4.5. Логарифмическая функция

Логарифмической функцией комплексного переменного z называется функция, обратная показательной.

Так как показательная функция ez не является однолистной в C, то обратная к ней функция будет многозначной. Эта многозначная логарифмическая функция обозначается Ln z. Таким образом, если w = Ln z, то z = ew. Заметим, что так как ez 6= 0; 8z 2 C, то Ln 0 не существует. Положим

w = u + iv; z = rei' = rei Arg z;

тогда

rei Arg z = z = ew = eu+iv = eu eiv:

Сравнивая числа, стоящие слева и справа этой цепочки, заключаем, что

r = eu; ei Arg z = eiv:

(4.15)

Из первого равенства находим u = ln r, где ln r обычный натуральный логарифм положительного числа r. Второе равенство в (4.15) дает v = Arg z. Таким образом,

Ln z = ln jzj + i Arg z:

(4.16)

Каждому комплексному числу z, отличному от 0 и 1, формула (4.16) ставит в соответствие бесконечное множество значений Ln z, отличающихся друг от друга на величину 2 ki, где k любое целое число. Удобно представить Arg z в виде

Arg z = arg z + 2 k;

где arg z главное значение аргумента. Тогда формула (4.16) примет вид:

Ln z = ln jzj + i(arg z + 2 k); k 2 C:

(4.17)

126

			iz	= 2 2i.
Пример 4.5. Решить уравнение e 2
Решение.	Очевидно z =	2	Ln(2	2i) = 2i Ln(2 2i).
		i

Чтобы привести это число к алгебраическому виду, воспользуемся формулой (4.17).

2i Ln(2 2i) = 2i (ln j2 2ij + i Arg(2 2i)) =

	= 2i ln(2p2) + i				+ 2 k	=		+ 4 k i ln 8;
				4			2

где k 2 Z:

Для каждого значения k функция Ln z является непрерывной однозначной функцией в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной части действительной оси; она также и аналитична в этой области как функция, обратная аналитической функции ez. Таким образом, для каждого фиксированного k формула (4.17) определяет регулярную ветвь многозначной функции Ln z. Эта ветвь взаимно-однозначно отображает плоскость с разрезом по отрицательной части действительной оси в полосу

+ 2 k < Im w < + 2 k:

Ветвь, которая получается при k = 0, обозначается ln z и называется главным значением многозначной функции Ln z:

ln z = ln jzj + i arg z:

Главная ветвь логарифма будет отображать луч arg z = c в прямую Im w = c, угол c1 < arg z < c2 в полосу c1 < Im w < c2.

Чтобы представить себе риманову поверхность функции Ln z, возьмем бесконечное количество экземпляров ("листов") плоскости с разрезом по отрицательной части действительной оси и склеим их так, как показано на рис. 4.14.

127

Рис. 4.14

Над каждой точкой плоскости, кроме точек z = 0 и z = 1, располагается бесконечно много точек римановой поверхности. В точках 0 и 1 функция Ln z не определена, и точек поверхности над ними нет. Точки z = 0 и z = 1 называются точками ветвления бесконечного порядка.

Рис. 4.14 наглядно демонстрирует причину того, что ln( 1 + i 0) 6= ln( 1 i 0). Если предположить, что точки1 ih находятся на одном и том же листе римановой поверхности и устремить h к нулю, то предельные положения1 + i 0 и 1 i 0 этих точек окажутся на разных листах римановой поверхности.

Выделить регулярную ветвь логарифма можно не только в области D, являющейся плоскостью с разрезом по отрицательной части действительной оси. Если сделать разрез плоскости по любому лучу, то полученная область также допускает выделение в ней регулярной ветви. Пусть разрез сделан по лучу, идущему под углом к оси OX. Тогда регулярные ветви будут задаваться следующей формулой: при z = rei', < ' < + 2 Ln z = ln r + i(' + 2 k): Формула (4.17) является частным случаем при = .

В заключение отметим, что производная каждой регулярной ветви f(z) логарифма находится по формуле

f0(z) = z1;

аналогичной формуле для производной логарифма действительного переменного. Этот факт выводится из равенства (ez)0 = ez и формулы производной обратной функции.

128

4.6. Общая степенная функция

Общая степенная функция w = za, где a = + i фиксированное комплексное число, определяется соотношением

za = ea Ln z:

(4.18)

Полагая z = rei', получаем Ln z = ln r + i(' + 2 k). Следовательно,

za = e( +i )(ln r+i('+2 k)) = e ln r ('+2 k) ei( ('+2 k)+ ln r):

Отсюда видно, что при 6= 0 функция jzaj = e ln r ('+2 k) принимает бесконечное множество значений. В этом случае говорят, что функция является бесконечнозначной. Таким образом, при 6= 0 функция za будет бесконечнозначной.

При = 0 получаем

za = e ln r ei ('+2 k):

(4.19)

Отсюда следует, что значения степенной функции отличаются лишь аргументами k = (' + 2 k). Если рациональное число, т.е. оно представимо несократимой дробью = mn (m

и n целые числа), то среди k имеется лишь n значений, определяющих различные значения za:

		m		2 mk		; при
	k =		' +				k = 0; n 1:
		n			n

При k = n; n + 1; : : : мы получим значения k, отличающиеся от уже известных на числа, кратные 2 . Значит, для таких значений k мы не получим новых точек za. Итак, при a = m=n формула (4.19) дает (мы пользуемся также равенством e ln r = r для действительных чисел r, ):

m	m			+ 2 k)			m(' + 2 k)
z n	= r n	cos	m('			+ i sin		; k = 0; n 1:
				n			n

129

Сравнивая эту формулу с (1.15), мы видим, что

p

zm=n = n zm:

Итак, для рациональных чисел a функция za является конечнозначной. При иррациональных (действительных) a = среди значений аргумента k = (' + 2 k) нет чисел, отличающихся друг от друга на величины, кратные 2 . (Если бы нашлись такие натуральные числа k1, k2, l, что k2 k1 = 2 l,

l

т.е. 2 k2 2 k1 = 2 l и k1 =6 k2, то = k2 k1 и, следова- тельно, рациональное число, что противоречило бы сделан-

ному предположению.) Поэтому для иррациональных чисел a функция za бесконечнозначна. Ее риманова поверхность такая же, как и риманова поверхность логарифма.

Общая степенная функция w = za в силу своего определения допускает выделение регулярных ветвей там же, где логарифм; например, в плоскости с разрезом по лучу. Ветвь

ea ln z = ea(ln jzj+i arg z);

выделенная в плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси, называется главной ветвью степенной функции. В силу теоремы о производной сложной функции для каждой регулярной ветви степенной функции справедливы равенства

dzd za = dzd eaf(z) = eaf(z) af0(z) = za a z1 = aza 1;

где f(z) регулярная ветвь логарифмической функции Ln z. Мы получили обычную формулу для производной степен-

ной функции: (za)0 = aza 1.

Пример 4.6. Представить в алгебраической форме комплексное число (1 + i)2i.

130