§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

3.1.Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана. Аналитические функции

Определения производной и дифференциала функции комплексного переменного дословно совпадают с соответствующими определениями для функций одного действительного переменного.

Пусть однозначная функция w = f(z) = u+iv определена в некоторой окрестности U точки z0. Дадим независимому переменному z = x + iy приращение 4z = 4x + i4y, не выводящее за пределы окрестности U. Тогда функция w = f(z) получит соответствующее приращение 4w = f(z0 + 4z) f(z0).

Производной функции w = f(z) в точке z0 называется предел отношения приращения функции 4w к приращению аргумента 4z при стремлении 4z к нулю (произвольным образом).

Производная обозначается f0(z), w0, dwdz или dzdf . Определение производной можно записать в виде:

	f0(z0) = lim	4w	:	(3.1)
		4z
	4z!0

Предел в (3.1) может и не существовать; тогда говорят, что функция w = f(z) не имеет производной в точке z0.

Функция w = f(z) называется дифференцируемой в точке z0, если она определена в некоторой окрестности U точки z0 и ее приращение 4w можно представить в виде

4w = A4z + (4z) 4z;

(3.2)

где комплексное число A не зависит от 4z, а (4z) бесконечно

малая при 4z ! 0, т.е. lim (4z) = 0.

4z!0

75

Так же, как и для функций действительного переменного, доказывается, что функция f(z) дифференцируема в точке z0 тогда и только тогда, когда она имеет производную в z0, причем A = f0(z0). Выражение f0(z0)4z называется дифференциалом функции f(z) в точке z0 и обозначается dw или df(z0). При этом приращение 4z независимого переменного z называется также дифференциалом переменного z и обозначается dz. Таким образом,

dw = df(z0) = f0(z0)dz:

Дифференциал есть линейная часть приращения функции. Функция w = z = x + iy, очевидно, имеет производную в

любой точке z0, и f0(z0) = 1.

Действительная и мнимая части дифференцируемой функции комплексного переменного f(z) не могут быть произвольными, они должны быть связаны некоторыми дополнительными соотношениями. Напомним определение дифференцируемости функции двух переменных.

Действительная функция u = u(x; y) действительных переменных называется дифференцируемой в точке P0(x0; y0), если она определена в некоторой окрестности точки P0 и ее полное приращение 4u = u(x0 +4x; y0 +4y) u(x0; y0) представимо в виде

4u = B4x + C4y + (4x; 4y) 4x + (4x; 4y) 4y; (3.3)

где B и C действительные числа, не зависящие от 4x, 4y, аи действительные функции переменных 4x и 4y, стремящиеся к нулю при 4x ! 0, 4y ! 0.

Если функция u дифференцируема в точке P0, то она имеет

частные производные в P0, причем B = @u(P0), C = @u(P0).

@x @y

Но (в отличие от функций одной переменной) из существования частных производных функции u(x; y) еще не следует ее дифференцируемость.

76

Теорема 3.1. Пусть функция комплексного переменного w = f(z) = u(x; y) + iv(x; y) определена в окрестности точки z0 = x0 + iy0. Для того чтобы f(z) была дифференцируемой в точке z0, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x; y) и v(x; y) были дифференцируемыми в точке (x0; y0) и чтобы в этой точке выполнялись условия:

@u		=	@v	;	@u		=	@v	:	(3.4)
@x			@y		@y			@x

Производную w0 при этом можно найти по одной из следующих формул

w0 = u0	+ iv0	= u0	iu0	= v0	iu0	= v0	+ iv0	:	(3.5)
x	x	x	y	y	y	y	x

Равенства (3.4) называются условиями Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).

Так как основные теоремы о пределах сохраняются для функции комплексного переменного, а определение производной функции комплексного переменного также не отличается от соответствующего определения для функций действительного переменного, то известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции остаются справедливыми и для функций комплексного переменного. Аналогично доказывается также, что если функция f(z) дифференцируема в точке z0, то она непрерывна в этой точке; обратное утверждение неверно.

Функция w = f(z), дифференцируемая не только в самой точке z0, но и в некоторой окрестности этой точки, называется аналитической в точке z0. Если f(z) является аналитической в каждой точке области D, то она называется аналитической (регулярной, голоморфной) в области D.

Из свойств производных сразу следует, что если f(z) и g(z)функции, аналитические в области D, то функции f(z)+g(z), f(z) g(z), f(z) g(z) также аналитичны в области D, а частное

77

f(z)=g(z) аналитическая функция во всех точках области D, в которых g(z) 6= 0. Из теоремы о производной сложной функции вытекает следующее утверждение: если функция u = u(z) аналитична в области D и отображает D в область D0 переменного u, а функция w = f(u) аналитична в области D0, то сложная функция w = f(u(z)) переменного z аналитична в D.

Используя определение предела функции f(z) в граничной точке z1, можно ввести понятие производной и аналитичности также и в точках границы области D. При этом следует рассматривать лишь те точки окрестности с центром z1, которые принадлежат D. Функция, аналитическая в каждой точке замкнутой области D, называется аналитической в D.

Пример 3.1. Проверить выполнение условий КошиРимана (3.4) для функции w = z2 и доказать, что (z2)0 = 2z:

Решение. Выделим действительную и мнимую части исследуемой функции.

w = (x + iy)2 = x2 + 2ixy y2 = (x2 y2) + i(2xy):

Значит, u = x2 y2, v = 2xy. Функции u; v дифференцируемые. Вычислим их частные производные по переменным x; y.

@u@x = 2x; @u@y = 2y; @x@v = 2y; @y@v = 2x:

Отсюда видно, что условия (3.4) выполнены во всей комплексной плоскости. Следовательно, функция w = z2 дифференцируема 8z 2 C. Производную функции w можно найти по формуле (3.5)

		w0 = ux0 + ivx0 = 2x + i2y = 2z;
	или по определению (3.1):
	w0 = lim	(z + 4z)2 z2	=	lim	2z4z + 4z2	= 2z:
		4z			4z
	4z!0			4z!0

78