3.3.Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения

Напомним вначале некоторые сведения о кривых. Как было отмечено в § 2 п.1, каждая кривая на плоскости может быть задана параметрическими уравнениями

x = x(t); y = y(t); при 6 t 6 ;

(3.8)

где x(t), y(t) действительные функции действительного переменного t.

Если функции x(t), y(t) имеют непрерывные производные на интервале ( ; ), причем x0(t) и y0(t) одновременно не обращаются в нуль, то кривая называется гладкой.

Так как каждая точка (x; y) на плоскости задается комплексным числом z = x+iy, то уравнения (3.8) можно записать в более компактной форме:

z(t) = x(t) + iy(t); 6 t 6 :

Возьмем значение t0 2 ( ; ). Ему соответствует точка (x0; y0), где x0 = x(t0), y0 = y(t0). Известно, что вектор (x0(t0); y0(t0)) направлен по касательной к кривой в точке (x0; y0). Значит, и соответствующее комплексное число

z0(t0) = x0(t0) + iy0(t0)

изображается этим касательным вектором. Удобно изображать этот вектор исходящим не из начала координат, а из точки

(x0; y0).

Пусть теперь задана функция f(z), аналитическая в точке z0, причем f0(z0) 6= 0. Предположим далее, что через точку z0 проходит кривая , заданная уравнением z(t) = x(t) + iy(t) и z(t0) = z0 (см. рис. 3.1).

84

Кривая отображается функцией w = f(z) в кривую , лежащую в плоскости w, уравнение кривой будет иметь вид w = f(z(t)); точка z0 отобразится в точку w0 = f(z0). По правилу дифференцирования сложной функции

w0(t0) = f0(z0) z0(t0):	(3.9)
Отсюда следует (см. (1.8)), что
Arg w0(t0) = Arg f0(z0) + Arg z0(t0):	(3.10)

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Но z0(t0) есть вектор, касательный к кривой в точке z0 (см. рис. 3.1), a w0(t0) вектор, касательной к кривой в точке w0 (см. рис. 3.2). Поэтому равенство (3.10) позволяет придать величине Arg f0(z0) следующий геометрический смысл: аргумент производной равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке z0 к любой кривой, проходящей через эту точку, чтобы получить направление касательной в точке w0 = f(z0) к образу данной кривой при отображении w = f(z). Заметим, что этот угол не зависит от кривой , т.е. касательные ко всем кривым, проходящим через точку z0, поворачиваются при отображении w = f(z) на один и тот же угол. Поэтому если через точку z0 провести какие-либо две кривые и 1 (см.

85

рис. 3.1), то угол между касательными к этим кривым будет равен (как по величине, так и по направлению отсчета) углу между касательными к образам этих кривых. Напомним, что углом между кривыми в точке z0 называется угол между касательными к этим кривым в точке z0. Таким образом, если f0(z0) 6= 0, то отображение w = f(z) сохраняет углы между кривыми. Это свойство называется свойством консерватизма углов.

Выясним далее геометрический смысл модуля производной.

			Зафиксируем								точку
		z0 и возьмем приращение
		аргумента 4z; очевидно,
		j4zj				равен				расстоя-
		нию			между					точками
		z0 и			z = z0 + 4z						(рис.
		3.3).		Пусть				w		=	f(z),
		4w		=		w w0.					Тогда
		величина					4w		указывает,
							z
	Рис. 3.3	в каком отношении4									изме-
		няется расстояние между
		точками в							результате
	отображения w = f(z). Предел	lim	j4wj			называется коэф-
			j4zj
		4z!0

фициентом растяжения в точке z0 при отображении w = f(z). Поскольку

lim j4wj = jf0(z0)j;

4z!0 j4zj

то jf0(z0)j равен коэффициенту растяжения в точке z0 при отображении w = f(z). Если jf0(z0)j > 1, то в достаточно малой окрестности точки z0 расстояния между точками при отображении увеличиваются и происходит растяжение; если jf0(z0)j < 1, то отображение приводит к сжатию.

Так как производная f0(z0) не зависит от того, по какому

86

пути точка z = z0+4z приближается к z0, то коэффициент растяжения одинаков во всех направлениях. Это свойство называется свойством постоянства растяжений. Проиллюстрируем его следующим образом. Возьмем окружность ` с центром z0 и радиусом j4zj (см. рис. 3.3). При отображении w = f(z) эта окружность перейдет в кривую L (рис. 3.3); расстояние от точ-

ки w = f(z0 + 4z) этой кривой до точки w0 = f(z0) равно j4wj = jf(z0 + 4z) f(z0)j. Поскольку

4w = f0(z0)4z + (4z) 4z;

где (4z) ! 0 при 4z ! 0, то точки кривой L будут отличаться от окружности с центром w0 и радиусом jf0(z0)jj4zj на величину более высокого порядка малости, чем j4zj.

Отображение называется конформным отображением в точке z0, если: 1) при этом отображении сохраняются углы между любыми двумя кривыми, проходящими через точку z0;

2)растяжение в точке z0 не зависит от направления. Отображение области D на область E называется конформ-

ным отображением области D, если оно непрерывно и конформно в каждой точке области D.

Если конформное отображение сохраняет и направление отсчета углов, то оно называется конформным отображением первого рода; если направление отсчета углов меняется на противоположное, то конформным отображением второго рода.

Пример конформного отображения второго рода дает функция (не аналитическая!) w = z; которая каждую область D отображает на область E, симметричную D, относительно действительной оси.

Полученные выше результаты сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 3.4. Если функция w = f(z) является аналитической в точке z0 и f0(z0) 6= 0, то f(z) осуществляет

87

конформное отображение первого рода в точке z0. При этом Arg f0(z0) означает угол поворота, a jf0(z0)j коэффициент растяжения при данном отображении.

Если f0(z0) = 0, то отображение, вообще говоря, уже не будет конформным в точке z0. Так, отображение w = z2 увеличивает вдвое углы между лучами в начале координат.

Пример 3.5. Найти угол поворота и коэффициент растя-

жения при отображении w = z i 2 в точке z0 = 2i. z + i

Решение. Вычислим производную

0		z + i		z + i			0
w	= 2	z i			z i		= 2

	z i		z + i (z i)	=	4iz + 4	:
	z + i		(z + i)2		(z + i)3

Согласно теореме 3.4. коэффициент растяжения при отображении w = f(z) в точке z0 равен модулю значения производной в этой точке, а угол поворота аргументу производной в заданной точке. Вычислим значение производной в точке z0 = 2i:

w0(2i) =

4i 2i + 4

=

8 + 4

=

4

i:

(2i + i)3

(3i)3

27

Согласно

(1.1) k

=

jw0(2i)j

=

4

, а

из

(1.3) получаем:

27

' = arg(w0

(2i)) =

.

2

Задания для аудиторных занятий к § 3

1.Исследовать функцию w = f(z) на дифференцируемость

ианалитичность, в случае аналитичности функции w найти ее производную.

88

1)	w = iz3 + 2				2 z:	5)	w =		Im z 5iz Re z:
				z				z
2) w = (5 3i)z2 4iz + i:						6) w = (3x2 + 2xy) + i(x3 3x2y):
3) iz2 + 5 Im z2 2i Re z:						7) w = z			2e	z	:
4)		z + 5i				8)	w = ez .
	w =		:
		iz 7

2. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функций z3, ez, cos z, sin z и доказать, что

(z3)0 = 3z2; (ez)0 = ez; (cos z)0 = sin z; (sin z)0 = cos z:

3.Найти области, в которых функция f(z) = jx2 y2j+ +2ijxyj будет аналитической.

4.Доказать, что функция w = ez не дифференцируема во всей комплексной плоскости.

5.Доказать, что функция w = z Re z дифференцируема

только в точке z = 0, найти w0(0).
6. Доказать, что для функции f(z) =			jxyj	в точке z = 0
выполняются условия Коши-Римана, но	производная не суще-
		p

ствует.

7. Найти значения постоянных a; b; c, при которых функция w = f(z) будет аналитической в C.

1)w = x3 + axy2 + 2x + i(bx2y y3 + cy);

2)w = ax2 y2 + b cos x ch y + i(cxy + sin x sh y);

3) w = x2 +			ax		+ by2 + i xy +			cy		:
	x	2	+ y	2		x	2	+ y	2

8. Найти функции, сопряженные с данными гармоническими функциями в указанных областях.

1) u(x; y) = x2 y2 + x; 0 6 jzj < 1;

x

2) u(x; y) = x2 + y2 ; 0 < jzj < 1;

3) u(x; y) = 12 ln(x2 + y2); 0 < jzj < 1:

9. Существует ли аналитическая функция w = u + iv, для которой:

89

	1)	u(x; y) =	x2 y2	+ x;	2)	v(x; y) = ln(x2 + y2)		x2	+ y2;
			(x2 + y2)2

3)u(x; y) = ey=x:

10.Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию w = f(z) по известной действительной части u(x; y)

или мнимой v(x; y) и значению f(z0).

1)v(x; y) = 6y2 6x2 + 3x2y y3; f(3i) = 0;

2)u(x; y) = x2 y2 4y 4 + cos x ch y; f(0) = 3 i;

3)v(x; y) = 2x 2xy + sin x sh y; f(0) = 1;

4)u(x; y) = 1 2y x2 + y2 + sin x ch y; f(0) = 1;

x

5) u = x2 + y2 , f(1) = 1 + i;

6) v(x; y) = (x2 y2) cos x ch y + 2xy sin x sh y; f(0) = i; 7) v(x; y) = 2xy + 4x2 ey sin x; f(0) = 0:

11. Выяснить, существуют ли гармонические функции (отличные от постоянной), и в случае существования найти их.

1) u = '(x);

4) u = '(x2 + y2);

3) u = ' y ;

5) u = '(x2 + y):

2) u = '(xy);

u = ' x + x2

+ y2 ;

6)

p

x

12. Найти коэффициент растяжения k и угол поворота '

для заданного отображения w = f(z) в точке z0.

1) w = (z i + 3)2, z0 = 4 5i;

4)

w = z cos z, z0 = 1 i;

2) w = zez, z0 = 1 + p

3

i;

5) w2= z3 iz2; z0 = p

3

+ i;

3) w =

2z 3i

; z0 =

3i;

6)

z 1

; z = i:

iz + 1

z + i

0

ИДЗ 3

1. Исследовать функцию на дифференцируемость и аналитичность, в случае аналитичности функции w найти ее производную:

1.1. w = sin x sh y i cos x ch y;

90

1.2.w = (3x2 xy) + i(x3 2xy y3);

1.3.w = (x2 + y2) 2i(xy + 2y + 1);

1.4.w = 5z2 (4 + 3i)z + 2i 1;

1.5. w = z2 3i Im z + 2z;

1.19. w = 2iz Re z2 5z2;

1.6. w = Im z3 2z2 + 3z;

1.20. w = jzj Im z 3iz2;

1.7. w = 3z2 5iz + 2i;

1.21. w = z Im z 3z2 Re z;

1.8. w = (3z + 2)2 5iz 3i;

1.22. w = (4z 2i)3;

1.9. w = sin x ch y + i cos x sh y;

1.23. w = ez sin z;

1.10. w = z

z Im z;

1.24. w = 8iz2 4

+ i;

z

z

1.11. w = 2z2 3iz;

1.25. w =

Re z + 3iz Im

;

z

z

1.12. w =

z2 + Re z2;

1.26. w =

Im z + 3z Re z2;

z

z

1.13. w = z2 3iz + i Im z;

1.27. w = 2z3 5iz

2 + 2i;

1.14. w = (z + 1) cos z;

1.28. w =

3z 2

;

1.15. w = 5z Re z + 2z

2

iz;

iz + 1

3

2

1.29. w = Im z

3iz

+ z;

1.16. w = z2 +

+

Re z;

z

z

2

Re z;

1.30. w = ez=z.

1.17. w = z Im z 3z

1.18.w = (z + 1)e z;

2.Найти значения постоянных a; b; c, при которых функция w = f(z) будет аналитической в C:

2.1.w = x + ay + i(bx + cy);

2.2.w = ax2 + by2 + icxy;

2.3.w = (ch y + a sh y) cos x + i(ch y + b sh y) sin x;

2.4.w = x2 + ax + by2 + i(5y + cxy);

2.5.w = ax2 + by2 x + i(7y + cxy);

	2.6. w =	ax2 + by2 1	+ i	cy		;
		(x + 1)2 + y2		(x + 1)2	+ y2

2.7. w = (sin x + a cos x) ch y + i(cos x + b sin x) sh y;

2.8. w = ax2	+ bx ay2 + i(cxy + by);
2.9. w = ax2	+ xy + y2 + i(bx2 + 2xy + cy2);
2.10. w = x3	+ axy2 + i(bx2y + cy3);
2.11. w = x2	+ ax + by2 + i(11y + cxy);				;
2.12. w = x + x2 + y2			+ i by + x2 + y2
		ax		cy

91

2.13.w = a(x2 x2) + y3 + 5x2y + i(x3 + bxy2 + cxy);

2.14.w = x2 y2 + ax 7y + i(bx + 7y + cxy);

2.15.w = ax + by + cxy + i(x2 y2 + ay bx);

2.16.w = ax + 3y + bxy + i(x2 y2 + cx + 16y);

2.17.w = x3 + ax2y + 3xy2 y3 + i(bx3 + 3xy2 + cx2y + y3);

2.18.w = x3 + axy2 6xy + i(bx2y y3 + bx2 cy2);

2.19.w = ax2y + bx + y3 + i(cx3 3xy2 + 2y);

2.20.w = ax2y + 2bxy + y3 + i(x3 + bx2 + cxy2 4y2);

2.21.w = x2 + axy y2 + i(bx2 + cxy 4y2 5);

2.22.w = x2 + axy y2 + 5x + i(bx2 + cxy 3y2 + 5y);

2.23.w = ax2 + bxy 4y2 2y + i(3x2 + cxy 3y2 + 2x);

2.24.w = x3 + axy2 4y + i(bx2y y3 + cx);

2.25.w = ax2y + by3 + 2(x2 y2) + i(x3 3xy2 + cxy);

2.26.w = x3 + xy(a 3y) i(y2(y + 3) + x2(by + c));

2.27.w = axy + 7x + by + i(x2 y2 + 3x + cy);

2.28.w = ax2 10xy + 3y2 3y + i(bx2 6xy + cy2 + 3x);

2.29.w = ax2 + 2y(x y) + 3x y + i(x(4y x) + by2 + cx + 3y);

2.30.w = ax2y + y3 + 9x + i(x3 + bxy2 + cy).

3.Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию w = f(z) по известной действительной части u(x; y)

или мнимой v(x; y) и значению f(z0):

3.1. u = x3 3xy2 x, f(0) = 0;

3.2. u = x2 y2 + 5x + y y , f(1) = i; x2 + y2

x

3.3. u = x2 + y2 + x, f(1) = 2; 3.4. v = e y sin x, f(0) = 1;

y

3.5. v = 1 x2 + y2 , f(1) = 1 + i; 3.6. u = 1 sin y ex, f(0) = 1 + i; 3.7. v = 3x2y y3, f(0) = 1;

3.8. v = 3x2y y3 y, f(0) = 0; 3.9. v = x2 y2 + 2x + 1, f(0) = i;

92

3.10. v = ln(x2 + y2) + x 2y, f(1) = 1 + i;

y

3.11. v = (x + 1)2 + y2 , f(0) = 1;

3.12. v = e y sin x + y, f(0) = 1;

3.13. u = e2x + 1 cos y, f(0) = 2; ex

3.14.u = x3 3xy + 1, f(0) = 1;

3.15.v = ex(y cos y + x sin y), f(0) = 0;

3.16. v = 3 + x2 y2	y	, f(1) = i;
	2(x2 + y2)

3.17.u(x; y) = 2x3 6xy2 6xy + 4x; f( i) = 0;

3.18.v = ex cos y, f(0) = 1 + i;

3.19.v = 2(ch x sin y xy), f(0) = 0;

3.20.u = 2 sin y ch y x, f(0) = 0;

y

3.21. v = y x2 + y2 , f(1) = 2;

3.22. u = ex(x cos y y sin y), f(0) = 0;

3.23.v = e2x 1 sin y, f(0) = 2; ex

3.24.u = e y cos x + x, f(0) = 1; x + 1

3.25.u = (x + 1)2 + y2 , f(0) = 1;

3.26.v = y cos y ch x + x sin y sh x, f(0) = 0;

3.27.v = 2 cos x ch y x2 + y2, f(0) = 2;

3.28.u = ex(x cos y y sin y) + x3 3xy2 + y, f(0) = 1;

3.29.v = x2 y2 x, f(0) = 0;

3.30.v = y cos y ch x + x sin y ch x, f(0) = 0:

4.Восстановить аналитическую функцию w = f(z) по ее мнимой v(x; y) или действительной части u(x; y) и найти ее производную:

93

4.1. u = ex cos y +3x2y y3 3;

4.16. v = 4x3y 4xy3 + 6xy;

4.2. v = 3x2y y3 3y;

4.17. u = 2ex sin y 2y;

4.3. v = 4x y + 1;

4.18. v =

2y

+ 3y;

+ 3y 1;

x

2

+ y

2

4.4. v = 4x

3

4xy

3

+ 2x;

4.19. u = x

2

y

2

4.5. u = x2

y2

3x + 2;

2y

2

2

+ 2y;

4.6.

v = x3

3xy2

;

4.20. u = x + y

x2 + y2

cos x;

4.21. v = x + ch y

4.7. u = x sin x ch y y cos x sh y;

4.22. u =

3x

5;

+ 5x

x2 + y2

4.8. u = x + ex cos y;

4.9. u = x cos x ch y+y sin x sh y;

4.23. u = 2ex sin y + 3x 2y;

4.10. v = 2xy + 3y

4y

;

4.24. u = ln(x2 + y2) + 2x;

x2 + y2

4.25. v = e3x cos 3y;

4.11. v = 6xy + cos x sh y;

4.26. u = x

4

2

2

4

;

x

6x y

+ y

4.12. u =

+ sin x ch y;

4.27. v = ex sin y + 2xy + 5y;

+ y2

x2

2

y

+ e

x

sin y;

3

3xy

3x;

4.28. v = arctg x

4.13. u = x

4.29.

v = x + ch y

cos x

;

4.14. u = x4 6x2y2 +y4 +x2

3

3

7y

y2

+ 3x + 5;

4.30. v = 4x

y 4xy

.

2

2

4.15.v = arctg xy +ex sin y+3y;

5.Проверить гармоничность функции в указанной области и найти, если это возможно, аналитическую функцию поx + y

данной ее действительной или мнимой части:

x2 y2

5.1. u = (x2 + y2)2 , 0 < jzj < +1;

5.2. u = ln(x2 + y2) x2 + y2, 0 < jzj < +1;

5.3. u = ey=x, 0 < jzj < +1;

5.4. u = x3 3xy2, 0 6 jzj < +1;

5.5. v = 2ex sin y, 0 6 jzj < +1; 5.6. u = 2xy + 3, 0 6 jzj < +1;

5.7. v = xy, 0 6 jzj < +1;

5.8. u = x3 + 3x2y, 0 6 jzj < +1;

5.9. u = ex cos y, 0 6 jzj < +1;

5.10. u = y3 10xy2, 0 6 jzj < +1;

94

5.11.u = ln(x2 + y2) 2xy, 0 < jzj < +1;

5.12.u = ln(x2 + y2) + x2, 0 < jzj < +1;

5.13. v =

x

2xy, 0 < jzj < +1;

x2 + y2

5.14. v = e x cos y, 0 6 jzj < +1;

5.15. v = x2 + 2xy y2, 0 6 jzj < +1;

5.16. v = ey(cos x + sin y), 0 6 jzj < +1;

5.17. u = x3

+ 2x2y y2, 0 6 jzj < +1;

5.18. u = x3

+ 3xy, 0 6 jzj < +1;

5.19. u = ex ch y, 0 6 jzj < +1;

5.20. v = 2 sin x ch y + x2,

0 6 jzj < +1;

5.21. u = 2 cos x ch y + xy,

0 6 jzj < +1;

5.22. u = x3

+ y3, 0 6 jzj < +1;

3

2

5.23. u = x

+ 3xyy 2x, 0 6 jzj < +1;

5.24. v = xy

, 0 < jzj < +1;

x2 + y2

;

x

sh y + x2

y2

0

z

j

< +

1

5.25. v = sin x

,

6 j

5.26. v =

+ x2 + y2, 0 < jzj < +1;

x2 + y2

5.27. u = x2

y2

y

, 0 < jzj < +1;

x2 + y2

5.28.u = 3x2y y3 + xy, 0 6 jzj < +1;

5.29.u = 2xy + 3y2 1, 0 6 jzj < +1;

5.30.v = ex(x cos y y + 1), 0 6 jzj < +1.

6.Найти коэффициент растяжения k и угол поворота ' для

заданного отображения w = f(z) в точке z0:

6.1. w = 5z2 4z + 3, z0 = 1 + 3i; p

6.2. w = z2 iz + 3i, z0 = 1 3i;

6.3.w = 3z2 4iz + i, z0 = i + 1;

6.4.w = z3 + 4z 3i, z0 = 2 i;

6.5.w = (z + 3i)2 4z, z0 = 2 + i;

95

6.6. w = z2, z0 = i;

6.19. w = z2

+ 4z, z0 = i;

6.7. w = sin z, z0 = 0;

w =

1 z

z

=

i;

6.20.

1 + z ,

0

6.8. w = 2z2 + z,

z0 = i;

i

1 + iz

6.9. w =

,

z0 = i;

6.21. w = 2z3 iz +

,

z0 = i;

z

1

iz

6.22. w =

z

,

6.10. w = z

3

+ 2z, z0 = i;

z0 = i + 1;

2i;

1

iz

6.11.

w = z2

+ 3z

,

z

0

= 1

1

,

6.23. w =

2z

,

z0 = i 1;

1 + iz

6.12. w = iz + 1

z0 = i + 1;

3

+3z

2

1, z0 = 2i;

1 + z

6.24. w = z

6.13. w =

,

z0

= 2;

6.25. w = z3

2z, z0 = i 1;

1

z

3

2

6.26.

w = z3

z2

+ 3z

,

z

0

= i;

z ,

3

2

6.14. w = 2z

2i;

z0 =

6.27. w = z

+ 3z, z0 = i;

2z+3

,

+ 3z

6.15. w = e3

z0

=

i;

6.28. w = z3 5iz2+7i, z0 = 2i;

3

6.16. w = z

2z, z0 = i;

6.29. w = z2

3z +

i

,

z0 = i;

6.17. w = 2z2 3z,

z0 = 1 i;

z

6.18.w = z2 + 5z i, z0 = 3i; 6.30. w = ez, z0 = ln 2 + i 4 :

7.Найти множества всех точек z0, в которых коэффициент

линейного растяжения при отображении w = f(z) равен k:

7.1.w = (3 + 4i)z2 (1 + i)z, k = 1;

7.2.w = (1 i)z2 + (2 3i)z, k = 2;

7.3. w = z3

+ iz2,

k = 0;

1

, k =

1

1

7.13. w =

;

7.4. w = z2

+ iz + 4, k =

;

z

2

7.14. w = (z + 3 2i)3, k = 2;

2

7.5. w = (z + 2i 1)3, k = 3;

7.15. w = z3, k = 1;

7.6.

w = z3

+ iz2

7i

,

k = 0;

7.16. w = z2

+ z,

k = 1;

7.7. w = z3

iz2, k = 0;

7.17. w = (z i)3, k = 1;

7.8. w = iz3 + 3z2, k = 0;

7.18. w = z2

2z, k = 2;

7.9.

w = iz2

3z

,

k = 2;

7.19. w = z3

+ 3iz2, k = 0;

7.10. w = z3 2z, k = 0;

7.20. w = (3i+2)z2 iz, k = 2;

7.11. w =

iz

,

k =

1

;

7.21. w =

i

, k = 1;

12 iz

2

z

7.12. w = z

+ 2z, k = 1;

7.22. w =

1

iz

,

k = 1;

1

+ iz

96

8.18. w = iz3 + 2z2, ' = 2 ;

8.19. w = z3 iz2, ' = 0; 8.20. w = iz2, ' = 0;

8.21. w = (4+i)z3 5iz, ' = 2 ;

8.22. w = (4 i)z3 3iz, ' = 4 ; 8.23. w = z2 + 2z, ' = 0;

8.24. w = z3 + iz2, ' = 2 ;

8.25. w = z3, ' = 2 ;

8.26. w = (4 i)z3 +5iz, ' = 0; 8.27. w = 4z2 +(5i 3)z, '= 4 ;

8.28. w = iz3 + 3z2, ' = 4 ; 8.29. w = iz3 + 3z, ' = 4 ;

8.30. w = 4z2 +(4i 1)z, '= 4 .

7.23. w = (z 3i)3, k = 2;	7.28. w = (z 2 + i)3, k = 1;
7.24. w = z2 + iz, k = 1;	7.29. w = z3 iz2 + z, k = 0;
7.25. w = iz2 + 4z 3i, k = 1;	7.30. w = iz3 + 4z, k = 0.

7.26.w = z3 + 2iz, k = 0;

7.27.w = z2 + 3iz, k = 12;

8.Найти множества всех точек z0, в которых угол поворота

при отображении w = f(z) равен ':

8.1.w = 5iz3 + (7 2i)z, ' = 0;

8.2.w = 3iz3 (4 3i)z, ' = 4 ;

8.3.w = (3 2i)z3 2iz, ' = 0;

8.4. w = z2 + 2z, ' = 2 ; 8.5. w = z1, ' = 2 ;

8.6. w = z1, ' = 0;

8.7. w = z3 3z, ' = 0; 8.8. w = z3 + 2z, ' = 2 ;

8.9. w = z3 3z, ' = 2 ; 8.10. w = z3 + 9z, ' = 0;

8.11. w = z2 + iz, ' = 0;

8.12. w = iz3 + 3z, ' = 4 ;

8.13. w = 3z2 +(2i 1)z, ' = 0;

8.14. w = iz3 2z2, ' = 0;

8.15. w = 4z2 +(3i 2)z, '= 2 ;

8.16. w = iz3 + 4z2, ' = 2 ; 8.17. w = iz3 + 4z, ' = 0;

97

Решение типового варианта

Пример 1. Исследовать функцию на дифференцируемость и аналитичность, в случае аналитичности функции w, найти ее производную, если a) w = z2 5iz + i Im z + Re z2;

б) w = z2 + (7 + 2i)z 5 + 9i:

Решение. a) запишем комплексное число z в алгебраической форме, и отделим действительную u(x; y) и мнимую v(x; y) части функции w(z).

w(z) = (x + iy)2 5i(x iy) + i Im(x + iy) + Re(x iy)2; w(z) = x2 + 2ixy y2 5ix 5y + iy + Re(x2 2ixy y2); w(z) = x2 + 2ixy y2 5ix 5y + iy + x2 y2;

w(z) = 2x2 2y2 5y + i(2xy 5x + y);

значит, u(x; y) = 2x2 2y2 5y; v(x; y) = 2xy 5x + y: Функции u(x; y), v(x; y) непрерывно дифференцируемы на R2. Проверим выполнение условий Коши-Римана (3:4):

u0x = (2x2 2y2 5y)0x = 4x, vx0 = (2xy 5x + y)0x = 2y 5;

u0y = (2x2 2y2 5y)0y = 4y 5; vy0 = (2xy 5x + y)0y = 2x + 1:

ux0	= vy0 ;		4x = 2x + 1;				x = 1=2;
u0	= v0	;	4y		5 = 2y		5; y = 0:
y	x

Следовательно, искомая функция дифференцируема только в точке z0 = 1=2: Поскольку в любой проколотой окрестности точки z0 функция w не дифференцируема, то она нигде не аналитична.

б) w = (x + iy)2 + (7 + 2i)(x + iy) 5 + 9i;

w= x2 + 2ixy y2 + 7x + 2ix + 7iy 2y 5 + 9i;

w= (x2 y2 + 7x 2y 5) + i(2xy + 2x + 7y + 9);

u(x; y) = x2 y2 + 7x 2y 5; v(x; y) = 2xy + 2x + 7y + 9:

Функции u(x; y), v(x; y) непрерывно дифференцируемы на

R2. Проверим выполнение условий Коши-Римана (3:4):

u0x = (x2 y2 + 7x 2y 5)0x = 2x + 7, vx0 = (2xy + 2x + 7y + 9)0x = 2y + 2;

98

u0y = (x2 y2 + 7x 2y 5)0y = 2y 2; vy0 = (2xy + 2x + 7y + 9)0y = 2x + 7:

u0x = vy0 ; 2x + 7 2x + 7;

u0y = vx0 ; 2y 2 (2y + 2);

для всех (x; y) из R2, следовательно, функция w = z2 + (7 + 2i)z 5 + 9i

дифференцируема, а значит, и аналитична во всей комплексной плоскости.

w0 = u0x + ivx0 = 2x + 7 + i(2y + 2) = 2z + 7 + 2i:

Пример 2. Найти значения постоянных a; b; c, при которых функция w = ax2 + 3y2 + b cos x sh y + i(cxy + sin x ch y)

будет аналитической в C.

Решение.

u(x; y) = Re w(z) = ax2 + 3y2 + b cos x sh y; v(x; y) = Im w(z) = cxy + sin x ch y:

Вычислим частные производные функций u(x; y), v(x; y):

u0x = (ax2 + 3y2 + b cos x sh y)0x = 2ax b sin x sh y; vx0 = (cxy + sin x ch y)0x = cy + cos x ch y;

u0y = (ax2 + 3y2 + b cos x sh y)0y = 6y + b cos x ch y; vy0 = (cxy + sin x ch y)0y = cx + sin x sh y:

Согласно условиям Коши-Римана (3:4), получаем:

2ax b sin x sh y cx+sin x sh y; cy+cos x ch y (6y+b cos x ch y);

значит, при a = 3, b = 1, c = 6 функция w является аналитической во всей комплексной плоскости.

99

Пример 3. Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию w = f(z) по известной мнимой части v(x; y) и значению f(z0), если v(x; y) = 2xy sin x sh y, f(0) = 2.

Решение. Для определения действительной части функции w = f(z) воспользуемся условиями Коши-Римана (3:4). Так как

@y@v = (2xy sin x sh y)0y = 2x sin x ch y;

то согласно первому условию @u@x = 2x sin x ch y: Интегрируем последнее равенство по x, получим:

Z

u = (2x sin x ch y)dx = x2 + cos x ch y + '(y): (3.11)

Используем второе из условий (3:4). Так как

	@v		= (2xy		sin x sh y)0	= 2y		cos x sh y;
@x
					x
то
	@u		= (2y cos x sh y) = cos x sh y 2y:						(3.12)
	@y

Продифференцируем функцию u(x; y) из (3.11) по переменной y:

@u = (x2 + cos x ch y + '(y))0 = cos x sh y + '0(y): (3.13)

@y	y

Из равенств (3.12), (3.13) получаем:

cos x sh y 2y = cos x sh y + '0(y);

откуда '0(y) = 2y, значит, '(y) = y2 + C; а искомая функция u(x; y) имеет вид: u(x; y) = x2 y2 +cos x ch y +C: Функция

100

w = f(z) = x2 y2 + cos x ch y + C + i(2xy sin x sh y): Воспользуемся начальным условием: f(0) = 2:

f(0) = 02 02 +cos 0 ch 0+C +i(0 sin 0 sh 0); f(0) = 1+C = 2,

откуда C = 1, следовательно,

w = f(z) = x2 y2 + cos x ch y + 1 + i(2xy sin x sh y):

Пример

4.

Восстановить

аналитическую

функцию

w = f(z) по

ее

действительной

части u(x; y) и

найти ее

производную, если u(x; y) = 3x + x2 y2 + 5e2x sin 2y.

Решение. Вычислим частные производные функции

u(x; y) по переменным x; y:

@u

= (3x + x2 y2 + 5e2x sin 2y)x0

= 3 + 2x + 10e2x sin 2y;

@x

@u

= (3x + x2

y2 + 5e2x sin 2y)0

=

2y + 10e2x cos 2y:

@y

y

С учетом (3:4) получаем:

@v

@v

= 3 + 2x + 10e2x sin 2y;

= 2y 10e2x cos 2y: (3.14)

@y

@x

Интегрируя первое равенство из (3.14) по переменной y, получим:

Z

v = (3 + 2x + 10e2x sin 2y)dy = 3y + 2xy 5e2x cos 2y + '(x):

Вычислим производную функции v(x; y) по переменной x:

@x@v =(3y+2xy 5e2x cos 2y+'(x))0x =2y 10e2x cos 2y+'0(x): (3.15)

Приравнивая (3.14) и (3.15), получаем:

2y 10e2x cos 2y = 2y 10e2x cos 2y + '0(x);

откуда '0(x) = 0; '(x) = C, где C 2 R: Значит, аналитическая функция w = u + iv имеет вид:

101

w = 3x + x2 y2 + 5e2x sin 2y + i(3y + 2xy 5e2x cos 2y + C); или w = 3(x + iy) + (x + iy)2 + 5e2x(sin 2y i cos 2y) + iC = = 3z + z2 5ie2z + iC:

Производную функции w = f(z) вычислим по формуле:

w0 = u0x + ivx0 :

w0 = 3 + 2x + 10e2x sin 2y + i(2y 10e2x cos 2y); w0 = 3 + 2(x + iu) 10ie2x(cos 2y + i sin 2y); w0 = 3 + 2z 10ie2z;

или, используя таблицу производных:

w0 = (3z + z2 5ie2z + iC)0 = (3z)0 + (z2)0 (5ie2z)0 + (iC)0 = = 3 + 2z 5i 2e2z + 0 = 3 + 2z 10ie2z:

Пример 5. Проверить гармоничность функции в указанной области, и найти, если это возможно, аналитическую функцию по данной ее мнимой части:

а) v(x; y) = x3 + 8x2y; 0 6 jzj < +1;

б) v(x; y) = x4 6x2y2 + y4 + 2xy; 0 6 jzj < +1:

Решение. а) Проверим гармоничность функции v(x; y): Вычисляем:

vx0 = (x3 +8x2y)0x = 3x2 +16xy, vy0 = (x3 + 8x2y)0y = 8x2; vxx00 = (3x2 +16xy)0x = 6x+16y; vyy00 = (8x2)0y = 0:

Функция v(x; y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, но не удовлетворяет в области D = R2 уравнению Лапласа (3.6), следовательно, не будет гармонической в указанной области, и не является мнимой частью некоторой аналитической функции.

б) Вычисляем частные производные первого и второго порядка функции v(x; y) = x4 6x2y2 + y4 + 2xy; 0 6 jzj < +1:

v0

= 4x3

12xy2 + 5y,

v0

= 12x2y + 4y3 + 5x;

x

y

v00

= (12x2

12y2

;

v00

=

12x2

+ 12y2:

xx

yy

102

Функция v(x; y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, и в области D = R2 удовлетворяет уравнению

Лапласа

vxx00 + vyy00 = 0;

следовательно, функция v(x; y) является гармонической в указанной области, значит, является мнимой частью некоторой аналитической функции w = f(z). Действительную часть u(x; y) функции w найдем, используя условия Коши-Римана (3:4). Значит,

u0	= 12x2y + 4y3	+ 5x; u0	=		4x3	+ 12xy2		5y:	(3.16)
x		y

Интегрируя первое равенство из (3.16) по переменной x, получаем:

Z

u(x; y) = ( 12x2y + 4y3 + 5x)dx = 4x3y + 4xy3 + 52x2 + '(y):

Дифференцируем найденную функцию u по переменной y. u0y = 4x3 + 12xy2 + '0(y):

С учетом (3.16) получим

4x3 + 12xy2 + '0(y) = 4x3 + 12xy2 5y;

откуда '0(y) = 5y, '(y) = 52y2 + C, C 2 R: Искомая аналитическая функция f(z) имеет вид:

w = u+iv = 4x3y+4xy3+52x2 52y2+C+i(x4 6x2y2+y4+2xy):

Пример 6. Найти коэффициент растяжения k и угол поворота ' для отображения w = z3 iz2 + 2z в точке z0 = 1 + 2i:

Решение. Имеем: w0 = 3z2 2iz + 2:

w0(1+2i) = 3(1+2i)2 2i(1+2i)+2 = 3(1+4i 4) 2i 4i2+2 =

103

= 3 + 12i 12 2i + 4 + 2 = 3 + 10i:

Перейдем от алгебраической формы записи полученного

комплексного числа к тригонометрической.

w0

w0(1 + 2i) =

= p

:

j

(z0) =

(

3)2

+ 102

109

j

j

j

arg w0(1 + 2i) = ';

где

pcos ' =

3

;

sin ' =

10

:

Угол

лежит

во

p109

p109

'

второй

четверти,

значит

arg w0(1 + 2i) =

arcsin

10

: Таким образом,

коэффи-

p109

p

циент

растяжения

k

=

jw0(z0)j =

109, а

угол

поворота

' =

arg w0(z0) =

arcsin

10

в

точке

z0 = 1 + 2i при

p109

отображении w = z3 iz2 + 2z:

Пример 7. Найти множества всех точек z, в которых коэффициент линейного растяжения при отображении w = (z 5 + 2i)3 равен k.

Решение. Множество всех точек z, в которых коэффициент линейного растяжения равен k, удовле-

творяет условию:	jw0(z)j = k:	Вычислим	производную:
w0 = ((z 5 + 2i)3)0	= 3(z 5 + 2i)2:	Запишем	комплексное

число z в алгебраической форме z = x + iy; тогда

w0 = 3(x + iy 5 + 2i)2 = 3 ((x 5) + i(y + 2))2 ;

w0 = 3(x 5)2 + 6(x 5)(y + 2)i 3(y + 2)2;

jw0(z)j = p(3(x 5)2 3(y + 2)2) + 36(x 5)2(y + 2)2;

откуда jw0(z)j2 = k2; значит,

9(x 5)4 18(x 5)2(y + 2)2 + 9(y + 2)4 + 36(x 5)2(y + 2)2 = k2;

9(x 5)4 + 18(x 5)2(y + 2)2 + 9(y + 2)4 = k2;
9 (x 5)2 + (y + 2)2 2 = k2; (x 5)2 + (y + 2)2 =	k		:
	3

104

Следовательно, искомое множество есть окружность с цен-

тром в точке z0 = 5 2i радиуса R = r

: jz 5 + 2ij = r

3

3 :

k

k

Пример 8. Найти множества всех точек z, в которых угол

поворота при отображении w = iz3 + (3

4i)z

равен

.

2

Решение. Множество всех точек z, в которых угол поворо-

та при отображении w = iz3 + (3 4i)z равен

, удовлетворяет

2

условию: arg w0(z) =

: Вычислим производную:

2

w0 = 3iz2 + 3 4i = 3i(x + iy)2 + 3 4i =

= 3i(x2 + 2xyi y2) + 3 4i = 6xy + 3 + i(3x2 3y2 4):

j

0

j

p

0

, где

=

(3 6xy)

+ (3x

2

2

(z) = '

w

(z)

2

2

3y2

4)2; arg w

sin ' =

3x

3y

4

;

p(3 6xy)2 + (3x2 3y2 4)2

cos ' =

p

3 6xy

:

(3 6xy)2 + (3x2 3y2 4)2

Учитывая, что ' =

, получим:

2

p

3x2 3y2 4 = (3 6xy)2 + (3x2 3y2 4)2; 3 6xy = 0;

откуда 2xy = 1: Таким образом, искомое множество есть гипербола Im z2 = 1.

105