Решение. Воспользуемся формулой (4.18).

(1 + i)2i = e2i Ln(1+i) = e2i(ln j1+ij+i Arg(1+i)) =

p

= e2i(ln 2+i( 4 +2 k)) = e 2 4 k+i ln 2 =

= e 2 4 k cos ln 2 + ie 2 4 k sin ln 2;

где k 2 Z:

4.7. Функция Жуковского

Функцией Жуковского называется функция вида

	w =	1	z +		1	:	(4.20)
		2		z

С помощью этой функции Жуковский нашел идеальную форму для крыла самолета, чтобы уменьшить турбулентные движения воздуха.

Функция (4.20) является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением точки z = 0. Вычисляя производную функции (4.20), получаем:

w0 =	1	1
		1		:
	2		z2

Отсюда следует, что производная функции Жуковского отлична от нуля во всех точках плоскости z, кроме точек 1: Тем самым отображение, осуществляемое этой функцией, является конформным в окрестности любой точки z, за исключением этих двух точек.

Найдем области однолистности функции Жуковского. Предположим, что две различные точки комплексной плоскости z1 6= z2 переводятся функцией (4.20) в одну и ту же точку плоскости w, т.е.

1		1
z1 +		= z2 +		;
	z1		z2

131

или

z1 z2 = z1 z2 : z1 z2

Так как z1 6= z2, то из последнего соотношения следует z1 z2 = 1. Полученное условие означает, что областями однолистности функции Жуковского будут такие области, которые не могут содержать подобных точек. В частности, единичный круг jzj < 1 и область jzj > 1. Обе эти области конформно отображаются функцией (4.20) на одну и ту же область плоскости w. Чтобы определить эту область, рассмотрим отображение окружностей jzj = r0, осуществляемое функцией (4.20). Для этого перейдем к показательной форме записи комплексных чисел z = rei' и выделим действительную и мнимую части функции (4.20):

u(r; ') = 2				r + r cos ';									v(r; ') = 2				r r			sin ':
1					1									1			1
Полагая r = r0 и исключая параметр ', получаем
					u2					+				v2				= 1:		(4.21)
4				r0	+ r0				2			4	r0	r0			2
		1				1						1			1

Из соотношения (4.21) следует, что функция (4.20) отображает концентрические окружности jzj = r0 в эллипсы, при этом фокусы всех этих эллипсов лежат в точках c = 1 действительной оси u. Следовательно, функция (4.20) производит отображение семейства концентрических окружностей jzj = r0 плоскости z на семейство софокусных эллипсов плоскости w. При этом, если r1 < 1, то положительному направлению обхода окружности jzj = r1 соответствует отрицательное направление обхода

эллипса (4.21), если r2 = 1 > 1, то положительному направле- r1

нию обхода окружности jzj = r2 положительное направление

132

обхода эллипса (4.21). При r1 ! 1 эллипс (4.21) вырождается в отрезок [ 1; 1] действительной оси u, проходимый дважды. При r1 ! 0 эллипс (4.21) переходит в окружность бесконечно большого радиуса.

Значит, функция Жуковского производит конформное отображение области внутри единичного круга jzj < 1 комплексной плоскости z на плоскость w с разрезом по отрезку [ 1; 1] действительной оси. Граница области окружность jzj = 1 отображается на этот отрезок, при этом верхняя полуокружность отображается на нижний, а нижняя на верхний берег разреза. Аналогично, внешность круга jzj > 1 плоскости z отображается на второй экземпляр плоскости w, разрезанный по отрезку [ 1; 1] действительной оси, причем верхняя полуокружность jzj = 1, Im z > 0, отображается на верхний берег, а нижняя полуокружность jzj = 1, Im z < 0 на нижний берег разреза. Тем самым, функция Жуковского (4.20) осуществляет конформное отображение полной плоскости z на риманову поверхность обратной функции

p

z = w + w2 1: (4.22)

Риманова поверхность функции (4.22) представляет собой двулистную поверхность, составленную из двух экземпляров плоскости w, разрезанной вдоль отрезка [ 1; 1] действительной оси. Точки w = 1 являются точками ветвления функции (4.22).

Следует также отметить, что функция Жуковского (4.20) отображает отрезки лучей arg z = '0 в семейство софокусных гипербол:

u2		v2	= 1;
cos2 '0		sin2 '0

причем фокусы этих гипербол лежат в точках c = 1 действительной оси u.(Проверку последнего утверждения предлагается выполнить читателю).

133

Пример 4.7. Отобразить круг jzj < 1 с разрезом по отрез-

ку	1		; 1 на круг jwj < 1 (т.е. устранить разрез).
		3
	1					1
	Решение. Функция Жуковского w1 =					z +			отобра-
				2				z
жает круг jzj < 1 с разрезом по отрезку						1	; 1 (рис. 4.15)
						3

на всю плоскость с разрезом по отрезку 1;	5	(рис. 4.16).
	3

Длина этого отрезка равна 8=3, а центр его находится в точке

Рис. 4.15

Рис. 4.16

w1 = 1=3. Отобразим полученную область на всю плоскость с разрезом по отрезку [ 1; 1] (рис. 4.17). Для этого нужно центр

	5
отрезка 1;	3	сдвинуть в точку 0, после чего применить пре-

образование подобия с тем, чтобы длина отрезка стала равной 2

(следовательно, коэффициент подобия равен 82=3 = 34). Таким

образом, плоскость w1 с разрезом по отрезку 1; 53 отобра-

134

жается на плоскость w2 с разрезом по отрезку [ 1; 1] функцией

w2 =	3	w1	1	;
	4		3

а эта последняя область отображается, как мы знаем, на внутренность единичного круга (рис. 4.18) функцией, обратной по отношению к функции Жуковского,

q

w = w2 + w22 1

(точнее, одной из ветвей этой функции).

Рис. 4.17

Рис. 4.18

Таким образом, искомая функция имеет вид
w = w2 + qw22 1 = 4 w1											3 + s
																	16 w1						3			2	1 =
						3				1							9						1
= 4	2	z + z				3 + s
										16				2 z + z									3		2		1;
3	1	1				1				9				1			1						1
или, после преобразований,
w = 8		z + z				4 + s
										8 z + z							4					2	1:
	3	1				1				3				1			1

135