§5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

5.1.Интеграл от функции комплексного переменного

Пусть в области D C задана непрерывная функция f(z). В этой области зададим кусочно-гладкую кривую с началом

вточке a и концом в точке b (определение гладкой кривой дано

вначале § 3 п. 3, кривая называется кусочно-гладкой, если ее

можно разбить на конечное число гладких кривых).

	Разобьем кривую про-
	извольным	образом	на	n
	участков точками z0		=	a;
	z1, : : :, zn 1, zn = b; занумеро-
	ванными в направлении дви-
	жения от начальной точки к
	конечной (рис. 5.1). Обозна-
	чим z1 z0	= 4z1; : : :, zk
	zk 1 = 4zk, zn zn 1 =
	= 4zn. Число 4zk изобра-
	жается вектором, идущим из
Рис. 5.1	точки zk 1	в zk. На каждом
	участке (zk 1; zk) кривой вы-
берем произвольную точку k и составим сумму
	n
	X
f( 1)4z1 + f( 2)4z2 + : : : + f( n)4zn =		f( k)4zk = n:
	k=1

Эта сумма называется интегральной суммой. Обозначим через длину наибольшего из участков, на которые разбита кривая . Рассмотрим последовательность разбиений, для которой ! 0 (при этом n ! 1).

Если существует конечный предел интегральных сумм n, вычисленный при условии, что длина наибольшего из участ-

175

ков разбиения стремится к нулю, не зависящий ни от способа разбиения кривой , ни от выбора точек k на частичных дугах, то этот предел называется интегралом от функции f(z)

R

по кривой и обозначается f(z)dz:

Z n

X

f(z)dz = lim f( k)4zk:

!0

k=1

Имеет место следующая

Теорема 5.1. Если кривая кусочно-гладкая, а функция f непрерывна на , то существует интеграл от функции f по кривой .

Рассмотрим гладкую кривую на комплексной плоскости, заданную параметрическими уравнениями

x = x(t); y = y(t); 6 t 6 :

(5.1)

Как уже отмечалось, эти уравнения можно записать в компактной форме

z(t) = x(t) + iy(t); 6 t 6 :

(5.2)

При изменении параметра t от до соответствующая точка z(t) будет двигаться по кривой . Поэтому уравнения (5.1) и (5.2) не только определяют точки кривой , но и задают направление обхода этой кривой. Кривая с заданным направлением ее обхода называется ориентированной кривой.

Пусть f(z) = u(x; y) + iv(x; y). Определим дифференциал dz равенством dz = dx + idy. Подынтегральное выражение преобразуется к виду

f(z)dz = (u + iv)(dx + idy) = (udx vdy) + i(vdx + udy):

176

Таким образом, интеграл от комплексной функции f(z) по кривой запишется в виде

Z	f(z)dz = Z	udx vdy + i Z	vdx + udy:	(5.3)

В правую часть (5.3) входят два действительных криволинейных интеграла второго рода от действительных функций u и v. Для вычисления этих интегралов следует вместо x и y подставить функции x(t) и y(t), а вместо dx и dy дифференциалы этих функций dx = x0(t)dt и dy = y0(t)dy. Тогда интегралы в правой части (5.3) сведутся к двум интегралам от функций действительного переменного t по отрезку ( ; ):

	u(z(t))x0(t) v(z(t))y0(t) dt+
	R
		v(z(t))x0(t) + u(z(t))y0(t) dt:
	+i
	R
Это выражение легко преобразуется к виду
Z	u(z(t)) + iv(z(t))		x0(t) + iy0(t)		dt = Z	f(z(t))z0(t)dt:

Таким образом, интеграл вдоль кривой от функции комплексного переменного можно вычислять по формуле

Z
	Z
f(z)dz =	f(z(t))z0(t)dt;	(5.4)

где z(t) = x(t) + iy(t) при 6 t 6 уравнение кривой , z0(t) = x0(t) + iy0(t).

177

Пример	5.1.	Вычислить	интеграл	от	функции
f(z) = (z a)n	по	окружности радиуса r		с	центром a,
направление обхода которой против часовой стрелки.
Решение. Уравнение окружности jz aj					= r будет
z a = reit, или
z(t) = a + r(cos t + i sin t)			при 0 6 t 6 2 :

При изменении t от 0 до 2 точка z(t) движется по против часовой стрелки. Тогда

f(z(t)) = (z(t) a)n = rn(cos t + i sin t)n;

z0(t) = r( sin t + i cos t) = ir(cos t + i sin t):

Согласно равенству (5.4), имеем

2

ZZ

f(z)dz = irn+1(cos t + i sin t)n+1dt =

0

2	2
= irn+1 Z0	cos((n + 1)t)dt + i2rn+1 Z0	sin((n + 1)t)dt:

При n 6= 1 оба последних интеграла равны нулю. При n = 1 имеем

Z		2	dt = 2 i:
	z adz = i Z
	1

0

Мы получили важный результат, который будет использоваться в дальнейшем

Z (z a)	dz = "	2 i	при n = 1;	где : jz aj = r: (5.5)
n		0	при n 6= 1;

178

Заметим, что значение интеграла не зависит от радиуса r

окружности.
Установим основные свойства интеграла			f(z)dz.
1 Линейность. Для любых комплексныхRпостоянных a и b
Z (af(z) + bg(z))dz = a Z		f(z)dz + b Z	g(z)dz:

Это свойство следует из равенства (5.4) и соответствующих свойств интеграла по отрезку.

2 Аддитивность. Если кривая разбита на участки 1 и2, то

Z Z Z

f(z)dz = a f(z)dz + f(z)dz:

1 2

Свойство 2 позволяет вычислять интегралы не только по гладким кривым, но также и по кусочно-гладким кривым, т.е. кривым, которые можно разбить на конечное число гладких участков.

3 . При изменении направления обхода кривой интеграл меняет знак.

4 . Модуль интеграла не превосходит значения криволинейного интеграла от модуля функции по длине кривой (криволинейного интеграла от jf(z)j первого рода):

Z Z Z

f(z)dz 6 jf(z)j jdzj = jf(z)jds =

= Z	jf(z(t))j
		(x0		(t))2	+ (y0(t))2dt:
		p

Отсюда следует, что если функция f интегрируема на и

кривой .	R
jf(z)j 6 M для всех z 2 , то j	f(z)dzj 6 Ml, где l длина

179