Кравченко. Практикум

22	2. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ КИРХГОФА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

система уравнений по методу контурных токов принимает следующий вид:

5 3I		22	5 E,
		5 E .
1I	22

Из решения системы следует:

Е = 6,67 В, I22 = –1,67 А.

Реальные токи в ветвях цепи определяются как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих по рассматриваемой ветви:

I1 = –I22 = 1,67 А, I2 = I22 + I11 = 3,33 А,

I3 = –I22 = 1,67 А, I4 = I33 – I22 = 6,67 А.

Ответ: Е = 6,67 В, I1 = 1,67 А, I2 = 3,33 А, I3 = 1,67 А, I4 = 6,67 А.

Сравнив решение задачи по методу контурных токов с решением, полученным на основании законов Кирхгофа, можно сделать вывод, что решение задачи с помощью метода контурных токов более рационально (требует меньшего числа уравнений).

Задача 2.4
	Для выбранных, как показано на рис. 2.5, контурных токов I11, I22 , I33 ,
I44	дать решение в общем виде для тока I1, не прибегая к составлению системы
	E1	I1	I3		расчетных уравнений по методу контур-
					ных токов.
		E2
	I11		R2	I33	Решение
R1
		I44			R3
					Значения тока I1 получим посредст-
	I2	Ik		I5	вом составления главного определителя
		I22			системы и его алгебраического допол-
				I4	нения 1 (при этом необходимо учесть,
		R4
		Рис. 2.5			что I44 = Ik):

23

Е11

R12

R13

E22

R22

R23

I I

1

(E33 IkR2)

R32

R33

1 11

R

R

R

11

12

13

R12

R22

R23

R31

R32

R33

		(Е1 E2)			0		0
		E2 IkR2			(R2 R4)		R2
		IkR2			R2		(R2 R3)				.
			R1		0		0
			0	(R2 R4)			R2
			0		R2	(R2 R3)

	ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
	Задача 2.5
	В цепи (рис. 2.6)	E	R1
	Е = 16 В, R1 = 2 Ом,
	R2 = 6 Ом, R3 = 14 Ом,	R5	R2
	R4 = 15 Ом, R5 = 5,8 Ом.
	Внутренним сопротивлением источника ЭДС	R4	R3	A
	и сопротивлением амперметра можно пренебречь.
	Найти показания амперметра.
	Ответ: I = 1,16 А.		Рис. 2.6

Задача 2.6

Ток, создаваемый генератором тока в цепи

(рис. 2.7), Ik = 60 мА.

R1 = 800 Ом, R3 = 600 Ом, R4 = 300 Ом.

Найти показания амперметров. Сопротивлениями амперметров и внутренним сопротивлением генератора пренебречь.

Рис. 2.7

Ответ: I1 = 44 мА, I2 = 48 мА.

24 2. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ КИРХГОФА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 2.7

	Ik1	R1		Электрическая цепь (рис. 2.8) питается
				двумя источниками тока величиной:
				Ik1 = 20 мА, Ik2 = 10 мА,
	R3	R4		R1 = 5	кОм, R3 = 4 кОм,
				R4 = 6	кОм, R5 = 2 кОм,
	R5	Ik2	R6	R6 = 4	кОм.
				Определить напряжение на зажимах каж-
				дого из генераторов.
		Рис. 2.8		Ответ: Uk1 = 177,5 В, Uk2 = 42,5 В.

3. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Основные сведения

В основе метода узловых потенциалов (МУП) лежат первый закон Кирхгофа и обобщенный закон Ома. В соответствии с МУП для (n – 1) узлов электрической цепи составляются (n – 1) независимых уравнений типа

qgqq f gfq Efqgfq Ik			(q рассматриваемый узел),
f	f	f

где gqq – собственная проводимость q-го узла (сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу); gfq – общая проводимость узлов f и q (сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы), правая часть уравнения – узловой ток.

В правой части уравнения со знаком «+» учитываются ЭДС и источники тока, направленные к рассматриваемому узлу q и со знаком «–» – при противоположном направлении. Недостающий потенциал n-го узла принимается произвольным (как правило, равным нулю). В качестве зануляемого узла целесообразно выбирать узел, к которому примыкает наибольшее число ветвей. Если электрическая цепь содержит одну ветвь с идеальной ЭДС (т. е. с нулевым сопротивлением), зануляется один из двух узлов, к которым примыкает идеальная ветвь. Тогда потенциал второго узла будет равен идеальной ЭДС с соответствующим знаком. При наличии в цепи нескольких идеальных ветвей необходимо использовать вынесение ЭДС из ветви за узел. При этом уменьшается число узлов с неизвестными потенциалами и соответственно число расчетных уравнений по МУП.

Разрешив систему (n – 1) уравнений по МУП, определяют искомые токи в цепи с помощью обобщенного закона Ома

Вынесение идеальной ЭДС

Обобщенный закон Ома

из ветви за узел

	I		I	( 1 2) E
				R
	E
U12			Со знаком «+» учитываются ЭДС,
	R		сонаправленные с током, встреч-

ные – со знаком «–»

Библиографический список к разделу 3

1.Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Не-

тушил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 1.8, 1.3.

2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов.–

М.: Гардарики, 2002. – § 2.21, 2.22.

26						3. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
						ПРИМЕРЫ
Задача 3.1
		Е1	R1			В цепи, представленной на рис. 3.1:
						E1 = 30 B, E2 = 20 B,
	R7			I1
		R5	I5			E3 = 200 B, E4 = 56 B,
	1			2
R9		R4	R2	R8		R1 = 20 Ом, R2 = 60 Ом,
				R3		R3 = 6 Ом, R4 = 8Ом,
	R6	I4	I2		I8
I9	I6			E3		R5 = 15 Ом, R6 = 80 Ом,
		E4	E2
				I3		R7 = 10 Ом, R8 = 60 Ом,
		3
						R9 = 80 Ом.
		Рис. 3.1
						Определить все токи.
Решение
	1. Принимаем потенциал узла 3 равным нулю:

φ3 = 0.

Расчетные уравнения для определения потенциалов φ1 и φ2:

				1								1										1										1											1													1											1										E								E
																																																				2																									1									4	,
																																																																		R
	1			R R R R																													R R																					R R																					R R R
				1			7					5										4										6											9													1				7						5							1							7						4
			1									1										1										1									1															1									1											E							E						E	,
																																																																																										2
		2																																																																											1						3								;
					R1 R7								R5										R2									R3																			1			R1 R7																			R1 R7										R3						R2
																																									R8																							R5
																																																			.
										1										1								1							1								1													1						1						30							56			,
																																																					2
						1				30									15									8 80															80													30				15						30							8
												1										1								1							1							1													1					1							2							200					30
																																																																																				.
							2
										30									15									60									6						60										1			30				15						60							6							30

Из решения системы уравнений следует

φ1 = –80 В, φ2 = –140 B.

27

2. Определение токов. Задаем произвольное направление токов во всех ветвях схемы. Согласно закону Ома получаем

I

1 2 Е1

80 140 30

1А,

1

R1 R7

20 10

I2

3 2 Е2

140 20

2,67А,

R2

60

I3

2 3 Е3

140 200

10А,

R3

6

I4

3 1 Е4

80 56

3А,

R4

8

I5 1 2 80 140 4А,

R5 15

I6 1 3 80 1А,

R6 80

I8 2 3 140 2,33А,

R8 60

I9 3 1 80 1А.

R9 80

Проверка решения

По первому закону Кирхгофа, например, для узла 3:

I8+I3 – I2 I4 + I6 I9 = 0,

–2,33 + 10 2,67 3 1 – 1 = 0.

Таким образом, решение выполнено правильно.

Ответ: I1 = 1 A, I2 = 2,67 A, I3 = 10 A, I4 = 3 A, I5 = 4 A, I6 = –1 A, I8 = –2,33 A, I9 = 1 A.

28					3. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Задача 3.2
		1			В схеме (рис. 3.2) задано:
		R2			Ik = 2 A, E = 120 B, R1 = 40 Ом,
R3					R2 = 40 Ом, R3 = 40 Ом.
	I	I2	I		Определить токи в ветвях схемы.
	1	2			Ik
I3	R1				Составить баланс мощностей.
				Е	Решение
			V.
							равным
					1. Принимаем потенциал узла 3
	3				нулю (φ3 = 0). Тогда φ2 = Е = 120 В.
					2. Для определения φ1	составляем урав-
		Рис. 3.2
					нение

	1				1				1	Ik	,
1						2
	R				R				R
	2				3				2
			2		120		1		2,
	1 40					40

откуда 1 = 100 В.

3. Определение токов (по закону Ома):

I	2 3	3 А,	I	2		2 1	0,5 А,	I	3		1 3	2,5 А,
1	R1					R2					R3

II1 I2 3,5 A.

4.Баланс мощностей: Рпотр Рист ,

I12R1 I22R2 I32R3 EI ( 1 3)Ik ,

32 40 0,52 40 2,52 40 120 3,5 2 100,

620 Вт = 620 Вт.

Ответ: I1 = 3 A, I2 = 0,5 A, I3 = 2,5 A, I = 3,5 A, Pист = Рпотр = 620 Вт.

29

Методическое указание

За точку нулевого потенциала в схеме, содержащей ветвь с идеальной ЭДС (ветвь без сопротивления), принимается один из узлов, к которым присоединена эта ветвь.

Ток в ветви с идеальной ЭДС определяется с помощью первого закона Кирхгофа.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 3.3

В цепи (рис. 3.3) задано:									А
E1 = E2 = 60 B,							R1	E2	R2
R1 = 2 кОм, R2 = 4 кОм,									R4
R3 = 5 кОм, R4 = 6 кОм.							E1		R3
Определить показание амперметра.
Ответ: IA = 8,18 мА.								Рис. 3.3
Задача 3.4
					В цепи рис. 3.4 дано:
R1		E3	R3		E1 = 80 B, E2 = E3 = 60 B,
		R2			R1 = 0,5 кОм, R2 = 1 кОм,
		А2
E1	А	E2	R		R	3	= 1 кОм, R = 0,5 кОм.
				4			4
		1			Определить показания амперметров.
	Рис. 3.4				Ответ: IA1 = 40 мА, IA2 = 80 мА.

Задача 3.5

Дано (рис. 3.5):

E1 = E2 = 24 B, E3 = 96 В, R1 = R2 = 2 Ом,

R3 = R4 = 4 Ом, R5 = 1 Ом.

Определить токи во всех ветвях.

Ответ: I1 = 6 A, I2 = 18 A,

I3 = 18 A, I4 = 6 A, I5 = 12 A.

I1

I2

I3

I4

I5

Рис. 3.5

30 3. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Задача 3.6

В цепи (рис. 3.6) дано:

R1 = 5 Ом, R2 = 2,5 Ом,

R3 = 5 Ом, R4 = 10 Ом,

R5 = 10 Ом, R6 = 3,75 Ом,

R7

= 1,25 Ом,

E1

= 40 B, E2 = 50 B.

Рис. 3.6

Определить токи I, I1, I6.

Ответ: I = 7,2 A, I1 = 7,6 A, I6 = 2,4 A.

4. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

Основные сведения

В соответствии с принципом суперпозиции (справедливым лишь для линейных цепей) электрическое состояние цепи, содержащей несколько источников энергии, определяется совокупностью частных режимов рассматриваемой цепи, обусловленных каждым из источников энергии в отдельности. При рассмотрении частного режима, определяемого одним источником энергии, все остальные источники удаляются из схемы при сохранении в цепи их внутренних сопротивлений. А это означает, что на месте удаленного из схемы источника ЭДС должно быть сохранено нулевое (а) сопротивление (закоротка), а на месте удаленного источника тока – бесконечное (б) сопротивление (разрыв). Токи и напряжения исходного режима определяются алгебраическим суммированием (т. е. с учетом направлений) токов и напряжений частных режимов.

Принцип суперпозиции непригоден для подсчета мощности, поскольку мощность исходного режима не равна суммарной мощности частных режимов (в). Мощность исходного режима должна определяться по результирующим токам (г)

E

а

Ik

б

P Pn

n

RI2 R		'	2			2	'''	2
	I		I	''		I		...
			в
RI2	R I' I''				I'''... 2

г

Библиографический список к разделу 4

1.Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Нетушил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 2.1.

2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. –

М.: Гардарики, 2002. – § 2.14.