1.3.Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Пусть z = x+iy. Выполнив подстановку по формулам (1.2),

придем к выражению
z = r(cos ' + i sin ');	(1.7)

где r = jzj, ' = Arg z, которое называется тригонометрической формой комплексного числа z.

p

Пример 1.2. Комплексное число z = 2 + 2 3i предста-

вить в тригонометрической форме (рис. 1.5).

Решение.

Здесь

x = 2,

y = 2p

3

. По формуле (1.1)

r = q

= p

= 4:

( 2)2 + (2p

3)2

4 + 12

По формулам (1.3)

p

1

3

cos ' =

;

sin ' =

:

2

2

Рис. 1.5

Отсюда видно, что ' принадлежит II четверти (см. рис. 1.5). Зна-

чит, Arg z = 23 + 2 k, а главное значение аргумента ' = 23 . Поэтому число z в тригонометрической форме имеет вид

			z = 4 cos	2	+ i sin			2	:
							3
			3
Можно использовать и другие значения Arg z:
z = 4	cos	3	+ 2 k + i sin			23	+ 2 k ; k 2 Z:
		2

11

Рассмотрим теперь умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Пусть

z1 = r1(cos '1 + i sin '1);				z2 = r2(cos '2 + i sin '2);
где r1 = jz1j, r2 = jz2j. Тогда
+i		1		2		1	2
z1 z2 = r1r2		(cos '1		cos '2	sin '1 sin '2)+
= r1r2		cos('	1	+ '2) + i sin('			1 + '2)		:
(sin '			cos ' + cos '				sin ' )		=
Таким образом, при умножении комплексных чисел их мо-
дули перемножаются, а аргументы складываются:
jz1 z2j = jz1j jz2j;									(1.8)
Arg(z1 z2) = Arg z1 + Arg z2:

Отметим, что второе равенство из (1.8) следует понимать как равенство множеств, так как обе части его многозначны. Можно также записать Arg(z1 z2) = Arg z1 + Arg z2 + 2 k, где k 2 Z. Формулы (1.8) означают, что вектор z1z2 получается из вектора z1 поворотом на угол '2 и умножением его длины на jz2j. Например, умножение числа z на i дает вектор, который получается из вектора z поворотом на угол =2 против часовой стрелки, так как arg i = =2, jij = 1.

Из формул (1.8) следует, что аналогичными свойствами обладает произведение любого конечного числа комплексных чисел. Например,

jz1 z2 z3j = j(z1 z2) z3j = jz1 z2j jz3j = jz1j jz2j jz3j; Arg(z1 z2 z3) = Arg((z1 z2) z3) = Arg(z1 z2) + Arg(z3) = = Arg z1 + Arg z2 + Arg z3:

12

В частности,

jznj = j z z : : : z j = jzjn = rn;

Arg(zn) = n Arg z+2 k; k 2 Z:

|

{z

}

n раз

Поэтому

zn = (r(cos ' + i sin '))n = rn(cos(n') + i sin(n')):

(1.9)

Перейдем

теперь

к

делению

чисел z1,

z2,

задан-

ных в

тригонометрической

форме. Заметим,

что

если

z2 = r2(cos '2 + i sin '2),

то

=

r2(cos( '2) + i sin( '2)).

z2

Поэтому

z1

=

z1

=

r1r2 (cos('1 '2) + i sin('1 '2))

;

z2

z2

z2

r22

z2

откуда

z1

r1

'2) + i sin('1 '2)) :

=

(cos('1

z2

r2

Итак, модуль частного комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

z2		= jjz2jj		;
z1			z1

z1	= Arg z1 Arg z2; если z2 6= 0:
Arg z2

В частности, если

z1 = 1 = 1 (cos 0 + i sin 0); z2 = zn = rn(cos n' + i sin n');

	то	1
	z n =		(cos( n') + i sin( n')):	(1.10)
		rn

Положим, по определению z0 = 1 при z 6= 0. Тогда, исходя из формул (1.9) и (1.10), для любого целого числа m (положительного, отрицательного или равного нулю) справедливо

равенство, называемое формулой Муавра:
zm = rm(cos(m') + i sin(m')):	(1.11)

13

Введем еще одну форму записи комплексных чисел. Определим показательную функцию от чисто мнимого аргумента i' следующим равенством:

ei' = cos ' + i sin ';

(1.12)

которое называется формулой Эйлера. Тогда из тригонометрической формы записи комплексного числа z = r(cos '+i sin '), получим более краткую, так называемую показательную форму комплексного числа:

z = rei'; r = jzj; ' = Arg z:

Формулы произведения, частного, возведения в целую степень в показательной форме имеют соответственно вид:

	z1 z2 = r1ei'1 r2ei'2 = r1r2ei('1+'2);
	z1		=	r1ei'1	=	r1	ei('1 '2);	(1.13)
	z2			r2ei'2		r2

zn = rei' n = rnein':

Пример 1.3. Пользуясь формулой Муавра, выразить тригонометрическую функцию y = cos 3x через степени функции cos x, а функцию y = cos3 x через тригонометрические функции кратных углов.

Решение. Воспользуемся тригонометрической формой записи комплексного числа z = r(cos ' + i sin '). По формуле Муавра (1.11): z3 = r3(cos 3' + i sin 3'). С другой стороны, к комплексным числам применимы все формулы сокращенного умножения, имеющие место для действительных чисел, значит:

z3 = r3 cos3 ' + 3 cos2 ' i sin ' + 3 cos ' i2 sin2 ' + i3 sin3 ' :

Таким образом:

cos 3' + i sin 3' = cos3 ' + 3i cos2 ' sin ' 3 cos ' sin2 ' i sin3 ':

14

; k 2 Z:

Откуда

cos 3' = cos3 ' 3 cos ' sin2 ' = cos3 ' 3 cos '(1 cos2 ') = = 4 cos3 ' 3 cos ':

Из последней формулы непосредственно следует cos3 ' = 34 cos ' + 14 cos 3':

1.4.Извлечение корня n-й степени из комплексного числа

Корнем степени n (n натуральное число, n > 2) из комплексного числа z называется такое комплексное число w, n-я степень которого равна z , т.е. wn = z. Корень n-й степени из

p z обозначается n z.

p

Пусть z = r(cos ' + i sin '). Комплексное число w = n z будем искать в виде w = (cos +i sin ). Так как по определению wn = z, то jwnj = jzj, Arg wn = Arg z. Отсюда

n = r; n = ' + 2 k; k 2 Z:

(1.14)

Так как r и неотрицательные числа, то равенство n = r p

дает = n r, причем берется арифметическое (неотрицательное) значение корня. Второе равенство в (1.14) дает

= ' + 2 k n

Таким образом,									;
w = pz =			pr cos			n	+ i sin	n		(1.15)
n			n			' + 2 k		' + 2 k

15

		где k 2	Z. Подставляя						в
		(1.15) значения k =		0; n 1						,
		получим n различных зна-
		чений корня n-й степени
		чисел w0; w1; : : : ; wn 1. Для
						p
		каждого из них jwkj			=	n			r;
		поэтому	соответствующие
		им точки	расположены					на
		окружности радиуса			n
	Рис. 1.6				pr с
		центром в начале коорди-
		нат (рис.	1.6). Аргументы

k = ' + 2 k чисел wk возрастают на 2 =n при увеличении n

k на единицу. При k = n получим n = 'n + 2 = 0 + 2 . Значит, точки wn и w0 совпадут. При k = n + 1; n + 2; : : : мы снова будем получать точки w1; w2 и т.д. Аналогично, при k = 1; 2; : : : соответствующие точки будут совпадать с какими-то из точек w0; w1; : : : ; wn 1. Исходя из изложенного, можно сделать следующий вывод.

Для каждого комплексного числа z 6= 0 имеется ровно n различных корней n-й степени из z. Все эти корни находятся по формуле (1.15) при k = 0; 1; 2; : : : ; n 1. Соответствующие точки расположены в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат. Формула (1.15) также называется формулой Муавра.

p p

Пример 1.4. Вычислить а) 5 32; б) 4 7 + 7i.

Решение. а) Представим комплексное число z = 32 в три-

гонометрической форме: z = 32(cos 0 + i sin 0): Используя формулу (1.15), получаем: p5 32 = p5 32 cos 25k + i25k , k = 0; 4,

откуда

16

z0 = 2(cos 0 + i sin 0) = 2,

			2		2
z1	= 2	cos	5	+ i sin	5	;
			4		4
z2	= 2	cos	5	+ i sin	5	;

			6		6
z3	= 2	cos	5	+ i sin	5	;
			8		8
z4	= 2	cos	5	+ i sin	5	:

Точки zk; k = 0; 4 являются вершинами правильного пятиугольника, вписанного в окружность jzj = 2, изображенного на рис. 1.7.

Рис. 1.7

Рис. 1.8

б) Запишем комплексное число z = 7 + 7i в тригономет-

3

рической форме: z = 7p2

cos

3

+ i sin

. Согласно (1.15)

4

3

получим:

s4

= p8 98 cos

16

+ i

16

;

7p2 cos 34

+ i sin 3

3

(8k + 3)

(8k + 3)

где k = 0; 3: Тогда:

17

z0

= p8 98

cos 16

+ i 16

;

z2

= p8 98

cos

16

+ i

16

;

3

3

;

cos

19

19

:

z1

= p8 98

cos 16

+ i 16

z3

= p8 98

16

+ i

16

11

11

27

27

Точки z ; k = 0; 3 являются вершинами квадрата, вписан-

k p

ного в окружность jzj = 8 98, изображенного на рис. 1.8. Возможность извлекать корень из любого числа позволяет

решать квадратные уравнения az2+bz+c = 0 с произвольными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами a, b, c. Корни уравнения находятся по формуле

		b p
	z1;2 =		b2 4ac	;	(1.16)
		2a

которая выводится так же, как и в случае действительных чисел a, b, c, z (путем выделения полногоpквадрата из квадратного трехчлена az2 +bz +c). В качестве b2 4ac можно взять любое из двух значений корня; эти значения связаны равенством w1 = w2.

В школьном курсе математики считается, что если дискриминант D < 0, то корней нет. Их и в самом деле нет, если искать только действительные корни (т.е. точки, расположенные на оси OX). Но среди более широкого множества комплексных чисел корни уже найдутся; соответствующие точки расположены вне действительной оси.

Таким образом, каждое квадратное уравнение имеет ровно два корня (возможно, совпадающих). Вообще, для любого натурального n уравнение

a0zn + a1zn 1 + + an = 0

имеет ровно n корней (вообще говоря, комплексных). Это означает, что для отыскания решений алгебраических уравнений

18

более высокой степени не нужно дальнейшее расширение множества чисел (например, рассмотрение точек в пространстве и т.п.). Введенного множества комплексных чисел уже достаточно для того, чтобы среди них нашлись решения любого алгебраического уравнения.

Задания для аудиторных занятий к § 1

1.Найти a b, a b, a=b,a2, b3, если a = 2 + 5i,b = 4 7i.

2.Вычислить:

1 i

2 + i

2

1 + ip

3

1 + i

2

3

1)

1 + i; 2)

1 4i; 3) 1

3i; 4)

; 5)

2 i

.

3.

Найти модуль и главное

значение аргумента комплекс-

ного числа:

1 i

7p

5i

4

7 + 7i

+ 7i

3

1)

;

2)

;

3)

;

4)

1 + i

;

5)

;

6) 5 2p

i;

7) (4 3i)3.

6

3

4.

Вычислить a b, a=b, a6,

pb, если:

p

p

p

1) a = 2 2

2i, b = 3 + 3i;

p

p

p

2) a = 9 + 3 3i, b = 15 15i.

5.

Вычислить:

p

80

1)

p3

; 2)

; 3)

8 + 8p

;

4)

1 + i !

;

4

i

1

3i

27i

4 1=16

p

3

(1 + i)

8

p

p

18

9

(2 3 2i)

(1 i)

5)

(1 ip

;

6)

(2 + 2p

i)54

;

3)6

s

3

7)

i33

1

;

8)

.

( p3 + i)6

i8

+ 2

3

5 8 (2

2i)2

6.

Решить уравнения:

1)z2 4z + 13 = 0;

2)(4 + 6i)z2 + (15 + 3i)z (3 + 11i) = 0;

3)(4i 2)z2 + (7 + 6i)z + (5 5i) = 0;

4)2z4 + 5z2 + 2 = 0;

5)2z4 (3i + 1)z2 + i 1 = 0;

19

n

= " 1;

6)z6 7z3 8 = 0;

7)8z6 (8 + i)z3 + i = 0;

8)jzj + iz = 1 + 2i;

9)jzj z 3z + 2i = 0;

10)z + jz ij 1 = 0.

7. Найти все решения систем уравнений:

8

z

8i

3

2)

j z + 1 + i

z

12

= 5;

8

z2

2ij

= 4;

>

>

1)

= 1:

> z

4

<

>

= 1;

<

z

8

>

>

:

>

>

:

8. Пользуясь

формулой Муавра, выразить тригонометри-

ческие функции кратных углов через степени функции sin x, cos x:

1)	sin 3x;	2)	sin 4x;	3) cos 4x;
4)	sin 5x;	5)	cos 5x;	6)	sin 6x;
7)	cos 6x;	8) sin 7x;		9)	cos 7x.

9. Пользуясь формулой Муавра выразить следующие функции через тригонометрические функции кратных углов:

1)	sin4 x;	2) cos4 x;	3)	sin5 x;
4)	cos5 x;	5) sin6 x;	6)	cos6 x.
10. Найти суммы:

1)sin x + sin 2x + : : : + sin nx;

2)cos x + cos 2x + : : : + cos nx;

3)cos x + cos 3x + : : : + cos(2n 1)x;

4)sin x sin 3x + : : : + ( 1)n+1 sin(2n 1)x;

5)cos x cos 2x + : : : + ( 1)n+1 cos nx;

6)sin x sin 2x + : : : + ( 1)n+1 sin nx.

11. Доказать формулы:

1) 1 + 2" + 3"2 + : : : + n"n 1

20

2) 1 + 4" + 9"2 + : : : + n2"n 1 = n2(1 ")2n, (1 ")2

где " произвольный корень n-й степени из единицы, отличный от единицы.

12. Записать аналитически область, заштрихованную на рисунке:

Рис. 1.9

Рис. 1.10

Рис. 1.11

Рис. 1.12

21

13. Нарисовать линии, определяемые уравнениями:

1) jzj = 5;

8) jzj2 + 8Rez = 15;

2) jz i 1j = 3;

9) Re(z + 3 i) + Imz = 5;

3) jz + 3i 1j = 2;

10) Im(z2 5z) = 2;

4) Rez + 5Imz = 2;

11) arg(z + 5 i) =

;

z + 5

4

5) Re

= 0;

12) arg(z

i

1) =

3

;

z

5

4

6) Im z + 4

;

14) jz + 5j + jz 5j = 6;

z

4

= 0

13) jz + ij jz

ij = 3;

7) jzj = 5Rez + 3;

15) jz + 3i 1j = jz 3 + ij.

14. Изобразить на координатной плоскости множество то-

чек, определяемое неравенствами:

4) 3Rez + 2Imz2 > 5;

1) jz i 1j < 3;

2) z + 3i

1

j >

2;

5) jzj2 5Imz 6 4;

j

6) 0 6 arg(z i + 2)

6

;

3) z + 3

6

2

;

3

7) 4 6 argz 6 3 ;

z 3

8)jzj2 + 3Rez 2Im(z + 2i) 6 7;

9)jz ij jz + ij > 2;

10)jz + 3ij jz 3ij 6 7;

11)jz + 2 3ij + jz i + 1j < 5;

12)2zz + (2 + i)z + (2 i)z < 2.

15. Изобразить на координатной плоскости множество точек, определяемое неравенствами:

1)1 6 jzj < 3;

2)1 < jz 2ij < 2, 0 6 argz 6 2 ;

3)0 < jz i 1j < 2, 2 < arg(z i 1) < 3 ;

4)jzj > 1, 2 6 Imz < 0, 0 < Rez < 2;

5)jz i 1j > 1, jzj < 1;

6)zz 6 3, 4 < argz 6 23 ;

7)zz > 1, 1 6 Imz < 1, 2 < Rez 6 1;

22

8)jzj < 2, Rez > 1, argz < 2 ;

9)jz 2ij jz + 2ij > 5, 4 < argz 6 0;

10)jzj2 3Imz + 2Rez > 1, 23 6 argz 6 ;

11)4 < jzj2 2Imz + 4Rez 6 11, 4 6 arg(z 2 + i) < 34 .

16.Даны три вершины параллелограмма z1, z2, z3. Найдите четвертую вершину z4, противоположную вершине z2.

17.При каком условии три попарно различные точки z1, z2, z3 лежат на одной прямой.

18.Найдите вершины правильного n-угольника, если центр его находится в точке z = 0, а одна из вершин z1 известна.

ИДЗ 1

1.Найти a b, a b, a=b, a2, если:

1.1.a = 2 3i; b = 4 + 5i; 1.16. a = 5 5i; b = 8 11i;

1.2.a = 5 + 2i; b = 3 + 7i; 1.17. a = 3 7i; b = 4 + 9i;

1.3.a = 8 + 3i; b = 2 11i; 1.18. a = 13 2i; b = 3 7i;

1.4.a = 5 + 4i; b = 11 3i; 1.19. a = 7 + 2i; b = 8 13i;

1.5.a = 8 3i; b = 7 + 2i; 1.20. a = 1 12i; b = 5+7i;

1.6.a = 3 + 2i; b = 9 + 5i; 1.21. a = 13 + i; b = 6 7i;

1.7.a = 5 3i; b = 7 + i; 1.22. a = 9 2i; b = 3 4i;

1.8.a = 9 5i; b = 8 + 3i; 1.23. a = 3 + 11i; b = 2 + 5i;

1.9.a = 11 + 3i; b = 7 6i; 1.24. a = 1 14i; b = 6 7i;

1.10.a = 12 i; b = 7 5i; 1.25. a = 5 11i; b = 4 3i;

1.11.a = 3 7i; b = 4 + 9i; 1.26. a = 13 + i; b = 7 8i;

1.12.a = 13 2i; b = 3 7i; 1.27. a = 2 7i; b = 9 11i;

1.13.a = 5 + 12i; b = 3 4i; 1.28. a = 3 + 14i; b = 3 i;

1.14.a = 2 + 15i; b = 3 4i; 1.29. a = 9 + 13i; b = 1 + 6i;

1.15.a = 7 + 7i; b = 1 13i; 1.30. a = 5+12i; b = 2 9i.

23

2. Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа a:

p

2.1. a = 11 11 3i;

2.2.a = 8 8i; p

2.3.a = 3 3i;

2.4.a = 9 + 9i; p

2.5.a = 27 9i; p

2.6. a = 3		i;
p			p
2.7. a = 4		3 + 48i;
2.8. a = 11 11i;
2.9. a = p	3	3i;

p p

2.10. a = 5 5i; p

2.11.a = 3 + 3i; p p

2.12.a = p2 p2i;

2.13. a = 7					7i;
2.14. a = p	27		3i;
p					p
2.15. a = 6 +					6i;

p

2.16. a = 5 + 5 3i;

2.17. a = 7 7i;

2.18. a = p

5

p

5

i;

2.19. a = 10 10p

i;

3

2.20. a = p

p

i;

8

8

2.21. a = 3p

+ 9i;

3

2.22. a = p

+ p

i;

11

11

p

p

2.23. a =

18 6i;

2.24. a = 12 + 12i;

2.25. a = 7 + 7p

3

i;

2.26. a = p

p

i;

13

13

2.27. a = 4p

12i;

3

2.28. a = 9p

+ 27i;

3

2.29. a = p

+ p

i;

10

10

p

2.30. a =

3 i.

3. Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа a:

3.1.a = 6 + 8i;

3.2.a = 3 4i;

3.3.a = 5 12i; p p

3.4.a = 3 + p13i;

3.5.a = 2 + p5i;

3.6. a = 3 7i;

3.7.a = 4 + 3i; p

3.8.a = 14 2i;

3.9.a = 5 + 12i;

3.10.a = 12 5pi;

3.11. a = 5 + 11i; p

3.12. a = 2 5 + 4i;

3.13.a = 6 8i; p

3.14.a = p5 2i;

3.15. a = 7 + 3i; p

3.16. a = 6 + 13i; p

3.17. a = 4 33i; p

3.18.a = p 11 5i;

3.19.a = 2 p6 5i;

3.20. a = 13 6i;
3.21. a = p	15		7i;
3.22. a = 5 p					i;
				11
				p
3.23. a = 3		6p				2i;
3.24. a = 5		+ 2 14i;

24

3.25. a = 4 2p

i;

3.28. a =

p

+ 8i;

5

17

3.26. a = 3p

+ 6i;

3.29. a =

2p

5i;

5

14

p

i;

p

i.

3.27. a = 7 4

2

3.30. a = 6 3

5

4. Представить комплексное число a в алгебраической, три-

гонометрической и показательной формах:

a =

1 i

3

4.15. a =

2i 1

;

4.1.

1 + i

;

2 + i

!

34

13

4.16. a =

1 ip3

4.2. a = 1 3i;

;

2 + i

p

3

1 + i

4.3. a =

i

;

4.17. a =

;

7ii

1

2

7

1 + i

p

p

13

p

3

4.18. a =

;

4.4. a =

2 + i

2

!

;

4.19. a =

21i+ i

;

1

3

+ 1

3 i

a =

4 + 3i

4.5.

1 + 2i;

4.20. a =

p

i p

4

;

7

;

11

11

4.6. a = (2 2i7

a =

2i 2

5

)

(1 + i)

4.21.

;

4.7. a =

;

1 + i

5

!

(1 i)

1 + ip

40

4.8. a =

2

;

4.22. a =

3

i19

+ 2

1

i

;

5

i

+ 1

5

4.9. a =

2 i

5

p

p

2

2

!

;

4.23. a =

i7

+ 2

;

1

p3

5

5i

4.24. a =

;

4.10. a =

(i + 1)5

1 + i21

(i 1)3 ;

4.25. a =

(1 i)7 ;

9

p

60

(1 + i)

a =

4.26. a =

;

(1 i)3

;

p13i + p13

4.11. a =

1 + i

3

2

4.12.

;

p

7

(1 + i)10

i

3

1 i

4.27. a =

+

!

;

4.13. a =

;

2

2

2 + 3i

4.14. a = p

3i 6;

4.28. a = p

+ p

i 13;

2

2

3

25

4.29. a =		1 + ip3			23
					;
		1 i
5. Вычислить a b, a=b, a8,

5.1. a = 1 p

i; b = 2

+ 2i;

3

5.2. a = 3 p

i; b = 3

+ 3i;

3

5.3. a = i 1; b = 2 + 2p

i;

3

5.4. a = 3 + 3i; b = p

+ i;

3

5.5. a = 5 + 5i; b = 3 + p

i;

3

5.6. a = 1 i; b = 3i + p

;

3

5.7. a = 2 2i; b = 3 p

i;

3

5.8. a = 3 + 3i; b = 1 + p

i;

3

5.9. a = 3i p

; b = 4 4i;

3

5.10. a = 1+i; b = p

p

i;

5

5

5.11. a = 3 + p

i; b = 1 i;

27

5.12. a = 2 2i; b = p

+ i;

3

p

p

5.13. a = 3	+3i; b = 3 i;
5.14. a = 1	+ i; b = 3 p	3		i;
	p

5.15. a = 7 + 7i; b = 1 3i;

6. Вычислить:

6.1. s5

( 1 p3i)3 ;

(2 + 2i)4 + 64i

6.2.

s

( p2

p2i)4

;

5

(p

3

i 1)3 8i

s

6.3.

(2

2i)4

;

3

(p

3

i)6 + 64i

s

6.4.

(1 + p3i)3

;

4

512i

(p

6

+ p

2

i)6

4.30. a =			i11 + 2		2
					.
			1 i23
p6		если:
	b
					p

5.16. a = 5 5i; b = p3 i;

5.17. a = 3 + 3i; b = 3 i; p

5.18. a = 2+2i; b = 3 3i;

5.19. a = 5 5i; b = 2 + 2i; p

5.20. a = 1 p3i; b = 5 + 5i;

5.21. a = 3 + 3i; b = 6 6i; p

5.22. a = 9 9i; b = 3 3i; p p

5.23. a = 3+3i; b = 5 5i; p

5.24. a = 1 3i; b = 7 7i; p

5.25. a = 5 5i; b = 3 3i; p p

5.26. a = 2 + 2i; b = 7 7i; p

5.27. a = 2 2i; b = 9 9p3i;

5.28. a = 3 + 3i; b = 3 3i; p p p

5.29. a = 7 7i; b = 1+ 3i; p

5.30. a = 5+5i; b = 3 3i.

6.5.

s

(p3 + i)6 ;

5

(

1

i)4 + 4i

6.6.

s

(1 + p3i)3

;

4

(p

3

p

3

i)4

36i

6.7.

s

( 1 + p3i)3

;

4

(p

3

+ i)6 64i

6.8. s5

(

2

(i p3)6

;

p

+ p

2

i)4

16i

26

6.9. s

(2 + 2i)4

;

3

(1

i)4 + 4i

3

(1 i)4 2i + 2

6.10. s

(i + p

;

3)6

6.11. s4

;

1 (p3

3i)3

3i + (1 + i)4

6.12. s5

(1

(23i)

2i)4

;

p

3 + 3 + 5i

5

(1 + i)4 + 7 3i

6.13. s

(1

p

i)3

;

3

s

6.14.

(p3

p3i)4 ;

3

(i + 1)4

4i

s

6.15.

(

1

p3i)3

;

5

(2

2i)4 + 41

23i

6.16. s3

(1(p2 + p2i)4

;

+ p

3

i)3 + 8i

6.17. s3

;

( 1(p3 i)6

+ i)4

+ 5

i

6.18.

s

;

(p3 + p3i)4

5

(

1

i)4

+ 3 + i

6.19.

s

(

p3 + p3i)4

;

3

(1

p

3

i)3 + 3

5i

6.20. s

(

p3

p3i)4

;

5

5 3i + (1 + p

3

i)3

6.21. s5

16 + 8(2

2i)4

;

i + (1 + p

3

i)3

6.22. s3

( 3(+2i)+ 2i)4

;

p

6 + 70

6i

sp p

6.23.5 ( 2 +p 2i)4p+ 10 6i;

6.24. s

(

3

3i)4

( 1 + p3i)3

;

5

(p

2

p

2

i)4 + 9 + 7i

6.25. s3

(1 +(p2i

p2)4

;

p

3

i)3

+ 11

3i

6.26. s5

( 1(p2

p2i)4

;

+ p

3

i)3 + 9

i

6.27. s5

( 3 (3i 3)4

;

6.28. s5

p

i)6 + 51 + 13i

( 2

(3

p3i)6

;

p

+ p

2

i)4

+ 19

3i

6.29. s

(3 + p3i)6

;

5

(1 i)4

+ 5

2i

s

(1 i)4 + 2 2i

6.30. 3 p p .

( 3 + 3i)4

27

7. Решить уравнение:

7.1. jzj z = 1 + 2i;

7.17. Re(z2

) = 0;

z

7.2. 2zz

+(2+i)z +(2 i)

= 2;

7.18. z6

2z3 + 5 = 0;

z

7.4. z

2

+ jzj = 3 + 2i;

7.19.

z + 1

;

7.3. z

3

= 1 + i;

Re

z

1

= 0

7.5. z8

= 1

i;

7.20. Re(1 + z) = jzj;

7.6. z

6

+ 8 = 0;

7.21. z

6

+

6z

3

+ 10 = 0;

4z

3

7.22. z

6

+

64 = 0;

7.7. 3jzj = Re z + 12;

7.9. z

4

= 3 + 3p3i;

1

1

7.8. z8

+ 2p

3

z4

+ 4 = 0;

7.23. Im

z2

z

= 2

Im z;

7.10. z5

z

;

+

4

3

;2

2

2

2

7.24. Im

=

(z)

= 1

7.11. z

+z

+z

+z +z+1 = 0;

7.25. z4

+

6z2 + 5 = 0;

7.12. Re(1 + z) = jzj;

7.26. z8 = 1 + i;

7.13. jzj = 6 + 3 Im z;

7.27. z2

+

2 = 1;

z

7.14.

+ z3 = 0;

4

2

z

7.28. z

+

4z

+ 8 = 0;

7.15. z7 + 1 = 0;

7.29. z

6

+ z

2

= 2;

7.16. z4 4z2 + 5 = 0;

j.

7.30. jz 2j = j1 2

z

8. Нарисовать на координатной плоскости множество точек, определяемое следующим соотношением:

8.1.jz2 1j > 5;

8.2.0 6 Im z + 2 Re z 6 1;

8.3.jz 1j < jz ij;

8.4.1 6 jz + 2 + ij 6 2;

8.5.jzz + 11j 6 1;

8.6.3 < arg(z 1) < ; 4 p 2

8.7. Re((1 i)z) < 2;

8.8.Im(z2) 6 Re z;

8.9.4 6 jz 1j + jz + 1j 6 8;

8.10.Im(z2) < 1;

8.11.jz + 2j jz 2j > 2;

8.12.jz + 2j jz 2j < 2;

8.13.4 < arg(z + 1 i) < 2 ;

8.14.Im z1 < 12;

8.15.jz ij + jz + ij < 4;

8.16.0 < arg ii + zz < 2 ;

8.17.jzj Re z 6 1;

8.18.14 <Re z1 +Im z1 <2;

28

8.19.arg z < 4 ;

8.20.jz 2j + jz + 2j > 6;

8.21.Re z1 < 12;

8.22.j1 zj < j1 + zj;

8.23.jzj > 2 + Im z;

8.24.Re(1 + z) 6 jzj;

8.25.jzj > 6 + 3 Im z;

8.26.jz + ij + jz ij < 4;

8.27.4 < arg(z 1 + i) < 4 ;

8.28.jz 2j jz + 2j < 2;

8.29.1 < jz 2 + ij 6 2;

8.30.Re zz + ii > 0.

9. Изобразить на координатной плоскости множество точек, задаваемое следующими соотношениями:

9.1.0 < Im(iz) < 1;

9.2.Re(z 1 i) Im(z + 2i) 6 2;

9.3.2 < Re(z + 5 + 2i) + Im z < 4;

9.4.z2 + Im z 6 1;

9.5.z2 + Re z 6 3;

9.6.Im z + Re(z + 5i) < 2;

9.7.Re(2iz 3) > 4;

9.8.2 6 Im(i Re z + Im z) 6 3;

9.9.Re z + Im z2 = 5;

9.10.Re(z + i 2) Im(z 2i) 6 4;

9.11.0 < jzj2 + 8 Re z < 27;

9.12.jzj2 + 6 Re z < 5;

9.13.Re z + Im(2iz i 3) = 5;

9.14.2 6 Re z2 + jzj2 6 4;

9.15.5 Re z + Im z2 = 9;

9.16.2 < Re(z + 1 2i) + Im z < 3;

9.17.Im z + Re(z + 5i) < 3;

9.18.Re z2 Im z = 12;

9.19.z2 + 2 Im z = 4;

9.20.Im(z2 + 3i) > 2;

9.21.Re z2 4 Im z = 3;

9.22.1 6 Re z2 + jzj2 6 3;

29

9.23.jzj2 + 4 Im z = 5;

9.24.2 6 Re(2 Im z + 5i Re z) 6 2;

9.25.1 6 Re(5iz 1) 6 Im(2z);

9.26.1 6 Re(z + i + 3) + Im(3iz 4) 6 4;

9.27.jzj2 6 Im z 6 0;

9.28.3 < Re(2z + 3 2i) Im(z 5i) 6 4;

9.29.4 6 arg(z 2 i) 6 2 ;

9.30.jz + 5j jz 5 3ij = 0.

10.Нарисовать на координатной плоскости множество точек, задаваемое следующими неравенствами:

10.1.jz 2 ij > 1; 1 6 Re z < 3; 0 < Im z 6 3;

10.2.jz ij < 1; arg z > 4 ; arg(z + 1 i) 6 4 ;

10.3.jz 1j < 1; arg z 6 4 ; arg(z 1) > 4 ;

10.4.1 < zz < 2; Re z > 0; 0 6 Im z 6 1;

10.5.zz < 2; Re z 6 1; Im z > 1;

10.6.jz ij 6 1; 2 < arg(z i) < 4 ;

10.7.jz + ij < 1; 34 6 arg z 6 4 ;

10.8.jz 1j > 1; 1 6 Im z < 0; 0 6 Re z < 3;

10.9.jzj > 1; 1 < Im z 6 1; 0 < Re z 6 2;

10.10.jzj < 2; Re z > 1; arg z < 4 ;

10.11.1 6 jz ij < 2; Re z 6 0; Im z > 1;

10.12.1 < jz 1j 6 2; Im z > 0; Re z < 1;

10.13.jzj 6 1; arg(z + i) > 4 ;

10.14.2 < jzj < 3; 2 < arg z < 34 ;

10.15. jzj < 2; 4 6 arg(z 1) 6 4 ;

30

10.16.jz 1 ij < 1; j arg zj 6 4 ;

10.17.jz ij 6 2; 0 < Im z < 2;

10.18.jz + ij > 1; 4 6 arg z < 0;

10.19.jz + ij < 3; 0 < Re z 6 1;

10.20.jz ij 6 1; 0 < arg z < 4 ;

10.21.jz 1 ij > 1; 0 6 Re z < 2; 0 < Im z 6 2;

10.22.jz 2 ij 6 2; Re z > 3; Im z < 1;

10.23.jz 1 + ij > 1; Re z < 1; Im z 6 1;

10.24.jz 1 ij 6 1; Im z > 1; Re z > 1;

10.25.jz + ij 6 2; jz ij > 2;

10.26.jz + 1j > 1; jz + ij < 1;

10.27.jz + ij > 1; jzj < 2;

10.28.jz 1j 6 1; jz + 1j > 2;

10.29.jz ij 6 2; Re z > 1;

10.30.jz + 1j < 1; jz ij 6 1.

11 . Доказать соотношение:

11.1. z + z = 2 Re z; 11.2. z z = 2i Im z; 11.3. z1 + z2 = z1 + z2;

11.4.		z		1	6 j arg zj;
j		z	j

11.5. jz1 + z2j 6 jz1j + jz2j;

11.6. Im z = z 2i z ;

11.7. Re z = z +2 z ;

11.8. jz 1j 6 jjzj 1j + jzjj arg zj;

11.9. z1 = z1 ; z2 6= 0; z2 z2

11.10. (z1z2) = z1 z2;

31

11.11. jz1 + z2j2 + jz1 z2j2 = 2(jz1j2 + jz2j2); 11.12.j1 z1z2j2 jz1 z2j2 = (1 jz1j2)(1 jz2j2);

11.13. zz = jzj2;

11.14. jz1	+ z2j > 2			(jz1j + jz2j)	z1			+ z2		;
	1					z1			z2
						j j		j j

11.15. (zn) = (z)n; n = 1; 2; 3; :::

Решение типового варианта

Пример 1. Найти a b, a b, a=b, a2, если: a = 3 + 5i, b = 4 9i.

Решение.

a + b = ( 3 + 5i) + (4 + 9i) = 1 4i;

a b = ( 3 + 5i) (4 + 9i) = 7 + 14i;

a b = ( 3 + 5i) (4 + 9i) = 12 + 20i + 27i 45i2 = 33 + 47i;

a

=

3 + 5i

=

( 3 + 5i) (4 + 9i)

=

12 + 20i 27i + 45i2

=

b

4 9i

42 + 92

97

57

7

=

i;

97

97

a2 = ( 3 + 5i)2 = 9 2 3 5i + 25i2 = 16 30i:

Пример 2. Найти модуль и главное значение аргумента p

комплексного числа a = 5 3 15i:

Решение.

p q p p p p jaj = x2 + y2 = (5 3)2 + 152 = 75 + 225 = 300 = 10 3:

Аргумент комплексного числа a находим из соотношения:

5p

15

p

cos ' =

x

=

3

=

1

; sin ' =

y

=

=

3

2 .

a

j

p

2

a

p

j

10 3

j j

10 3

Следовательно, угол ' лежит в четвертой четверти, откуда

' = arg a = 53 .

32

Пример 3. Найти модуль и главное значение аргумента p

комплексного числа a = 4 5 8i:

Решение.

p q p p p

jaj = x2 + y2 = ( 4 5)2 + ( 8)2 = 80 + 64 = 144 = 12;

p

p

cos ' =

4

5

=

5

; sin ' =

8

=

2

.

12

3

12

3

2

Значит, ' 2 ( ;

3

и arg a = + arcsin

.

)

2

3

число

Пример

4.

Представить

комплексное

a =

i23 + 3

3

в

алгебраической, тригонометрической и

1 i15

показательной формах.

1,

i,

Решение. Поскольку

i2

=

i3

=

i4

=

1,

то

i23 = (i4)5 i3 = i, i15 = (i4)3 i3 = i. Значит,

a =

i23 + 3

3

=

i + 3

3 =

i 3

3

=

1 i15

i 1

i + 1

3

(i

3)(

i + 1)

3

2

i + i

3

2 + 4i

3

=

=

i

+ 3

=

=

2

2

2

= ( 1 + 2i)3 = 1 + 6i + 4 8i = 3 2i:

Итак, мы получили алгебраическую форму записи числа a. Вычислим модуль и аргумент комплексного числа a.

p					p		3				2
		2		2
jaj =	3		+ 2		=	13, arg a = ', cos ' =		p		,	sin ' =	p		,
									13				13

3

; 2 ,

откуда

2

.

Тригонометри-

' 2

arg a = arcsin

p

2

13

ческая

форма

записи

комплексного числа

a

имеет

вид:

2

2

a = p13

cos( arcsin

p

) + i sin( 2arcsin

p

) :

13

13

Показательная: a = p

e arcsin

p

i.

13

13

p6

8

Пример 5.

b если

a = 4

4i,

Вычислить a b, a=b, a ,

p

b = 2

12i.

33

																																																								p
		Решение. Запишем числа a= 4 4i, b=2																																																								12i в триго-
нометрической форме:
																																					p																		p
											j j			p			4							2					p2				2														4											p2
											a		= ( 4) + ( 4) = 16 + 16 = 4 2;
					cos '1 =											4p								=								;				sin '1 =											4p							=										;
																													2																														2
																					2																														2
			'1 =													54 ;								a = 4p2									cos 4									+ i sin 4														:
																																						5														5																	p
																																																					1																	3
	jbj = q22 + ( p12)2 = p4 + 12 = 4;																																								cos '2 =															; sin '2 =																;
																																																					2																2
																				5																	5															5
																			' 2 =							; b = 4										cos						+ i sin														:
																				3																		3														3
		Найдем:												54																			4				cos					3 + i sin																=
a b = 4p2 cos																	+ i sin											4																												3
																	54											5														5														5
			= 16p2 cos																					+ 3					+ i sin												4				+		3					=
																										5														5								5
														35															35																				11																11
			= 16p2(cos																+ i sin														) = 16p2												cos											+ i sin												:
														12															12																							12														12
a				4p					2(cos 54 + i sin 54 )																					p									5								5															5						5
		=																										=		2					cos(																	) + i sin(																		) =
	b			4(cos								5	+ i sin									5			)																4						3															4						3
												3										3
		= p2 cos( 12 ) + i sin( 12 ) :
													5																5
a8 = 4p2 cos														4			+ i sin											4							8		= (4p2)8										cos(									54		8) + i sin( 4															8)	=
														5														5																																									5

= 220 (cos 10 + i sin 10 ) = 220:

34

p6 b = s6				4	cos 53				+ i sin				3					= p6	4				cos				3 6				+ i sin		3			6	!	=
													5														5 + 2 k						5		+ 2 k
		= p3 2			cos 5				18			+ i sin							18							; k = 0; 5:
									+ 6 k									5 + 6 k
z0		Найдем все значения корня:																	=				p3			2	cos	18			+ i sin		18			,
	=		p3 2 cos 18						+ i sin				18			, z1
								5						5														11						11
z2	= p3 2			cos		18			+ i sin				18				, z3 = p3									2	cos	18			+ i sin		18			,
						17									17													23						23
	= p3 2 cos
z4							18		+ i sin						18		, z5 = p3 2									cos 18 + i sin 18									.
						29							29														35					35
		Геометрически все значения p6																				изображаются точками на
																				b
окружности						jzj =				p3		и делят ее на шесть равных дуг																							(см.
											2
рис. 1.13).

Рис. 1.13

35

																						5				9 + 5i + (1 i)4
Пример 6.									Вычислить s																			(2p				i 2)3										.
																														3
Решение. Упростим вначале выражения, стоящие в
числителе и знаменателе подкоренного выражения:																																																p
																												= p																						2
															12 + (							1)2							2				arg a = '												cos '		=
				jaj																											,																						,
1) a = 1 pi,										= p7																																	17,				1	7 2
				2
sin '1 =					, '1 =													,	значит, a										=				p2					cos								+ i sin				.
	2																4																										4					4
4				p						4	(cos 7 + i sin 7 ) = 4.
Тогда a = (				2)
2) b = 1														,						pq3																							,									2,
																	j j																													arg b = '
																																			2
		2 + 2p3i																b	=							(		2)2		+ (2p3)2 =4
cos '2 =			,									sin '2 =												,					'2 =											,					то			есть,
		2																			2														3

b = 4					cos			2					+ i sin						2		,			b3 = 43(cos 2 + i sin 2 ) = 43 = 64:
																			3
										3
																																							r5				+ 5i
Следовательно, необходимо																												вычислить:															5		. Запишем
																																											64
комплексное число c =																							5	(1 + i) в тригонометрической форме:
															5p					64
		5																2
c =					(1 + i) =														cos							+ i sin						. Тогда
				64											64									4						4
s																								2		10		2		cos 4						5						+i sin 4						5			=
		5642				cos					4 +i sin								4 =
5			p																					1		r		25						+2 k													+2 k
							r
			= 2											cos						20								+ i sin								20							; k = 0; 4:
											2
					1 10						25								(8k + 1)														(8k + 1)
			Найдем все значения корня:
z0		= 2			r						cos 20								+ i sin 20									;	z1		= 2					r					cos 20							+ i sin 20						;
							2																															2
		1 10					25																								1 10							25						9									9
z2	= 2 r									cos 20									+i sin							20		; z3			= 2 r									cos 20								+i sin			20					=
						2																																2
		1 10				25										17								17							1 10 25												25									25

36

= 2		10		2		cos		4 + i sin 4					=			2		10	2			22 + i			22		! =
		r																r
	1			25				5				5				1			25			p			p
													r
= 4				p400(1 + i);						z4	= 2					cos			20		+ i sin				20		:
														2
		1		10							1		10	25					33					33

Пример 7. Решить уравнение z6 + 3z3 + 2 = 0. Решение. Выполним в уравнении замену z3 = t, получим:

t2 + 3t + 2 = 0, откуда t1 = 1, t2 = 2. Решим уравнения z3 = 1 и z3 = 2. Для этого запишем комплексные числа 1,2 в тригонометрической форме:

1 = cos + i sin ; 2 = 2(cos + i sin ):

Решим первое уравнение:

z3 = cos + i sin ;

z = p3

;

cos + i sin

z = cos

+ 2 k

+ i sin

+ 2 k

; k=0,1,2.

3

3

p

1

3

z1

= cos

+ i sin

=

+

i;

3

3

2

2

z2

= cos + i sin = 1;

p

z3

= cos

5

+ i sin

5

=

1

3

i:

3

3

2

2

Из второго уравнения z3 = 2(cos + i sin ) получаем:

z = 3 2(cos + i sin );

3

; k=0,1,2.

z = p2 cos

3

+ i sin

p3

+ 2 k

+ 2 k

p3

cos

=

p3

p6

2

36

z4

= p3

2

+ i sin

+

i;

3

3

p32

2

z5

=

2

(cos + i sin ) =

2;

3

6

z6

= p3

2

=

i:

cos

53

+ i sin

3

2

2

5

p2

p36

37

														p3						p							p
																	1			3				1			3
		Таким				образом,							числа 1;		2;				+				i;						i;
																	2			2				2			2
p3			p6				p3				p6
	2	+		36		i;		2				36		i являются корнями уравнения
2			2				2				2

z6 + 3z3 + 2 = 0.

Пример 8. Нарисовать на координатной плоскости множество точек, определяемое соотношением jz + 3j jz 3j < 4.

Решение. 1 способ. Запишем комплексное число z в алгебраической форме: z = x+iy, и построим линию jz+3j jz 3j = 4границу этого множества.

Рис. 1.14

Рис. 1.15

jx + iy + 3j = 4 + jx + iy 3j;

pp

(x + 3)2 + y2 = 4 + (x 3)2 + y2;

x + 6x + 9 + y

16 x + 6x 6

p

;

;

(x + 3)2

+ y2

= 16 + (x

3)2

+ y2

+ 8

(x 3)2 + y2

3x 4 = 2 (x 3)2 + y2

;

p

2

p

2

2

y2

= 8 (x

3)2

+ y2

(3x 4)

3)2 + y2)

;

2 = 4((x

4x2 24x + 36 9x2 + 24x 16 + 4y2 = 0;5x2 + 20 + 4y2 = 0;

5x2 4y2 = 20.

38

Итак, x2 y2 = 1 уравнение гиперболы с вещественной

4 5

p

полуосью a = 2 и мнимой d = 5 (см. рис. 1.14).

Выясним, какая из трех частей комплексной плоскости удовлетворяет неравенству: jz + 3j jz 3j < 4. Пусть z = 0. Тогда j3j j 3j = 0 < 4 верное числовое неравенство, следовательно, искомая область часть плоскости между двумя ветвями гиперболы, сама гипербола (граница множества) искомой области не принадлежит (см. рис. 1.15).

2 способ. Найдем, какую линию на комплексной плоскости описывает граница искомого множества: jz + 3j jz 3j = 4, то есть найдем множество всех точек z, разность расстояний которых до двух заданных точек z1 = 3 и z2 = 3 есть величина постоянная и равна 4. Получили определение гиперболы: модуль разности расстояний от точки M(x; y) до двух заданных точек F1( c; 0) и F2(c; 0) величина постоянная, равная 2a = 4,

откуда
	2a = 22; c = 3; b = p					= p		= p		;
					c2 a2
							9 4		5
значит,	x		y	= 1 далее находим, какой части плоскости
	4		5

удовлетворяет требуемое отношение.

Пример 9. Изобразить на координатной плоскости множество точек, определяемое соотношением jzj2 + 3 Im z = 4.

Решение. Пусть z = x + iy, тогда Im z = y, jzj2 = x2 + y2, следовательно, условие

jzj2 + 3 Im z = 4

соответствует уравнению

x2 + y2 + 3y = 4:

Рис. 1.16

39

							3				2		17
Таким образом, искомое множество x2							+ y +				=					есть
								2					4
												p
		3												17
окружность с центром в точке z0 =						i радиуса R =										(см.
					2								2
рис. 1.16).
		Пример 10. Нарисовать на координатной плоскости мно-
жество точек, задаваемое неравенствами: 1 <										jz ij					6 2,
		3
		6 arg(z i) 6		.
	2		4				задает окружность с
		Решение. Уравнение jz z0j = R0

центром в точке z0 радиуса R0. Следовательно, первое неравенство задает кольцо между концентрическими окружностями с радиусами R1 = 1, R2 = 2 и центром в точке z0 = i (см. рис.1.17). Условие arg z = определяет луч, исходящий из точ-

Рис. 1.17

Рис. 1.18

ки z = 0 под углом = arg z к положительной части действительной оси. Уравнению arg(z i) = 34 соответствует луч, ис-

ходящий из точки z = i под углом 34 , а arg(z i) = 2 луч

под углом 2 к положительной части действительной оси. Искомое множество изображено на рис. 1.18.

40