§4. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

4.1.Линейная функция

Функция	(4.1)
w = az + b;

где a и b заданные комплексные числа при a 6= 0, называется линейной функцией. Так как w0 = a 6= 0, то отображение (4.1) является конформным во всей плоскости C. Докажем, что оно также однолистно в C. Если w1 = az1 + b, w2 = az2 + b, то w1 w2 = a(z1 z2). Поэтому при z1 6= z2 будет w1 6= w2, и однолистность установлена. Положив по определению w(1) = 1, получим однолистное отображение всей расширенной комплексной плоскости C на C.

Для изучения геометрических свойств отображения (4.1) рассмотрим вначале случай b = 0, т.е. w = az.

Пусть a = jaj ei , z = jzj ei'. Тогда w = jaj jzj ei( +'). Поэтому для получения вектора w = az нужно выполнить следующие два действия: 1) умножить заданный вектор z на jaj. При этом направление вектора z останется прежним, но длина увеличится в jaj раз. Значит, умножение на jaj есть преобразование подобия (гомотетия) с центром в начале координат и коэффициентом подобия jaj; 2) повернуть полученный вектор jajz на угол .

Для рассмотрения общего случая (4.1) заметим, что при сложении вектора az с вектором b происходит параллельный перенос концевой точки вектора az на вектор b.

Итак, отображение (4.1) получается путем композиции (т.е. последовательного выполнения) следующих трех операций:

преобразования подобия с центром в начале координат и коэффициентом подобия jaj;

поворота вокруг начала координат на угол ;

параллельного переноса на вектор b.

106

Заметим, что на каждом из трех этапов линейного отображений (преобразование подобия, поворот, параллельный перенос) прямые переходят в прямые, а окружности в окружности. Следовательно, этими свойствами обладает и линейное отображение (4.1).

Пример 4.1.	Найти образ	множества	M : z = x + yi,
3x + 1 6 y 6 3x + 5	при	линейном	отображении
w = (1 + 2i)z 3i.

Решение. Множество M представляет собой полосу (рис. 4.1). Так как при линейном отображении прямые переходят в прямые, то для того чтобы найти образ множества M при отображении w необходимо найти образы прямых y = 3x + 1 и y = 3x + 5 при этом отображении. Прямую определяют две

Рис. 4.1

Рис. 4.2

точки, поэтому на каждой из прямых возьмем по две точки и найдем их образы при отображении w.

107

Точки z1 = i и z2 = 13 принадлежат прямой y = 3x + 1. Имеем,

w1 = w(z1) = (1 + 2i)i 3i = 2 2i;

1

1

11i

w2 = w(z2) = (1 + 2i)

3i =

:

3

3

3

Уравнение прямой, проходящей через точки w1 и w2, имеет

u + 2

v + 2

вид

=

, т.е. v =

u 4.

31 + 2

113

+ 2

Аналогично, z3

= 5i и z4

5

принадлежат прямой

=

3

y = 3x + 5 и w3 = w(z3) = 10 10i, w4 = w(z4) =

5

55

i.

3

3

Уравнение прямой, проходящей через точки w3 и w4, имеет вид v = u 20.

Следовательно, образом множества M при отображении w является множество M1 : w = u + iv, u 20 6 v 6 u 4 (рис. 4.2).

4.2. Дробно-линейная функция

Дробно-линейная функция определяется равенством

w =

az + b

;

(4.2)

cz + d

где a; b; c; d комплексные числа, ad bc 6= 0. Так как

lim

az + b

a

lim

az + b

=

1

;

cz + d

= c ;

z

z

!1

!

d=c cz + d

то естественно определить w(1) = a=c, w( d=c) = 1. Определенная таким образом функция будет непрерывной во всей расширенной комплексной плоскости C.

Выясним геометрические свойства дробно-линейной функции. Если c = 0, то w = adz + db , и дробно-линейная функция

108

сводится к уже изученной линейной функции. Поэтому в дальнейшем предполагается, что c 6= 0.

Рассмотрим частный случай дробно-линейного отображения w = z1. Его можно представить в виде композиции двух

функций w1 = z1 и w = w1. Исследуем геометрические свойства первой.

1				1
jw1j =				=		; arg w1	= arg	z	= arg z;
	j		j		jzj
		z

откуда

jw1j jzj = 1; arg w1 = arg z:

Такое преобразование называется инверсией.

Второе преобразование w = w1 является зеркальным отображением относительно действительной оси.

Выделив целую часть, представим дробь (4.2) в виде

w =

az + b

=

a(cz + d) + (bc ad)

=

a

+

bc ad

1

:

(4.3)

c2

cz + d

c(cz + d)

c

z + dc

Если bc ad = 0, то w = a=c, и функция (4.2) сводится к постоянной. В дальнейшем считаем выполненными условия:

c 6= 0; bc ad 6= 0:

(4.4)

Пусть bc ad = rei'. Тогда отображение (4.2) можно пред- c2

ставить в виде композиции следующих элементарных отображений

d

1

w1 = z +

; w2

=

; w3

=

w2

; w4

= rw3;

c

w1

w5 = ei'w4; w6 = w = w5 +

a

:

c

Таким образом, справедлива следующая

109

Теорема 4.1. В общем случае дробно-линейное отображение состоит из конечного числа элементарных отображений: поворота, параллельного переноса, подобия, инверсии и зеркального отображения.

Докажем, что дробно-линейная функция (4.2) осуществляет взаимнооднозначное отображение C на C. С этой целью решим уравнение (4.2) относительно z (это возможно при z 6= d=c, z 6= 1, w 6= a=c, w 6= 1):

z =

dw + b

=

d

+

bc ad

:

cw

a

c

c(cw

a)

Поэтому каждое значение w 6= a=c и w 6= 1 имеет только один прообраз z 6= d=c и z 6= 1. Но в силу определения значению w = a=c соответствует z = 1, а значению w = 1 величина z = d=c. Итак, каждая точка w 2 C имеет только один прообраз z 2 C, что и требовалось доказать.

Установим конформность отображения (4.2). Так как

w0 = ad bc ;

(cz + d)2

то при z 6= d=c и z 6= 1 производная w0 существует и не равна нулю. По теореме 3.4 дробно-линейное отображение является конформным всюду, кроме этих двух точек. Можно показать, что при z = d=c и z = 1 отображение (4.2) также конформно. Следовательно, имеет место следующая

Теорема 4.2. Дробно -линейная функция

az + b				a			; w( d=c) = 1; (4.5)
w =			; ad bc 6= 0;	w(1) =
	cz + d				c

осуществляет взаимно-однозначное и конформное отображение расширенной комплексной плоскости C на всю C.

110

Мы не исключаем случай c = 0 в теореме 4.2, так как в этом случае дробно-линейная функция становится линейной, также обладающей всеми свойствами, указанными в теореме 4.2.

Приведем теперь круговое свойство дробно-линейного отображения. Будем считать, что прямая является окружностью бесконечно большого радиуса.

Теорема 4.3. При дробно-линейном отображении (4.5) окружности всегда переходят в окружности.

Заметим, что окружность конечного радиуса может переходить в окружность бесконечного радиуса, т.е. в прямую, и

наоборот. В общем случае отображение w = azcz ++ db переводит окружность или прямую в прямую в том и только том случае,

если точка dc , лежит на этой окружности или прямой. Иначе окружность или прямая перейдут в окружность.

Дробно-линейное отображение (4.2) содержит четыре параметра a; b; c; d, но только три из них линейно независимы. В самом деле, функцию (4.2) можно представить в виде

	w =	ac z + cb	=	a0z + b0	:
		z + d		z + d0
		c

Таким образом, только три параметра существенны. Поэтому для определения дробно-линейного отображения нужно задать три условия.

Пусть в комплексной плоскости z заданы три различные точки z1; z2; z3 и требуется, чтобы эти точки перешли в три различные точки w1; w2; w3 плоскости w, то есть имеем условия

	wk =	azk + b		; k = 1; 2; 3:	(4.6)
		czk + d

Дробно-линейное отображение, определяемое условиями (4.6) может быть записано в неявной форме

	w w1	:	w3 w1	=	z z1	:	z3	z1	:	(4.7)
	w w2		w3 w2		z z2		z3 z2

111

	Выражение	z z1	:	z3	z1	= (z1; z2; z; z3) называют ангармо-
		z z2		z3	z2

ническим соотношением трех точек. Ангармоническое соотношение трех точек при дробно-линейном отображении является инвариантом.

Три различные точки единственным образом определяют окружность. Справедливо следующее утверждение. Если направления обхода точек z1; z2; z3 и точек w1; w2; w3 совпадают, то внутренность окружности z переходит во внутренность окружности w, то есть Dz+ ! Dw+ и Dz ! Dw . Если же направления обхода точек различны, то Dz+ ! Dw и Dz ! Dw+. Этот же вывод распространяется и на случай областей, ограниченных несколькими окружностями или прямыми.

			Чтобы	сформулировать
			еще одно свойство дробно-
			линейных	отображений,
			нам понадобится следующее
			определение.
			Точки A и A0 называют-
			ся симметричными относи-
			тельно окружности радиуса
Рис. 4.3			R < 1, если они лежат на од-
			ном луче, выходящем из цен-
			тра O окружности, и
OA		OA0	= R2:	(4.8)

Если точка A (рис. 4.3) приближается к окружности, т.е. если OA ! R, то OA0 тоже стремится к R; всякая точка на окружности симметрична самой себе; если OA ! O, то OA0 ! 1. Поэтому для точки O симметричной будет бесконечно удаленная точка. Под симметрией относительно окружности радиуса R = 1 понимается обычная симметрия относительно прямой.

112

Теперь мы готовы сформулировать следующее свойство дробно-линейных отображений (сохранение симметрии):

Теорема 4.4. При дробно-линейном отображении (4.5) точки, симметричные относительно окружности (в частности, прямой), переходят в точки, симметричные относительно образа этой окружности (прямой).

Установленные свойства дробно-линейных отображений позволяют находить отображения областей, ограниченных окружностями (в частности, прямыми).

Пример 4.2. Найти дробно-линейную функцию, отображающую верхнюю полуплоскость на внутренность единичного круга.

Решение. Пусть z0 точка верхней полуплоскости, переходящая в центр единичного круга, т.е. w(z0) = 0 (рис. 4.4, 4.5). По теореме 4.4 точка z0, симметричная точке z0 относительно действительной оси, должна переходить в точку w = 1, симметричную точке w = 0 относительно окружности jwj = 1.

Рис. 4.4	Рис. 4.5

113

Дробно-линейная функция, удовлетворяющая условиям w(z0) = 0, w(z0) = 1, имеет вид

w = A z z0 ; z z0

где A комплексная постоянная. Но эта постоянная не вполне произвольна. Так как образом действительной оси комплексной плоскости z является единичная окружность jwj = 1, то учитывая, что при z = x

jx z0j = jx z0j;

получим

w(x)

= A

x z0

=

A

jx z0j

=

A

= 1:

j

j

x z0

j

j jx z0j

j

j

Следовательно, A = ei, и искомая функция имеет вид

	w = ei	z z0		при Im z0 > 0:	(4.9)
		z z0

Мы видим, что существует бесконечное множество дробнолинейных функций, осуществляющих нужное отображение. Каждая из этих функций определяется значениями действительного числа и комплексного числа z0.

Пример 4.3. Найти дробнолинейную функцию, отображаю- Рис. 4.6 щую единичный круг jzj < 1 на

единичный круг jwj < 1.

114

Решение. Пусть z0 точка круга jzj < 1, переходящая в точку w = 0 (рис. 4.6). Тогда точка z00 , симметричная точке z0 относительно окружности jzj = 1, должна перейти в точку w = 1, симметричную точке w = 0 относительно окружности jwj = 1. Выразим z00 через z0. Так как z0 и z00 лежат на одном луче, исходящем из точки z = 0, то z00 = kz0, где k положительное число. В силу (4.8), jz0jjz00 j = 1 т.е. k jz0j2 = 1 откуда k = 1=jz0j2, и

z0	= kz0 =	z0	=	z0		=	1	:
0		jz0j2	z0z0 z0

Дробно-линейная функция, удовлетворяющая условиям w(z0) = 0, w(1=z0) = 1, имеет вид

w = A		z z0	= A				z z0			;
				z
	z 1=z0				0		1	z0	z

где A комплексная постоянная. Константа A не произвольна. Так как точки окружности jzj = 1 отображаются в точки окружности jwj = 1, то в частности при z = 1 получим jwj = 1. Поэтому

w(1)

=

A

z

1 z0

=

A

z

j1 z0j

:

j

j

0

1 z0

1

j

0j j1 z0j

Так как

1

z0

=

1

z0

, то

j

j

j

j

jw(1)j = jA z0j = 1;

Следовательно, Az0 = ei, и искомое отображение имеет вид

w = ei	z z0			:	(4.10)
1			z
		z0

Здесь также отображение определено, но неоднозначно с точностью до поворота на угол .

115