Возьмем на сфере S некоторую окрестность точки P , т.е. сферическую шапочку с центром P . Точкам Z 6= P этой окрестности будут соответствовать точки z 2 C, лежащие вне некоторого круга с центром в начале координат. Это показывает естественность следующего определения. Окрестностью бесконечно удаленной точки называется множество, состоящее из точек z 2 C, для которых jzj > R, и самой точки z = 1, т.е. внешность круга радиуса R с центром в начале координат с добавлением самой точки z = 1.

2.3.Последовательности комплексных чисел и пределы последовательностей

Пусть каждому натуральному числу n = 1; 2; : : : поставлено в соответствие комплексное число zn. Тогда говорят, что задана последовательность fzng комплексных чисел. Так как zn = xn + iyn, то задание последовательности комплексных чисел равносильно заданию двух последовательностей fxng и fyng действительных чисел.

Комплексное число A называется пределом последовательности fzng, если для любого положительного числа " найдется такой номер N (зависящий от "), что при всех n > N будет выполнено неравенство jzn Aj < ".

Выполнение этого условия означает, что для сколь угодно малой "-окрестности точки A все точки zn с номерами n > N попадут в эту окрестность, а вне ее останется лишь конечное число точек zn. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Наличие предела A у последовательно-

сти fzng записывается в виде lim zn = A. Данное определение

n!1

аналогично определению предела последовательности действительных чисел.

	Пример 2.1. Доказать, что lim	3 4i	= 0.
		3in + 5i 1
	n!1

45

Решение. Воспользуемся определением предела последовательности zn:

lim zn = a , 8" > 0 9N" 2 N : 8n > N" ) jzn aj < ":

n!1

Оценим выражение jzn aj.

3 4i

0 =

j3 4ij

=

5

<";

3in + 5i 1

j3in + 5i 1j

j3in + 5i 1j

откуда

5

, (3n + 5)2 + 1 >

25

j3in + 5i

1j>

,

"

"2

25 "2

n >

p

5"

,

(3n + 5)2 >

,

25 "2

:

"2

3"

Следовательно,

8" > 0 9N"

=

"

# + 1 : 8n > N" )

25 3"

5"

p

"2

3 4i

0

< ";

)

3in + 5i 1

3

4i

значит, действительно

lim

= 0:

3in + 5i

1

n!1

Теорема 2.1. Для того чтобы последовательность комплексных чисел zn = xn + iyn имела предел A = a + ib, необходимо и достаточно, чтобы последовательности fxng и fyng

имели пределы, причем lim xn = a, lim yn = b.

n!1 n!1

Используя теорему 2.1, нетрудно показать, что сходящиеся последовательности комплексных чисел имеют те же свойства,

46

что и сходящиеся последовательности действительных чисел:

lim (zn + wn) =						lim zn + lim wn;
n!1						n!1	n!1
nlim (zn wn) = nlim zn nlim wn;								(2.2)
!1				lim zn		!1	!1
	zn
nlim			=	n!1		; если	nlim wn 6= 0:
	w			lim w
!1		n		n!1	n		!1

Введенное выше понятие предела относилось к случаю, когда предел A 6= 1. Рассмотрим теперь случай A = 1, т.е. последовательности, стремящиеся к бесконечности.

Предел последовательности fzng равен бесконечности (за-

писывается lim zn = 1), если для любого сколь угодно боль-

n!1

шого числа R > 0 найдется такой номер N (зависящий от R), что при всех n > N выполняется неравенство jznj > R.

Понятия бесконечно удаленной точки и ее окрестности, введенные в конце п. 2.1, позволяют переформулировать это опре-

деление следующим образом: lim zn = 1, если для любой

n!1

окрестности точки A = 1 все точки zn с номерами n > N попадут в эту окрестность. В таком виде определения конечного и бесконечного пределов аналогичны друг другу.

2.4. Понятие функции комплексного переменного

Пусть D некоторое множество комплексных чисел. Будем говорить, что на множестве D задана функция f, если задано правило (закон), согласно которому каждому комплексному числу z из множества D ставится в соответствие некоторое комплексное число w 2 C, одно или несколько. Такое соответствие обозначается w = f(z), или f : z ! w, или f : D ! C.

Если для каждого z 2 D ставится в соответствие единственное w 2 C, то такая функция называется однозначной. В противном случае функция будет многозначной.

47

Множество D называется множеством (областью) определения функции f. Множество E = fw 2 Cjw = f(z); z 2 Dg называется множеством значений функции. Тогда можно записать f : D ! E. Таким образом, функция w = f(z) отображает множество D на множество E, т.е. каждой точке z 2 D ставит в соответствие точку w 2 E. Точка w называется образом точки z, а точка z прообразом точки w при отображении w = f(z). Точка w может иметь несколько (и даже бесконечно много) прообразов. Например, при отображении w = zn каждая точка w 6= 0 имеет ровно n прообразов корней n-й степени из w.

Функцию, ставящую в соответствие каждому w 2 E множество всех точек z, для которых f(z) = w, называют обратной функцией и обозначают f 1, z = f 1(w), f 1 : E ! D.

Если и сама функция f, и ее обратная, являются однозначными функциями, то отображение f называется взаимноодназначным.

Если в разных точках z1 6= z2 области D эта функция принимает разные значения f(z1) 6= f(z2), то функция w = f(z) называется однолистной в области D.

Однолистность означает, что отображение области D на область E, осуществляемое функцией w = f(z), является взаимно-однозначным; каждая точка w 2 E имеет только один прообраз в D. Например, функция w = z2 не является однолистной во всей комплексной плоскости C, так как ( 1)2 = 12. Но она является однолистной в полуплоскости

D = f z : Re z > 0g.

Пусть имеем две функции f : D ! E и g : E ! G. Функция F : D ! G такая, что F (z) = g(f(z)) называется композицией

(суперпозицией) функций f и g.

Если обозначить z = x + iy, w = u + iv, то задание функции комплексного переменного w = f(z) равносильно заданию на том же множестве двух функций действительных переменных x, y, принимающих действительные значения: u = u(x; y),

48

v = v(x; y). Тогда w = u(x; y) + iv(x; y). В этом случае говорят, что функция записана в алгебраической форме, и определены действительная и мнимая части.

Например, функция w = z2 ставит в соответствие каждому комплексному числу z = x + iy комплексное число w = x2 = (x + iy)2 = x2 y2 + 2ixy. Эта функция определена во всей плоскости комплексного переменного z, а если положить f(1) = 1, то она будет определена и во всей расширенной плоскости. u(x; y) = x2 y2, v(x; y) = 2xy будут соответственно действительной и мнимой частью этой функции т.е. u(x; y) = Re w, v(x; y) = Im w.

Наряду с плоскостью переменного z = x + iy рассматривают также плоскость комплексного переменного w = u + iv. Функция w = f(z) каждой точке z = x + iy множества D с координатами x, y ставит в соответствие вполне определенную точку w = u + iv с координатами u, v; когда точка z пробегает множество D на плоскости z, соответствующая точка w пробегает на плоскости w другое множество E. Поведение функции комплексного переменного нельзя проиллюстрировать с помощью графика в декартовой системе координат, плоской или трехмерной. Чтобы представить себе геометрические свойства функции w = f(z), нужно исследовать, в какие множества отображаются те или иные области и кривые.

Определим некоторые элементарные функции комплексно-

го переменного формулами

ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y);

cos z =

eiz + e iz

; sin z =

eiz e iz

;

2

2i

tg z =

sin z

; ctg z =

cos z

;

cos z

sin z

ch z =

ez + e z

; sh z =

ez e z

;

2

2

49

th z = chsh zz ; cth z = chsh zz :

Свойства этих, а также других элементарных функций комплексного переменного будут рассмотрены в § 4.

						p
Пример 2.2. Найти образы точек z1 = 1 + 3i, z2 = 1+
p			2	i
	3i при отображении w = z Im z
+				p		:
					z

Решение. Найдем вначале образы точек z1, z2 при отображении g = piz : Для этого запишем точки z1, z2 в тригонометрической форме:

																											cos																;
			z1 = 1 + p3i = 2																											+ i sin
																													3										3
	z2 = 1 + p3i = 2																									cos			23			+ i sin											3		:
Тогда																																										2
																										cos			+ i sin
													i
	g(z1) =																		=								2								2										=
										p				z	1								r2				cos				+ i sin
																													3										3
			p
=			2			cos														k + i sin															k ;
			2														3																3
где k = 0; 1.
								p						cos																=					p											p
																																					2											6
g0(z1) =								2																+ i sin																	+									i;
								2														3							3						4										4
p																																														p						p
		2																														2																		2				6
g1(z1) =				cos												2					+ i sin																					=														i:
	2															3																3															4						4

50

Следовательно, функция w в точке z1 принимает значения:

p

p

p

p

2

2

6

w0(z1) = (1 + 3i) Im(1 +

3i)

+

4

+

4

i =

= 2p

p

p

p

p

(1 + p

+ 6i +

2

6

i =

8 3 + 2

i);

3

+

3

4

4

4

p

p

p

p

) = 2p

+ 6i

2

6

i =

8 3 2

(1 + p

i):

w

(z

3

3

4

1

1

4

4

i

Вычислим значения g = p

в точке z2.

z

cos

+ i sin

i

g(z2) =

=

2

2

=

p

z2

s2

cos 23

+ i sin

3

2

p

=

2

cos

k + i sin

k ;

2

6

6

где k = 0; 1. Функция w в точке z2 принимает соответственно

значения:			p		p				p
w	(z	) =	8	3 + 6				i	24 2		;
0	2		p		4 p				4 p
w	(z	) =	8	3 6				i	24 + 2		:
									4
1	2			4

Вычисления этих значений функции читателю предлагается выполнить самостоятельно.

Пример 2.3. Найти образы прямых x = c, y = c при отображении w = z2 2iz:

Решение.	Прямая x = c задается уравнениями:
x = c; y 2 R,	или z = c + iy, значит, на прямой функция

w примет значения:

w = (c + iy)2 2i(c + iy) = c2 + 2cyi y2 2ci + 2y;

51

отсюда u = c2 y2 + 2y, v = 2cy 2c: Исключив переменную y из последних двух равенств, получим:

	+ 2c		2	2(v + 2c)
u = c2	v		+				;
	2c			2c
откуда
4c2u = 4c4 v2 4cv 4c2 + 4cv + 8c2
или
4c2u = 4c2(c2 + 1) v2:
Следовательно, образом прямой			x	= c	при отображении
w = z2 2iz является парабола u = c2 + 1						v2
								:
						4c2
Прямая y = c задается уравнением z = x + ic, тогда
w = (x + ic)2 2i(x + ic) = x2 + 2icx c2 2ix + 2c;

откуда u = x2 c2+2c; v = 2cx 2x: Исключив переменную x из последних двух равенств, получим, что образом прямой y = c

при отображении w = z2 2iz будет парабола u =								v2		+
							(2c		2)2
+2c c2.
Пример 2.4. Определить область однолистности функции
w = (3 + 2i)z4.
Решение. Пусть z1 = r1ei'1 , z2 = r2ei'2 . Найдем условия,
при которых w(z1) = w(z2), хотя z1 6= z2: Имеем:
			(3 + 2i)r14ei4'1 = (3 + 2i)r24ei4'2 :
Отсюда	заключаем			r1	= r2 =	r, 4'1 = 4'2 + 2 k;		k 2 Z:
Так как	z1		6= z2,	то	решением	последней системы будет
'1 = '2 +		k	; k 2 Z: Таким образом, область однолистности
		2

52