

3iz

2

;

e

z

1

z

z

2i

!

e

2z 1

5.26. z lim

+ i

;

z 2

lim

i

sin

i

z + 3

;

5.16. z!1

! 2

3z

z

z2 +(2i

4)z+3

4i

lim

e

1 3z

5.17.

lim

;5.27. z!0

sin(z2)

;

2

3z

+(2i 6)z+2i 1

z!2 i

z2

3iz + 6

z2 + 2z

3

z

lim

lim

z2

;

5.28. z

!

i z

2

4iz + 3;

5.18. z!1

1

ez

i

z

2

3i

5.29. lim

;

lim

3z+1

3;

z

!

i

ch z

z2

2

(3+4i)z+9i

5.19. z!3+i

2

(4+i)z+1 2i

2

5.30.

lim

2z

.

z

iz + 2

;

lim

z

!

2+i

z

2

2z

2i+1

5.20. z!2i

z2 + 4

5.21.

lim

z2 2(1 i)z 2i

;

z!1 i

z2 z + 1 + i

6. Доказать, используя определение, что функция w = f(z) непрерывна в точке z0:

6.1.w = (3i 1)z + 5 2i, z0 = 1 i;

6.2.w = (5 + 2i)z i + 1, z0 = 3 2i;

6.3.w = (3 2i)z + 5 2i, z0 = 4 i;

6.4.w = (4 + 2i)z 7i + 1, z0 = 3 + 2i;

6.5.w = (7 3i)z + 5i, z0 = 4i 1;

6.6.w = 3i + 2 (2i + 1)z, z0 = 3i;

6.7.w = (3i + 2)z 2i, z0 = 1 + i;

6.8.w = (4 2i)z + 3i, z0 = 1 + 2i;

6.9.w = (4 + 2i)z i + 1, z0 = 3i 1;

68

3z

6.10. w = 2z + 1, z0 = i;

2i + z

6.11. w = iz 2, z0 = i;

6.12. w = 3z2 iz, z0 = i;

6.13. w = z2, z0 = 2 i;

6.14. w = 2z2 + 3, z0 = 2i;

6.15. w = z2 iz, z0 = 3 + i; 6.16. w = 2z2 + iz, z0 = 2 i;

1 + iz

6.17. w = i + z , z0 = 3i;

2i

6.18. w = z 3i, z0 = 5i;

1

6.19. w = z + z , z0 = i;

3i

6.20. w = iz + 1, z0 = 2i;

z i

6.22. w = 2z + 1, z0 = 1 i;

1

6.23. w = z z , z0 = 2i;

4z i

6.24. w = z 2i, z0 = i;

1 iz

6.25. w = 1 + iz , z0 = 1 i;

i 3z

6.26. w = 3i + z , z0 = i;

z i

6.27. w = iz + 3, z0 = i;

1 + 3z

6.28. w = 1 z , z0 = i;

6.29. w = iz2 3z+i, z0 = 2i;

1 3i

6.30. w = z + 3i, z0 = i.

6.21.w = 3z2 + iz, z0 = 1 + i;

7.Найти действительную и мнимую части функции:

7.1. w = 2i z + iz2;

7.14. w =

2z i

;

3

+ 2i

;

z

7.2. w = (3z i)

7.15. w = iz

2

+ (5z + 3) Im z;

7.3. w = 2z3

4z2 + 1;

z + i

7.4. w = 3z2 Im z2 + ijzj;

7.16. w =

;

i

7.5. w = z

Im z2

2z + i;

z

7.17. w =

z

i

;

7.6. w = (i 2)jzj + Im z3;

+

i

z

7.7. w = z2 + 7z + 1;

2

;

7.8. w = z

(3i + 1)z Re z;

7.18. w = (3z + 2) Re z z

z

7.19. w = (2i

1)z2 + 3z

i;

2

7.9. w = (5+3i)z2 (4 i)z+2i;

7.20. w = z Im z + 2z2;

7.10. w = (2+i)z

3z+5i Re z;

w =

2z + 3

7.11. w = 3iz2 4z Re z + iz;

7.21.

i + z

;

7.12. w =

3 2z

+ Im z;

1 + z

z

z

7.22. w =

;

7.13. w = z

(3z 2) Im z;

1 z

z

2

;

7.23. w = 4i + iz z

69

7.24. w =

2i + z

;

7.28. w = z3 3iz2 z;

iz

2 2

;

7.29. w = 2z

z2 + i Im

2

;

z

z

7.25. w = 3z

+ 2z + z Re z

2

3

+ 2z.

7.30. w = 3z

z Im z

7.26.w = z Re z3 2iz2;

7.27.w = 3z2 + iz Im z2;

Решение типового варианта

lim

3n 2 + 7i

=

3i

Пример 1.

Доказать, что n!1

in + i 2

.

Решение. Воспользуемся определением предела последо-

вательности zn:

nlim!1 zn = a , 8" > 0

9N" 2 N : 8n > N" ) jzn aj < ":

Оценим выражение jzn aj.

3n 2 + 7i

( 3i) =

3n 2 + 7i + 3i2n + 3i2 6i

=

in + i 2

in + i 2

p

26

p

5 + i

откуда j

j

26

=

in+i 2

=

jin+i 2j

<";

"

,

,

26

,

26 4"2

,

26 4"2

.

"2

"2

r

"2

(n+1)2 + 4 >

(n+1)2 >

n >

1

Следовательно,

8

9

"

"

# 2 N

8

" )

"

" > 0

N =

p26 4"2

:

n > N

)

3n 2 + 7i

(

3i) < ";

in + i 2

lim

3n

2 + 7i

3i:

=

значит, действительно n

in + i

2

!1

2

4n+3

2

9

.

Пример 2.

lim

3n

+ i

(n+2)

10 3n 2n2

Вычислить n!1

4+7n2

70

Решение. Воспользуемся соотношением:

lim zn =

lim xn

+ i

lim yn;

n!1

n!1

n!1

где zn = xn + iyn. Тогда

3n2 4n + 3

n2(3 n4 +

3

)

=

lim xn = lim

= lim

n2

n!1

n!1 10 3n 2n2

10

3

2)

n!1 n2(n2

n

3 n4 +

3

3

n2

= nlim

=

;

10

3

2 2

2

!1 n2 n

n

2

lim yn

= lim

(n + 2)

9

= lim

+ 4n 5

=

n!1

n!1

4 + 7n2

n!1

4 + 7n2

n2(1 + n4

5

)

1 + n4

5

1

= lim

n2

= lim

n2

=

:

4

+ 7)

4

+ 7

7

n!1

n2(

n!1

n2

n2

3

1

Значит nlim zn = nlim xn + i nlim yn =

+

i.

2

7

!1

!1

!1

3n+1

2

5+2n

!.

3+2n

2

lim

+i

n

7+2n

n2

Пример 3. Вычислить n

+2

!1

Решение. Воспользуемся вторым замечательным преде-

1

n

Тогда

lim

1 +

= e:

n

лом: n!1

!

lim

3 + 2n

3n+1

+ i

n2 2

5+2n

=

7 + 2n

n2 + 2

n!1

= lim

3 + 2n

3n+1

+ i lim

n2 2

5+2n ;

n!1 7 + 2n

n!1 n2 + 2

lim

3 + 2n

3n+1

= lim

1 +

3 + 2n

1

3n+1

=

7 + 2n

7 + 2n

n!1

n!1

3n+1

3 + 2n 7 2n

3n+1

4

= lim

1+

= lim

1 +

=

7 + 2n

n!1

7 + 2n

n!1

71

n!1

7+2n

!

4 (1 3n)

n!1

7 + 2n

7+2n

4

4

12n 4

= lim

1 +

12 4=n

= lim e 7+2n

=

lim

12n 4

lim

= e6:

= en!1

7+2n

= en!1

7=n+2

lim

n2 2

5+2n = lim

1 +

n2 2

1

5+2n =

n2 + 2

n!1

n!1

0

n2 + 2

1

20 8n

= nlim

1+ n2 +2

=nlim

1+ n2 +2

2

=

!1

4

5+2n

4

n +2

n2+2

!1

@

4

A

n2+2

2

20

8n

lim

20 8n

=

= lim e n +2

= en!1

n!1

2

lim

20=n

8=n

= e0 = 1:

= en!1

1+2=n2

n2

!

Значит, n!1

7 + 2n

3n+1

+ 2

5+2n

lim

3 + 2n

+ i

n2

2

= e6 + i:

Пример 4. Вычислить:

:

n2 + 2n + 5

3

n!1 arctg p2 + 3n2 + n3

5n + 1

lim

+ i(2n + 3) arcsin

Решение. Вычислим пределы действительной и мнимой

части последовательности fzng.

n2 + 2n + 5

nlim Re(zn) = nlim arctg

p

=

;

2

2 + 3n

2

+ n

3

так как

!1

!1

n2 + 2n + 5

n2

1 + 2 +

5

2

n!1 p2 + 3n2 + n3

n!1 n3=2

2

+

3

+ 1

lim

= lim

n

n

=

q

n1=2

1 + n2 +

5

n3

n

n2

n!1

2

+ 3 + 1

1

и

n!1

2

=

lim

=

;

lim arctg n =

:

q

n3

n

3

lim Im(zn) =

lim (2n + 3) arcsin

:

n!1

n!1

5n + 1

72

Выполним

замену 5n + 1 =

1

;

тогда

n =

1

t

,

t

5t

2 + 13t

2n + 3 =

,

t ! 0

при

n ! 1 и воспользуемся экви-

5t

валентностями: arcsin t t при t ! 0, получим:

nlim (2n + 3) arcsin

3

lim

arcsin 3t

(2 + 13t) =

5n + 1 = t

!

0

5t

!1

= lim

3t(2 + 13t)

= lim

3

(2 + 13t) =

6

:

5t

5

t!0

t!0

5

6

Значит nlim fzng =

+

i:

2

5

!1

2z2 5iz + 3

Пример 5. Вычислить lim

:

z!3i 3z2 14iz 15

Решение. Подставляя z

= 3i

в выражение, стоящее под

знаком предела, убедимся, что числитель и знаменатель обра-

щаются в нуль, т.е. имеем неопределенность вида

0

:

жим числитель и знаменатель на множители:

0

Разло-

2z2 5iz + 3 = 0;

D = ( 5i)2 4 2 3 = 25 24 = 49;

z

=

5i 7i

=

0; 5i; z

=

5i + 7i

= 3i;

1

2

4

4

значит, 2z2 5iz + 3 = 2(z + 0; 5i)(z 3i) = (2z + i)(z 3i):

3z2 14iz 15 = 0;

D = ( 14i)2 4 3 ( 15) = 196 + 180 = 16;

z1

=

14i 4i

=

5i

; z2 =

14i + 4i

= 3i;

6

3

6

откуда 3z2 14iz 15 = (3z 5i)(z 3i): Получим:

lim

2z2 5iz + 3

= lim

(2z + i)(z 3i)

=

3z2 14iz 15

(3z 5i)(z 3i)

z!3i

z!3i

= lim

2z + i

=

2 3i + i

=

7

:

3z 5i

3 3i 5i

z!3i

4

Пример

6. Доказать,

используя

определение, что

w = (3 + 5i)z 2i непрерывная в точке z0 = 1 + 2i функция.

73

Решение. Если функция w = f(z) непрерывна в точке z0,

то существует lim f(z) = f(z0). Вычислим значение функции

z!z0

в точке z0 = 1 + 2i:

w( 1 + 2i) = (3 + 5i)( 1 + 2i) 2i = 13 i;

то есть достаточно показать, что

z

lim

((3 + 5i)z

2i) =

13

i:

!

1+2i

Оценим разность

j(3 + 5i)z 2i ( 13 i)j = j(3 + 5i)z + 13 ij =

i 13

= p

j

= 3 + 5i

z

34

z

( 1 + 2i)

< ";

j

j

3 + 5i

j

следовательно:

"

: Таким образом,

j

z

(

1 + 2i)

j

<

p

34

" > 0 (") =

p"

> 0;

8

z : 0 < z

(

1 + 2i)

<

)

8

9

34

j

j

) j(3 + 5i)z 2i ( 13 i)j < ":

lim

((3 + 5i)z

2i) =

13

i:

Значит, действительно z!1+2i

Пример 7. Отделить действительную и мнимую части для

функции w = (4 + 3i)z2 (5 + 3i)

+ ijzj2 Im(z2).

z

Решение. Запишем число

z в

алгебраической

форме:

z = x + iy,

= x iy, тогда

z

w = (4+3i)(x+iy)2 (5+3i)(x iy)+i(x2 +y2) Im

(x + iy)2

=

= (4 + 3i)(x

2

+ 2ixy

2

) (5x + 3ix 5iy + 3y)

+ i(x2

+ y2)

y

Im(x2 + 2ixy y2) = 4x2 + 3x2i + 8xyi 6xy 4y2 3y2i 5x3xi + 5yi 3y x2i y2i 2xy = (4x2 8xy 4y2 5x 3y)+ +i(2x2 + 8xy 4y2 3x + 5y); значит,

u(x; y) = Re w(z) = 4x2 8xy 4y2 5x 3y,

v(x; y) = Im w(z) = 2x2 + 8xy 4y2 3x + 5y:

74