Кравченко. Практикум

12

1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Токи в ветвях 2 и 3 (рис.1.4):

I2

Uab

60

2 A,

I3

Uab

60

3 А.

R2

30

R3

20

Примечание.

Приведенные формулы позволяют получить соотношения

для более простого алгорит-

ма определения токов в параллельных ветвях (распараллеливание токов):

Uab

R2 R3

R3

I2

R

I1 R (R R )

I1 (R R )

2 A,

2

2

2

3

2

3

Uab

R2 R3

R2

I3

R

I1 R (R R )

I1 (R R )

3 A.

3

3

2

3

2

3

4. Мощность потребителей электрической энергии

P

=

I 2R

= I 2R

+ I 2R

+ I 2 R

=

потр

1

1

2

2

3

3

= 25 12 + 4 30 +9 20 = 600 Вт.

Ответ: I1

= 5 А, I2

= 2 А, I3 = 3 А; Pпотр

= 600 Вт.

Задача 1.4

В электрической цепи (рис. 1.6): R1 = R7

= R9 = 1 Ом,

R2

= R3 = 3 Ом,

R4

= R8 = 6 Ом, R5 = 8 Ом, R6 = 4 Ом, I6 = 9,16 А.

R2

Определить напряжение

U на

R1

I1

R

входе электрической цепи.

4

R3

Решение

а

n

1.

Эквивалентное

сопротив-

U

R5

Uab

R9

R6

R

ление

участка

a-n-b электрической

I9

I5

7

цепи

c

I6

I7

I8

b

(R2

R3 )R4

R8

R2347

= R7

+

4 Ом.

(R2

R3 )

R4

Рис. 1.6

13

2.Напряжение между точками а и b (рис. 1.6)

Uab = I6 R6 = 9,16 R6 = 36,64 B.

3.Ток I7 участка цепи a-n-b

I7 Uаb R2347 36,644 9,16 A .

4. Ток в ветви с сопротивлением R8 (на основании первого закона Кирхгофа для узла «b»)

I8 = I6 + I7 = 9,16+9,16 = 18,32 А.

5. Напряжение между точками а и с (на основании второго закона Кирхгофа для контура a-b-c при направлении обхода контура по часовой стрелке)

U ac = U ab + Ubc = U ab + I8R8 = 146,56 B.

6.Ток в ветви с сопротивлением R5

I5 Uас R5 146,568 =18,32 A.

7. Ток в неразветвленной части электрической цепи (из уравнения по первому закону Кирхгофа)

I1 = I9 = I5	+ I8 = 18,32 + 18,32 = 36,64 A.
8. Входное напряжение (из уравнения по второму закону Кирхгофа для
контура с сопротивлениями	R1 – R5 – R9 при направлении обхода контура по
часовой стрелке)
–U + I1R1 + I5R5 + I9 R9 = 0
или
U = I1R1 + U ac	+ I9 R9 = 146,56 + 2 36,64 220 B.

Ответ: U = 220 В.

В этой задаче возможен второй вариант решения, основанный на после- довательно-параллельной свертке резистивных элементов цепи. Учитывая,

14																										1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
												3																														6
1												6													3			= U						1								6
U
								8						4																				1				8					4									=
1
																			1																											I6	1
								6												I6																		6
1												3																			1																1
U																					I6					U								8				2					U
																4																															4
=								8																	=																	=
1																																						6
																I6				1														2I6
																									1								4I	6				2I6				1								4I		6
								6
																				2I6

Рис. 1.7

что токи в параллельных ветвях с одинаковыми сопротивлениями равны и что эквивалентное сопротивление двух равных параллельно соединенных сопротивлений равно половине каждого из них, получим (величины сопротивлений указаны на схемах рис. 1.7):

U = 4I6 (1 + 1 + 4) = 4 9,16 6 = 220 B.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1.5

					Определить отношение напряжения U 2 на
	20	30			выходе электрической цепи (рис. 1.8) к напряже-
		16
	5
U			10	U	нию на входе цепи U1 . Сопротивления отдель-
1	15				2
		10			ных ветвей указаны на схеме.
					U2	0, 0263.
		Рис. 1.8			Ответ: U1

15

Задача 1.6

В схеме (рис. 1.9) дано:

R1 = 0,5 Ом, R2 = 1,4 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = 2,5 Ом, R5 = 5 Ом, I5 = 0,2 А.

Определить:

1)ЭДС источника энергии;

2)мощность приемников энергии.

	Е
	R2
R1	R4
	R3
	R5	I5
	Рис. 1.9

Ответ: Е = 4,1 В, Pпр = 10,67 Вт.

Задача 1.7

Rx	50
Е
100	50	50

Рис. 1.10

В электрической цепи (рис. 1.10) все сопротивления даны в омах. Е = 200 В. Мощность, расходуемая во всей цепи, Р = 400 Вт. Определить сопротивление Rх .

Ответ: Rх =57,14 Ом.

Задача 1.8

Когда два гальванических элемента соединили параллельно, ЭДС батареи оказалась Eбат = 1,08 В. Когда же к батарее подключили реостат и установили ток нагрузки I = 0,3 А, напряжение батареи упало до значения U = 0,9 В. Определить внутреннее сопротивление батареи rбат .

Ответ: rбат = 0,6 Ом.

Задача 1.9

Лампочка накаливания, сопротивление которой R1 = 158 Ом, питается от электрической сети с помощью двухпроводной линии из медного провода l 81 м сечением S = 1,5 мм2. Определить, на сколько процентов упадет напряжение на лампочке, если параллельно ей включить нагревательный прибор

16	1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
с сопротивлением R2	= 32 Ом. Сопротивление лампочки для простоты считать

постоянным. Удельное сопротивление меди = 0,0185 Ом мм2/м.

Ответ: напряжение на лампе снизится на 5,8 %.

Задача 1.10

I1	60	I3	20	I5
		I2	I4
U	80		30	60
		Рис. 1.11

Напряжение	на входе цепи
(рис. 1.11) U = 50 В. Сопротивления
заданы в омах.	Определить все токи,

составить баланс мощности.

Ответ: I1 0, 577 A, I2			0,192 A,
I3	0, 385 A, I4	0, 257 A,
I5	0,128 A, Pист	Pпр	28,85 Вт.

Первый закон Кирхгофа: In 0

Второй закон Кирхгофа: InRn En

2. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ КИРХГОФА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Основные сведения

Расчет электрических цепей с использованием законов Кирхгофа

Токи, втекающие в узел, учитываются с одним знаком, вытекающие из узла – с противоположным

Со знаком «+» учитываются ЭДС и напряжения, совпадающие с направлением обхода контура, встречные с«–»

Для расчета электрической цепи, содержащей n узлов и m ветвей с искомыми m токами, требуется система m независимых уравнений, включающая (n – 1) уравнений по первому закону Кирхгофа и (m –n + 1) уравнений по второму закону Кирхгофа. Независимость уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, обеспечивается рассмотрением независимых контуров (включающих хотя бы одну новую ветвь, не вошедшую в другие контуры). Контуры, включающие источники тока, рассматриваться не должны

Метод контурных токов

При расчете цепи методом контурных

I11R11 I22R12

.. IkkR1k

E11,

токов полагается, что в каждом из произволь-

.....................................................

но выбранных независимых контуров замы-

IiiRii

Ikk Rik Eii ,

кается контурный ток произвольного направ-

I11Ri1 I22Ri2 ..

ления. Для каждого из рассматриваемых

.........................................................

независимых контуров составляется уравне-

I

R

I

R

..

I

R

.. I

R

E

,

ние по второму закону Кирхгофа. В результа-

11

k1

22

k

2

ii

ki

kk kk

kk

те получается система из (m – n + 1) незави-

где Iii – ток i-го контура;

Rii – собственное

симых

уравнений, содержащих

(m – n + 1)

сопротивление i-го контура (сумма сопро-

неизвестных контурных токов.

Найденные

тивлений всех ветвей контура);

Rik – общее

значения контурных токов позволяют опре-

сопротивление контуров i и k; Eii – контур-

делить реальные токи в ветвях электрической

цепи посредством алгебраического суммиро-

ная ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС источ-

вания

протекающих по рассматриваемой

ников i-го контура)

ветви контурных токов. Если электрическая цепь содержит источники тока, независимые контуры выбираются так, чтобы каждый из источников тока входил лишь в один независимый контур. Тогда контурный ток данного контура должен быть равным току источника, и число неизвестных контурных токов сократится на число заданных источников тока

18	2. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ КИРХГОФА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Библиографический список к разделу 2

1.Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Не-

тушил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 1.5, 1.9.

2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессо-

нов.– М.: Гардарики, 2002. – § 2.8, 2.13.

				ПРИМЕРЫ
Задача 2.1
		Ik		В электрической цепи (рис. 2.1)	R1 R2
	I2	R2		R3 R3 1Ом , ток источника тока Ik	5A. Ток
a			b	в ветви с нулевым сопротивлением I5 5A.
I1			R3	Определить величину и направление ЭДС Е.
R1	Е
		R4	I3	Задачу решить, используя законы Кирхгофа.
	I4			Решение
d			с
	I5			Выберем положительные направления токов
				в ветвях электрической цепи и направление ЭДС.
	Рис. 2.1			Система уравнений, составленных по законам
				Кирхгофа:
	а) по первому закону Кирхгофа (для трех произвольных узлов схемы):

Ik	– I1 – I2 = 0		– для узла а,
–Ik	+ I2 + I3	= 0	– для узла b,
–I5 + I4 – I3		= 0	– для узла c;

б) по второму закону Кирхгофа (для двух независимых контуров):

I1R1 I4R4 I3R3 I2R2 E – для контура a-d-c-b-a,

I4R4 E – для контура d-c-d.

Врезультате решения системы из пяти уравнений имеем:

I2 5 I1, I3 5 I2 5 5 I1, т. е. I3 I1,
I4	5	I1, 1I1 E 1I1 (5 I1)1 E, откуда	I1 5	3 1,67 A ,
I4	5	5 3 6,67A, I2 = 3,33 А, Е = 6,67 В.

19

Проверка решения

Проверим решение, составив уравнение баланса мощностей:

EI

4

I

k

(I

R ) I2R I

2R I2R I

2R ,

2 2

1 1

2 2

3 3

4 4

6,67 6,67 + 5(3,33 1) = 2 1,672 1 +3,332 1 + 6,672 1,

61,14 Вт = 61,14 Вт.

Баланс мощностей выполняется, следовательно, задача решена верно.

Ответ: I1 = I3

= 1,67 A, I2

=3,33 A, I4

= 6,67 A,

E = 6,67 B (направле-

ние ЭДС выбрано правильно).

Задача 2.2

В схеме (рис. 2.2)

E1 = 18 В, E2 = 5 В, E3 = 5 В,

E1

R2

E4 = 15 В, E5 = 3 В, R1 = 1 Ом,

R1

R

= 2 Ом, R = 1 Ом, R = 1 Ом,

E2

3

4

R

2

I11

6

R5 = 1 Ом, R6 = 5 Ом.

I22

E5

Рассчитать токи в ветвях методом кон-

E4

R4

турных токов.

R5

Решение

I33

1. Произвольно выбираем направление

контурных токов

в

независимых контурах

R3

E3

цепи (рис. 2.2).

Рис. 2.2

2. Составим систему уравнений по ме-

тоду контурных токов (направление обхода контуров принимается совпадаю-

щим с направлением контурных токов):

I11(R1 R5 R6) I22R6 I33R5 E1 E5,

I11R6 I22(R2 R4 R6) I33R4 E2 E4,

I11R5 I22R4 I33(R3 R4 R5) E3 E4 E5.

20		2. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ КИРХГОФА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
3. После подстановки числовых значений имеем
														7I11 5I22 1I33															21,
																									1I33 10,
														5I11 8I22
																						1I			3I				17.
														1I										22			33
																11
	4. Расчет контурных токов:
						21		5	1																												7		21	1
						10		8 1																													5		10	1
I		1				17		1	3						544						8 A,				I	22				2								1	17	3					340	5 A,
							7	5	1																													7	5	1
11																68																											68
							5	8	1																													5	8	1
							1	1	3																													1	1	3
																				7			5			21
																			5				8		10
								I33						3					1				1		17						680			10 А.
																					7		5			1
																													68
																					5			8		1
																					1		1			3

		E1		R2
R	I			I2
	1				E2
1			R6
		I11
			I22
E5	I5	I6	E4	I4	R4
	R5
	I33
R3		I3		E3

Рис. 2.3

5. Определение реальных токов в ветвях электрической цепи.

Реальные токи в ветвях, произвольно выбранное направление которых указано на схеме рис. 2.3, находятся как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих по рассматриваемой ветви. При этом контурные токи, совпадающие с выбранными направлениями реальных токов, учитываются со знаком «плюс», не совпадающие – со знаком «минус».

21

I = I11 = 8 А, I2 = I22 = 5 А,
1
I3 = I33	= 10 А,
I4 = I22	– I33 = –5 А, I5 = – I33 + I11 = – 2 А, I6 = I22 – I11 = –3 А.
Ответ:	I1 = 8 A, I2 = 5 A, I3 = 10 A, I4 = –5 A, I5 = –2 A, I6 = –3 A.

Задача 2.3

По условию задачи 2.1 определить токи и ЭДС Е, пользуясь методом контурных токов.

Решение

Произвольно выбираем направления контурных токов в независимых контурах, как показано на рис. 2.4. Для первого контура уравнение не записывается, так как контурный ток

I11 совпадает с током ветви, в которой находится источник тока, т. е.

I11 = Ik = 5 А.

Контурный ток I33 также известен, поскольку он совпадает по направлению и равен заданному току I5:

		Ik
		I11
a	I		R	b
I		2
			2
1		I22		R3
R1
		I4	R4	I3
d
	Е			с
		I33
			I5
		Рис. 2.4

I33 = I5 = 5 А.

Считая направление обхода контуров совпадающим с направлениями контурных токов, получим систему

I			R		I		22	(R R		R	R ) I	33	R E (для контура a-b-c-d-a),
	11		2					1	2	3	4		4
				R		I		R	E	(для контура d-c-d).
I		22
					4			33 4

С учетом того, что

I11 = I33 = 5 А,