Tom_2
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
coskπ x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ряд Фурье имеет вид x2 |
= |
|
|
|
+ 4å(-1)k |
|
|
|
|
. □ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
y = −x |
|
|||||||||
|
|
|
Пример 2. Представить в виде ряда Фурье функцию |
на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[-π ; π ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Решение. Функция y = −x – нечетная, значит, a0 = ak |
= 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = u, |
dx = du |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
bk = |
|
ò(-x)sin kxdx = - |
|
ò xsin kxdx = |
sin kxdx = dv, v = - |
cos kx |
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
π |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
2 |
é |
|
x cos kx |
|
π |
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(-1)k . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= - |
|
|
ê- |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
òcos kxdxú |
= |
|
|
|
|
cos kπ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
π |
k |
|
|
|
k |
|
π k |
k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ê |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Ряд Фурье имеет вид -x = 2å |
|
|
sin kx . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
§ 4. Ряд Фурье для функций с периодом 2l |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
периодом T ¹ 2π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Пусть |
f (x) – периодическая функция с периодом 2l. Сделаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
замену |
|
x = |
lt |
, тогда |
|
функцию |
|
|
f |
æ lt |
ö |
с |
|
периодом 2π |
можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
π |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
представить в виде ряда |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ lt |
ö |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
ç |
|
|
|
÷ = |
|
0 |
|
+ |
å(ak coskt +bk sin kt), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è π |
ø |
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
æ lt |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
= |
|
|
|
ò |
f |
ç |
|
|
÷coskt dt , |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
æ lt |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
= |
|
|
|
ò |
f |
ç |
|
|
÷ |
sin kt dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
Подставим в формулы (1) и |
|
(2) |
|
вместо |
переменной |
ее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значение t = |
π x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
|
|
kπ x |
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
kπ x |
|
|
|
||||||||
|
a |
k |
= |
l |
ò |
f (x)cos |
|
l |
|
dx; |
b = |
l ò |
f (x)sin |
|
|
l |
|
|
|
dx . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Таким образом, ряд Фурье для функции с периодом 2l имеет вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
∞ æ |
|
|
|
|
kπ x |
|
|
|
|
|
|
|
kπ x ö |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
0 |
|
|
+ åç ak cos |
|
|
|
+ bk |
sin |
|
|
|
÷ . |
|
|
(3) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
l |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
k=1è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
||||||
|
Для ряда Фурье (3) справедливы выражения для коэффициентов |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
четных и нечетных функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Пример 1. Разложить функцию y = x в ряд Фурье на отрезке [– |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
Решение. |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
Данная функция нечетная, поэтому a0 = ak = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Н |
|
а |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
и |
м |
||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = u, |
|
|
dx = du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
bk = |
|
òxsin kπ xdx = |
sin kπ xdx = dv, v = - |
coskπ x |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
xcoskπ x |
|
1 |
|
1 coskπ x |
ù |
|
|
|
|
|
coskπ |
|
|
|
|
|
(-1)k−1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= 2ê- |
|
|
|
|
|
|
+ ò |
|
|
|
|
|
dxú |
= -2 |
|
|
|
|
= |
2 |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
kπ |
|
|
kπ |
|
|
kπ |
|
|
kπ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∞ |
(-1) |
k−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Получаем ряд Фурье x = |
å |
|
|
|
|
sin kπ x. □ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
y = f (x) − непериодическая функция, заданная на всей |
числовой оси (-¥; + ¥). Такая функция не может быть разложена в
ряд Фурье, так как сумма ряда Фурье − функция периодическая и, значит, не может быть равна f (x) для всех x . Однако
непериодическая функция f (x) может быть представлена рядом Фурье на любом конечном отрезке [a; b] , где для нее выполняются условия Дирихле. Для этого поместим начало координат в середину
отрезка |
[a; b] и построим функцию f1(x) периода T = 2l = |
|
b - a |
|
|
|
|
||||
такую, |
что f1(x) = f (x) , xÎ[-l; l] . Разлагаем функцию f1(x) в ряд |
Фурье. Сумма полученного ряда во всех точках отрезка [a; b] , кроме точек разрыва и концов этого отрезка, совпадает с заданной функцией f (x) . Вне промежутка [a; b] сумма ряда и f (x) , вообще говоря, различные функции.
§ 5. Ряд Фурье в комплексной форме
55
|
Пусть функция |
f (x) |
разложена в ряд Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ å(an cos nx +bn sin nx) , |
|
|
|
(1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
k |
= |
1 |
f (x)cosnxdx, |
|
|
|
|
b |
|
|
= |
1 |
|
|
f (x)sin nxdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
π |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Преобразуем (1), используя формулы Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos nx = |
einx |
+ e−inx |
|
|
|
sin nx = |
|
einx - e−inx |
|
: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−inx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−inx ö |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
∞ |
æ |
|
|
|
|
|
e |
inx |
+ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
inx |
- e |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
+ |
åç an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n=1 |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
∞ |
æ |
|
|
|
e |
inx |
+ e |
−inx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
inx |
- e |
−inx ö |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ åç an |
|
|
|
|
|
|
|
- ibn |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
∞ æ a |
n |
- ib |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
+ ib |
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
0 |
|
+ åç |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
einx |
+ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
e−inx ÷ . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n=1è |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Обозначим |
|
|
|
a0 |
= c ; |
|
|
|
an - ibn |
|
= c ; |
|
|
|
|
|
an + ibn |
|
= c |
|
|
|
, тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = c0 + å∞ (cneinx + c−ne−inx ), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
c |
= |
|
|
|
|
|
ò |
f (x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
æ |
e |
inx |
+ e |
−inx |
|
|
|
|
e |
inx |
- e |
−inx |
ö |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
π |
f (x)e−inxdx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c |
= |
|
|
|
ò |
f (x) |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷dx |
= |
|
|
|
|
|
ò |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
æ |
e |
inx |
+ e |
−inx |
|
|
|
e |
inx |
|
- e |
−inx ö |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
f (x)einxdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
c |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
f (x)ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷dx = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2π |
|
|
|
ò |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
ò |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
||||||||||
|
Объединяем полученные формулы в одну, при n = 0; ±1; ±2;K |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем c |
|
= |
1 |
|
π |
f (x)e−inxdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2π ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
Отметим, |
что |
для |
комплексно-значной |
функции |
||||
f (x) = u(x) + iv(x) , |
где |
u(x) и |
v(x) принимают |
вещественные |
||||
значения, |
|
|
|
|
|
|
производная |
|
и интеграл определяются так: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
b |
b |
b |
|
|
¢ |
¢ |
|
¢ |
|
|
|
||
f (x) = u (x) + iv (x), ò f (x)dx =òu(x)dx + iòv(x)dx. |
||||||||
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
Ряд (1) принимает вид |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = å cneinx . |
|
(2) |
||
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
||
Комплексная форма ряда Фурье для функции с периодом 2l |
||||||||
имеет вид |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f (x) = å cneiωnx , |
|
(3) |
||
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
c = |
1 |
|
l |
f (x)e−iωn xdx, n = 0, ±1, ± 2,K , |
(4) |
|||
2l |
ò |
|||||||
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−l
ωn = πln называется волновой частотой.
Пример 1. Разложить в ряд Фурье 2-периодическую функцию
ì0, x Î[-1;0), f (x) = ï
íïî1, x Î[0;1), T = 2.
График функции f (x) изображен на рис.1.
f (x) 1
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
x |
Рис. 1
Решение. По формулам (4) находим (l =1) :
57
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c = |
2 |
|
ò |
dx = |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
e-inπ xdx = - |
e-inπ x |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
(e-inπ -1) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
cn = |
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
= - |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
2nπ i |
|
|
|
2nπi |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
(-1)n -1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
|
|
|
|
i |
|
(cos nπ - i sin nπ -1) = |
i, n = ±1, ± 2,K. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2nπ |
|
2nπ |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) имеем |
||||||||||
|
|
|
Значит, для всех точек непрерывности функции |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
¥ |
|
(-1)n -1 inπ x |
|
1 |
æ eiπ x |
|
e-iπ x |
|
e3iπ x |
|
e-3iπ x |
ö |
|||||||||||
f (x) = |
|
|
+ i |
å |
|
|
|
e |
|
|
|
= |
|
|
ç |
|
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
÷ |
||||||||
2 |
|
|
|
|
2nπ |
|
|
|
|
2 |
- iç |
π |
π |
3π |
3π |
+K÷ . □ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=-¥ |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n¹0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
В электротехнике и радиотехнике члены ряда c eiωn x называют |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
гармониками, |
|
коэффициенты |
|
|
cn |
− |
комплексными амплитудами |
гармоник, а числа ωn , n = 0, ±1, ± 2,... − волновыми числами функции
f (x) . |
Совокупность |
|
величин |
{c1, c2 ,...,cn ,...} |
называется |
|||||||||||
амплитудным спектром. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
§ 6. Интеграл Фурье |
|
|||||||||||
|
Пусть функция |
|
f (x) удовлетворяет на отрезке [−l; l] условиям |
|||||||||||||
Дирихле. Тогда на [−l; |
|
l] |
ее можно разложить в ряд Фурье |
|
||||||||||||
|
f (x) = |
a0 |
¥ |
|
|
|
|
|
nπ |
|
nπ |
|
|
|||
|
+ å |
(an cos |
x +bn sin |
x) , |
(1) |
|||||||||||
|
|
l |
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an = |
1 |
|
l |
f (t)cos |
nπ |
t dt, |
n = 0,1, 2,K, |
|
|||||||
|
l |
ò |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
||
|
b = |
|
f (t)sin |
t dt, |
n =1, 2,K. |
|
||||||||||
|
l |
ò |
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = 2l , то |
|
|
Если f (x) − периодическая функция с периодом |
разложение (1) справедливо на всей числовой оси.
10. Формула Фурье. Рассмотрим случай непериодической функции f (x) , заданной на промежутке (-¥; ¥) . Предположим, что
на любом конечном промежутке [-l; l] функция f (x) удовлетворяет
58
условиям Дирихле и абсолютно интегрируема на всей числовой оси,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
т.е. существует вещественное число M ³ 0 , что |
ò |
|
f (t ) |
|
dt = M < ¥ . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в (1) вместо коэффициентов an |
и |
|
bn |
их |
|||||||||||||||||||
интегральные выражения (2). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) = |
1 |
l |
|
|
(t)dt + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ò f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∞ |
1 |
æ l |
f (t )cos |
nπ t |
|
nπ x |
|
l |
f (t)sin |
nπ t |
|
|
|
nπ x ö |
|
|
|||||
+ |
ål |
ç |
ò |
|
dt cos |
|
+ |
ò |
|
|
|
dt sin |
|
÷ |
= |
(3) |
|||||||
l |
l |
l |
l |
||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
è |
−l |
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
|
|
∞ |
1 l |
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
|
ò f |
(t)dt + ål |
|
ò f (t)cos |
|
l |
(t - x) dt . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
n=1 |
−l |
правой |
|
части равенства (3) |
при |
l → +∞ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Первое |
|
слагаемое |
|
в |
|
||||||||||||||||||||||||||||
стремится к нулю, т.к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
l |
f (t)dt |
|
|
1 |
l |
|
f (t) |
|
|
|
M |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
£ |
ò |
|
|
dt £ |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
−l |
|
|
|
|
|
2l |
−l |
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Величина un = |
π n |
в правой |
|
части |
(3) принимает |
|
значения |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
u = π , |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
u |
2 |
= |
|
, |
|
u |
= |
,K, |
|
которые |
образуют |
бесконечную |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
3 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прогрессию |
|
|
|
|
с |
разностью |
|||||||||||||||||
арифметическую |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Dun = un+1 - un = π |
, |
|
n =1, 2,K, |
|
|
|
причем |
Dun ® 0 |
при |
|
l → ∞ . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
∞ |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
l |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|||||||
|
|
|
å ò f (t)cos(un × (t - x))dt = |
|
|
å |
ò f (t)cos(un × (t - x))dt × |
|
l = |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
π |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
æ |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
å |
ç |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
f (t)cos(u |
|
×(t - x))dt ÷Du |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
π n=1è −l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Сумма (4) представляет собой интегральную сумму для функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
(t)cos(u ×(t - x))dt, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(u) = ò f |
u Î(0; + ¥) . |
|
|
(5) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при l → +∞ , |
|||
|
|
|
|
|
Поэтому, переходя к пределу в равенстве (4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
а |
е |
|
м |
59
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
òdu ò f (t)cos(u ×(t - x))dt . |
|
(6) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
0 |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулу (6) называют формулой Фурье, а интеграл в правой |
|||||||||||||||||||||||||||||
части этой формулы – интегралом Фурье для функции |
f (x) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Отметим, что формула Фурье справедлива в точках |
|||||||||||||||||||||||||||||
непрерывности |
функции |
f (x) . В точках разрыва |
x = x0 |
функции |
|||||||||||||||||||||||||
f (x) интеграл Фурье |
|
равен среднему |
арифметическому ее |
||||||||||||||||||||||||||
односторонних пределов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
∞ du |
∞ |
f (t)cosu(t - x)dt = |
|
1 |
( f (x |
- 0) + f (x + 0)). |
|||||||||||||||||||||
π |
ò |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Раскрывая косинус разности двух углов в (5), получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
ò du ò |
f (t)cos(u ×(t - x))dt = |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
ò du |
ò f (t)(cosut cosux +sin ut sin ux)dt = |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ ææ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
æ |
1 |
|
|
|
ö |
ö |
||||||||||
= òçç |
|
ò |
|
f (t)cosut dt |
÷cosux + |
ç |
ò f (t)sinut dt |
÷sin ux |
÷du, |
||||||||||||||||||||
π |
|
|
π |
||||||||||||||||||||||||||
çç |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
−∞ |
|
|
|
÷ |
÷ |
|||||||||
0 èè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
|
|
ø |
ø |
|||||||
то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = ò( A(u)cosux + B(u)sinux) du , |
|
(7) |
|||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
A(u) = |
|
ò |
f (t)cosut dt ; |
B(u) = |
|
ò |
f (t)sin ut dt. |
|
|||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
−∞ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отметим, что для четной функции |
f (x) формула Фурье (7) |
||||||||||||||||||||||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = ò A(u)cosuxdu , |
|
|
(8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где A(u) = |
|
ò f (t)cosut dt . Для нечетной функции имеем |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = ò B(u)sinuxdu , |
|
|
(9) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60
2 ∞
где B(u) = π ò0 f (t)sinut dt.
Если функция f (x) задана лишь на промежутке (0; +∞) , то продолжая ее на промежуток (−∞; 0) , например, нечетным образом,
получим формулу типа (9); в случае продолжения её чётным образом будем иметь формулу типа (8).
20. Косинус-преобразование и синус-преобразование Фурье.
Представим формулу Фурье (7) в симметричной форме записи.
Для |
|
|
этого |
положим |
|
|
|
|
в |
формулах |
(8) |
и |
(9) |
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
% |
|
|
|
2 |
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(u) = |
|
|
π |
|
|
A(u), B(u) = |
|
|
π |
|
|
B(u) . |
|
|
Если |
функция |
|
четная, |
то |
||||||
|
|
|
|
|
∞ % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) = |
|
|
|
|
|
ò A(u)cosuxdu, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A(u) |
= |
|
|
|
|
ò f (t)cosutdt, |
|
|
(10) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ % |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
если нечетная, то |
f (x) = |
|
π |
ò |
B(u)sin uxdu , |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B(u) |
= |
|
|
π |
|
ò f (t)sinut dt . |
|
|
(11) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции A%(u) и B%(u) , определяемые соответственно
формулами (10) и (11), называются косинус-преобразованием и синус- преобразованием Фурье для функции f (x) .
30. Интеграл Фурье в комплексной форме. Интеграл (6) в
комплексной форме имеет вид:
|
1 |
∞ |
∞ |
|
||
f (x) = |
ò eiuxdu ò f (t)e−iut dt . |
(12) |
||||
2π |
||||||
|
−∞ |
−∞ |
|
|||
|
|
|
||||
Интеграл Фурье (7) имеет вид |
|
|||||
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
f (x) = |
ò c(u)eiuxdu, |
(13) |
||||
2π |
||||||
|
|
|
−∞ |
|
||
|
|
|
|
|
61
|
|
∞ |
f (t)e−iut dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где c(u) = ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Симметричная форма записи интеграла (13) следующая: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
1 |
|
|
|
∞ |
|
iux |
du, |
|
(14) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
ò c(u)e |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
−iut |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
% |
|
|
|
|
|
|
ò |
f (t)e dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где c(u) = |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Представить функцию |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì1, |
|
xÎ( -π ;π ); |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = í |
|
|
|
x |
Î(-¥; -π ]È[π ;+¥). |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î0, |
|
|
|
|
|||||||||||
интегралом Фурье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Решение. Очевидно, функция f (x) |
удовлетворяет |
условиям |
||||||||||||||||||||||
Дирихле на любом отрезке [-l; l] |
|
|
|
и абсолютно интегрируема на всей |
|||||||||||||||||||||
числовой прямой. Найдем коэффициенты |
A(u) и B(u) . |
Так как |
|||||||||||||||||||||||
функция f (t) |
– |
четная, то |
f (t)sinut |
|
будет нечетной |
функцией |
|||||||||||||||||||
переменной t и B(u) = 0 . Функция |
f (t)cosut |
будет четной, и |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
2 |
æ |
π |
|
|
|
+∞ |
ö |
|
|||||
|
A(u) = |
|
|
|
ò |
f (t)cosut dt = |
|
ç |
ò1×cosut dt + ò 0 ×cosut dt ÷ |
= |
|||||||||||||||
|
|
π |
π |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
|
|
|
|
π |
÷ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
π |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
π0 = 2 |
sinπu |
|
|
|
|||
|
|
= |
|
òcosut dt = |
|
sinut |
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
πu |
|
|
|
|
|
|
|
|
πu |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, имеем:
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
+∞ |
sinπu |
ï1, |
|
|
|
|
2 |
ï |
|
|
|
||
|
ò |
|
|
|
|||
f (x) = |
cosuxdu = í0, |
|
|||||
π |
u |
|
|||||
|
0 |
ï |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ï |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
î2 |
|
xÎ( -π ;π );
xÎ( - ¥;-π ) È (π;+ ¥);
x = -π или x = π .
Задания для самостоятельной работы
1.Разложить в ряд Фурье функции:
а) f (x) = x +1, xÎ[-π;π ];
62
б) f (x) = x , xÎ[-2; 2] ;
в) f (x) = -x, xÎ[0; 2π ]; г) f (x) = 3x2 , xÎ[0; 2].
2. Воспользовавшись разложением функции f (x) |
в ряд Фурье, найти |
|||||||
сумму заданного числового ряда: |
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
|
|
|||
а) f (x) = x2 , xÎ[-π ;π ]; å |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
n=1 n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
||
б) f (x) = x, xÎ[0; π ] (по косинусам); å |
|
; |
||||||
(2n -1)2 |
||||||||
|
|
|
n=1 |
|
||||
|
|
∞ |
n+1 |
|
|
|
||
в) f (x) = π 2 - x2 , xÎ[-π; π ]; å |
(-1) |
. |
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|||||
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
3.Разложить функцию cos x, xÎ[0;π ] в ряд Фурье по синусам, доопределив ее нечетным образом.
4.Найти косинус- и синус-преобразования Фурье функций:
а) f (x) = e−x , x ³ 0 ;
ì1 , |
0 £ x <1, |
|||
ï |
1 |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
б) f (x) = í |
|
|
, x =1, |
|
2 |
|
|||
ï |
|
|
x >1. |
|
ï0, |
|
|||
î |
|
|
|
|
5. Найти преобразование Фурье функций:
|
ì-e−x , -1£ x < 0, |
||||||||||||
|
ï |
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
, |
|
0 £ x £1, |
|||||||||
а) f (x) = íe |
|
|
|||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
x |
|
>1; |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ï0, |
|
|
|
|
||||||||
|
î |
|
æ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
ö |
|
|
|
x |
|
£ π , |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ïcosç |
|
÷ |
, |
|
||||||||
|
2 |
||||||||||||
б) |
f (x) = í |
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
x |
|
> π. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
î0, |
|
|
|
|
|
|
63