Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

J ( ) L cos d

.

В этом случае сила излучения, характеризующая элемент d поверхности протяженного источника, в направлении, составляющем угол с нормалью к поверхности, пропорциональна косинусу этого угла. Это так называемый закон Ламберта. А поверхности, подчиняющиеся закону Ламберта, называются диффузно светящимися (ламбертовскими) или "косинусными".

J( ) = Jmax, когда = 0 и J( ) = 0, когда = /2, т.е. в направлении, касательном к поверхности.

Закон Ламберта выполняется строго для абсолютно черного тела. Яркость Солнца почти не зависит от направления. Из несамосветящихся поверхностей этот закон приблизительно применим к мутной среде, матовой поверхности, которые рассеивают падающий на них свет равномерно во все стороны.

6. С понятием яркости тесно связано понятие светимости М, представляющей собой полный поток излучения с единицы поверхности источника, посылаемый наружу по всем направлениям (в телесном угле 2 ). Энергетическую светимость можно выразить следующим образом:

	M	dФ	.
		d

Поток излучения внутри телесного угла d = sin учетом формулы (1.60) равен

(1.62)

d d по направлению с

d 3 L( )sin d d cos d

.

Чтобы получить поток с площадки d наружу, надо это выражение проинтегрировать по всем значениям и , определяющим направление внутрь полусферы, т.е.

	2	/ 2
d	d		L( ) sin cos d d .
	0	0

Таким образом, между светимостью и яркостью можно установить связь:

	/ 2
M 2		L( ) sin cos d .
	0

Для источников, подчиняющихся закону Ламберта,

(1.63)

/ 2
M L	2sin cos d
0

L sin	2			/ 2
			0

L

.

(1.64)

Светимость характеризует плотность потока излучения.

7. Поток лучистой энергии может исходить от тел не только в результате того, что они являются самостоятельными источниками, но и в результате рассеяния или отражения излучения, испускаемого другими источниками. В этом случае вводится понятие освещенности (облученности), которое относится уже не к источникам излучения, а характеризует лучистую энергию, падающую на облучаемую поверхность. Величина освещенности численно равна величине потока, приходящегося на единицу освещаемой поверхности:

33

	E		d		.
			d
	Если произвольно ориентированная в пространстве площадка d
	точечным источником, то
			r	2
	d				d,
		cos

(1.65)

освещается

где r – расстояние от источника до площадки; – угол между направлением лучей и нормалью к площадке; d – телесный угол, под которым видна площадка d из источника. Освещенность этой поверхности

	E	d		d		cos		J ( ) cos	,	(1.66)
		d		d r2				r2

где согласно формуле (1.57) dФ/d есть сила света J() источника по данному направлению.

Вформуле (1.66) заключены два закона освещенности:

1)освещенность площадки обратно пропорциональна квадрату расстояния от точечного источника (закон обратных квадратов);

2)освещенность площадки прямо пропорциональна косинусу угла между направлением лучистого потока и нормалью к площадке (закон косинуса).

Для расчета освещенности в случае протяженных источников необходимо разбить их поверхность на элементарные участки (достаточно малые по сравнению с r) и, определив освещенность, создаваемую каждым из них по закону обратных квадратов, проинтегрировать затем по всей площади источника, приняв во внимание зависимость силы света от направления.

8. Введем еще понятие энергетической экспозиции H как отношение энергии dQ, падающего на элемент поверхности излучения к площади dσ,этого элемента. Эквивалентное определение энергетической экспозиции есть произведение энергетической освещенности Е на длительность облучения dt, т.е.

	H	dQ
		d

или

E dt

.

Все приведенные энергетические характеристики излучения измеряются в механических единицах, например, по производимому ими тепловому действию. Такие единицы и фотометрические понятия применяются, например, в теории теплового излучения. В таблице 1 приведены наиболее употребительные энергетические фотометрические величины, соотношения между ними и единицы их измерения.

В видимой области спектра представляет интерес характеризовать оптическое излучение по зрительному или световому ощущению, оцениваемому по действию света на глаз человека. Соответствующие характеристики, как отмечалось, и их единицы называются световыми (редуцированными) в отличие от энергетических величин, о которых говорилось выше.

			Т а б л и ц а 1
№	Энергетические фотометрические вели-	Связь с другими величи-	Единицы
	чины
п/п		нами	измерения
	(в скобках синонимы и пояснения)
1	Энергия излучения	Q	Дж
	(лучистая энергия)

34

2Поток излучения (лучистый поток)

3Энергетическая сила излучения (энергетическая сила света)

4Энергетическая яркость

5Энергетическая светимость (излучательность)

6Энергетическая освещенность (облученность)

7Энергетическая экспозиция (количество облучения, доза) Энергетическое освечивание

8(интеграл от энергетической силы света по времени в пределах рассматриваемого интервала времени) Спектральная плотность энергетической фотометрической величины

9(производная этой величины по длине волны или другой спектральной координате)

		F		dQ
					dt
	J dF d
			d		2	F
	L
		d d cos
	E dF d
		M		dF
				d

HdQd E dt

СJdt

Вт

Вт ср-1

Вт ср-1 м-2

Вт∙м-2

Вт∙м-2

Дж·м-2

Дж·ср-1

Световые измерения, конечно, содержат некоторый элемент субъективизма, поскольку световые впечатления, получаемые различными людьми от одного и того же светового источника, не совсем совпадают. Когда указывают количественные соотношения световых единиц с энергетическими, то при этом имеют в виду так называемый средний светоадаптированный человеческий глаз. Относительной спектральной чувствительностью этого условного приемника света считают функцию относительной спектральной световой эффективности, нормализованную в результате экспериментальных статистических исследований.

Спектральная световая эффективность монохроматического излучения (устаревшее название – видность) – отношение светового потока монохроматического излучения на длине волны λ к соответствующему энергетическому потоку излучения. Спектральная световая эффективность имеет размерность лм/Вт. Максимальная спектральная световая эффективность для дневного зрения человека Vmax=683 лм/Вт соответствует монохроматическому излучению с частотой 5,4∙108 МГц (λ ≈ 555 нм). Отношение

V K

Vmax

называется относительной спектральной световой эффективностью, т.о. K имеет

смысл относительной спектральной чувствительности зрительной системы человека, определяемой как отношение двух потоков излучения соответственно с длинами волн λmax и λ, вызывающих (в определенных условиях наблюдения) зрительные ощущения одинакового уровня. При этом λmax выбирают так, чтобы максимальное значе-

ние K =1.

35

Сами названия величин, характеризующих излучение при световых измерениях, несколько меняют. Перечислим основные световые величины:

–световой поток,

–световая энергия,

–сила света,

–яркость,

–освещенность,

–светимость,

–освечивание,

–экспозиция.

Они связаны между собой теми же соотношениями, что и соответствующие энергетические величины. Наименование единиц измерения и их обозначения для световых величин представлены в таблице 2.

Т а б л и ц а 2

	№	Величина
	п/п

1Световая энергия

2Световой поток Сила света

3(источника в некотором направлении)

Яркость

4(в заданной точке и в заданном направлении)

5Светимость (в точке поверхности)

6Освещенность (в точке поверхности)

7Экспозиция (световая экспозиция)

8Освечивание

Обозначение

		Q
		Ф	dQ
			dt
	J dФ d
			2	Ф
	L	d
		d d cos
		M	dФ
			d
	E dФ d

HdQd E dt

СJdt

Единица

	обо-
наименование	значе-
	ние
люмен-сенкунда	лм·с
люмен	лм
кандела	кд
кандела на квад-
ратный метр	кд м-2
(уст. назв. – нит)
люмен на квад-	лм∙м-2
ратный метр
люкс	лк
люкс-секунда	лк·с
кандела-секунда	кд·с

Силой света источника J в заданном направлении называют световой поток, посылаемый им в этом направлении и отнесенный к единице телесного угла.

Единицей силы света источника служит кандела (старое название – свеча). Это основная фотометрическая единица. Она воспроизводится по световым эталонам и входит в качестве основной единицы в Международную систему единиц (СИ). Первичный световой эталон единицы силы света (канделы) был осуществлен в виде так называемого полного излучателя, обладающего свойствами абсолютно черного тела, при температуре затвердевания платины (2045 К) и давлении 101325 Па.

36

Сила света, излучаемого в направлении нормали с (1/60) см2 излучающей поверхности указанного светового эталона и есть кандела.

Этот эталон действовал по международному соглашению с 1948 по

1979 г.

В 1979 г. решением Международного комитета по стандартам принято новое определение канделы, устанавливающее её связь с мощностью монохроматического излучения вне зависимости от способа воспроизведения. А именно, кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540·1012 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении равна (1/683) Вт/ср.

Световой поток F – световая величина, оценивающая энергетический поток излучения, т.е. мощность оптического излучения по вызываемому им световому ощущению, точнее, по его действию на селективный приемник излучения (например, глаз), спектральная чувствительность которого определяется функцией относительной спектральной световой эффективности излучения V(λ). Единица светового потока – люмен.

Кривая спектральная световая эффективность

Vλ

(кривая видности)

Кривая видности характеризует чув-

ствительность глаза к излучениям различных

длин волн. На этой кривой по оси абсцисс от-

кладывается длина волны, а по оси коорди-

нат – видность V (или световая эффектив-

ность), т.е. величина, обратная энергетической

мощности излучений, которые при оценке гла-

зом воспринимаются как одинаково яркие.

555

760

Кривая видности среднего нормального глаза

400

510

λ

при дневном зрении, утвержденная Междуна-

родной осветительной комиссией, имеет мак-

симум в желто-зеленой части спектра при

= 555 нм.

Р и с. 1.14

Следовательно, поток энергии излучения, измеряемый в ваттах, можно рассматривать и как световой поток, измеряя его в люменах. Световая эффективность (видность) потока энергии излучения, или просто световая эффективность V, есть число люменов, соответствующее мощности в один ватт (лм/Вт). Обратная величина (Вт/лм) называется механическим эквивалентом Мсв. Из-за различия чувствительности глаза к различным участкам спектра обе эти величины зависят от длины волны . Принято приводить их значения для = 555нм, где чувствительность глаза максимальна. Для такой длины волны эти величины по новейшим измерениям равны соответственно: V max = 683 лм/Вт,

Мсв min = 0,00146 Вт/лм.

37

Пользуясь кривой видности среднего человеческого глаза, приведенной на рис. 1.14, нетрудно найти значения этих величин для любой длины волны видимого спектра излучения.

При сумеречном зрении кривая видности сохраняет свой общий вид, но смещается в сторону коротких волн с максимумом около 510 нм (пунктирная кривая на рис. 1.14).

Введем также понятие относительной видности (относительной спектральной световой эффективности) K = V /V max. Как видно из рис. 1.21, относительная видность K принимается за единицу для = 555 нм, а для остальных длин волн видимой области она меньше единицы. Если нужно вызвать одинаковое зрительное ощущение света двух длин волн, необходимо, чтобы величина энергетического потока излучения была больше для той длины волны, для которой глаз менее чувствителен. Поэтому можно сказать, что значения функции видности двух длин волн 1 и 2 обратно пропорциональны величинам энергетических потоков, вызывающих одинаковые по интенсивности зрительные ощущения.

Для узкого спектрального интервала d световой поток dF равен произведению потока энергии излучения dФ на значение функции видности:

dF V d K V

d

K

d

max

M

св

или с учетом формулы (1.53)

( )K

dF ( )V d

d .

M

св

Полный световой поток запишется так:

1

F

()V d

()K d .

M

0

св

0

(1.67)

(1.68)

Другие световые величины, соотношения между ними и единицы их измерения представлены в таблице 2.

38

2.НЕМОНОХРОМАТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

2.1Спектральные разложения в оптике

Наряду с временным описанием модулированных колебаний и волн в оптике широко применяется альтернативный спектральный метод. Познакомимся с этим методом, который базируется на математической теории рядов и интегралов Фурье.

Метод спектральных разложений

Основная идея спектрального описания состоит в том, чтобы представить некоторую функцию времени (например, электрическое поле световой волны) в виде суммы гармонических колебаний разных частот

Набор частот

	n

E(t) (an

	n 0
и амплитуд	an ,	bn

cos nt bn sin nt).

(1.69)

образуют спектр процесса Е(t). Если изве-

стен спектр, то можно восстановить временной ход процесса по формуле (1.69). Поэтому оба способа описания процессов (временной и спектральный) вполне эквивалентны. Однако по способу записи информации они существенно отличаются. В частности, возможен случай, когда сложной функции времени соответствует простой спектр (рис. 2.1, а) или наоборот (рис. 2.1, б).

Р и с. 2.1

Разложение в спектр не только удобная математическая операция. Во многих случаях оно осуществляется как реальное физическое явление. Классический пример такого рода знаменитый опыт Ньютона, в котором стеклянная призма разлагает белый солнечный свет на семь основных цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Приборы, действие которых основано на спектральном разложении света давно и широко применяются в экспериментальной оптике.

39

Периодические функции. Ряд Фурье. Дискретный спектр

Пусть некоторая функция времени f(t) является периодической, т.е. удовлетворяет условию

f (t) f (t nT ),

(1.70)

где t произвольный момент времени, n любое целое число, Т период функции f(t). Типичный вид периодической функции показан на рис. 2.2, а.

Предположим, что функция f(t) кусочно-непрерывна и ограничена. Тогда, согласно теореме Дирихле, она может быть представлена в виде ряда

f (t)
		0	(n cosnt n sin nt),
	2		n 1

где

(1.71)

								2	T / 2
	n	n , 2 / T ,				0				f (t)dt,
								T
									T / 2
			2	T / 2				2	T / 2
	n				f (t) cos ntdt,	n				f (t)sin ntdt.
			T					T
				T / 2					T / 2

(1.72)

Ряд (1.71) называется рядом Фурье, а коэффициенты

n

и

n

Фурье функции f(t). Индекс "n" в формуле (1.71) нумерует частоты

коэффициентами

n	составляющих

функцию f(t) гармонических колебаний ("гармоник"). Как видно из формул (1.72),

эти частоты разделены одинаковыми интервалами	2 / T	и образуют эквиди-
стантную последовательность.

Нетрудно убедиться в правильности формул (1.72) для коэффициентов Фурье.

Для этого достаточно умножить равенство (1.71) на

cosmt

или

sin mt , где

m = 1,2,..., и проинтегрировать полученные соотношения по периоду функции f(t) от - Т/2 до Т/2. В математике доказывается единственность разложения (1.71). Тем самым математическая задача разложения периодических функций на гармонические колебания полностью решена.

а)

б)

Р и с. 2.2.

40

Спектральные амплитуды и фазы

Пользуясь известными тригонометрическими формулами, можно переписать ряд (1.71) несколько иначе:

				f (t)		0	fn cos nt n ,
					2
							n 1	(1.73)
где коэффициенты	fn	и	n	называются соответственно спектральными амплитуда-

ми и фазами функции f(t). Они связаны с коэффициентами Фурье соотношениями

		n	f	n	cos			n		,
f											,
						2			2
	n					n			n
Распределение спектральных амплитуд									fn

		n	f	n	sin	n		,
										(1.74)
			arctg(					/
	n						n		n	).
по соответствующим им частотам n											гар-

моник называется спектром функции f(t). Спектр можно изобразить графически, откладывая по оси абсцисс частоты, а по оси ординат — спектральные амплитуды, как показано на рис. 2.2, б.

Из нашего рассмотрения следует, что любой периодический процесс имеет дискретный спектр, т.е. спектр, состоящий из отдельных линий. Это важное свойство периодических процессов. Вместе с тем, обратное утверждение справедливо не всегда. Только в том случае, если частотные интервалы между линиями кратны некоторому интервалу 0 , соответствующий процесс является периодическим и имеет конечный период T 2 / .

Однако в оптике мы не имеем дела со строго периодическими процессами (хотя бы потому, что такие процессы бесконечны во времени). Поэтому важно обобщить спектральные представления и на непериодические процессы. Примером такого процесса является излучение атома, которое затухает во времени и, следовательно, непериодично.

Непериодические функции. Интеграл Фурье. Сплошной спектр

Рассмотрим некоторую непериодическую функцию времени f(t) и попытаемся найти ее спектр (рис. 2.3).

Ри с. 2.3.

Сматематической точки зрения непериодическую функцию можно рассматривать как периодическую с периодом, стремящимся к бесконечности. Поэтому для спектрального разложения непериодической функции f(t) нужно перейти к пределу

Тв формулах (1.71), (1.72). Такой переход возможен, если функция f(t) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости

41

										| f (t) | dt .		(1.75)
Используя выражение (1.72) для , перепишем формулу (1.71) в виде
	0		1	T				T
f (t)						n	cos nt		n sin nt		.
	2			n 1	2			2				(1.76)

Теперь перейдем к пределу Т . При этом в силу формул (2.8) и (2.4) получаем

			0			0,
		T					T / 2
				n		lim		f (t) cos ntdt,	(1.77)
		2
						T	T / 2
		T					T / 2
					n	lim		f (t) sin ntdt.
		2
						T	T / 2
Поскольку п		п , где 2 / T ,						то в пределе при Т частотный ин-
тервал	стремится к нулю. При этом частота гармонических колебаний из дис-

кретной переменной п превращается в непрерывную переменную. Поэтому, опуская индекс "п" в (1.77), введем новые обозначения

	T / 2
a( ) lim		f (t) cos tdt,
T	T / 2
	T / 2
b( ) lim		f (t) sin tdt.
T	T / 2

(1.78)

Наконец, переходя к пределу Т , на интеграл и учитывая (1.77), (1.78), получаем

0

в (1.76), заменяя предел суммы

		1
	f (t)		[a() cos t b() sin t]d ,
			0
	где
	a()	f (t) cos tdt, b()		f (t)sin tdt.

(1.79)

(1.80)

Интеграл (1.79) называется интегралом Фурье.

Формулы (1.79), (1.80) решают задачу о спектральном разложении непериодической функции времени. Выведем теперь несколько более компактных представлений для интеграла Фурье.

Спектральная амплитуда и спектральная фаза

Перепишем (1.79) в виде

		1
	f (t)		f ( ) cos[ t ( )]d .	(1.81)
			0
Здесь f ( )	и ( ) называются соответственно спектральной амплитудой и
спектральной фазой функции f(t). Пользуясь тригонометрической формулой:
	cos( ) cos cos sin sin ,			(1.82)

42