2.3.2. Исследование решения уравнения теплопроводности при условии

При этих условиях угловой коэффициент в правой части характеристического уравнения стремится к бесконечности, следовательно, прямая на рис. 2.10 совпадет с осью ординат. Поэтому корни уравнения принимают следующие значения .

Легко видеть из формулы (2.61), что при таких значениях все коэффициенты , кроме первого обращаются в 0, а для первого получается неопределенность типа , которую необходимо раскрыть.

Обозначим коэффициент, стоящий в решении (2.62) под знаком суммы через D_n

Эта величина D_n пропорциональна коэффициенту C_n, что следует из их сравнения.

Раскроем с помощью предельного перехода неопределенность для D₁ при .

.

В связи с этим решение для рассматриваемого случая сводится к следующему виду:

(2.63)

При малых значениях значение , величина и уравнение принимает вид откуда получаем . С учетом этого, решение (2.63) принимает вид:

Поскольку так как , окончательно получим:

(2.64)

Таким образом, для случая получаем, как и предполагали, равномерное распределение температуры по объему тела на протяжении всего периода нагрева (решение не зависит от координаты ). Это означает, что для термически тонких тел лимитирующим звеном в процессе переноса теплоты является внешний теплообмен. Температура во всех точках тела растет по экспоненциальному закону.

В первичных переменных уравнение (2.64) выглядит так:

(2.65)

; ,

В практике инженерных расчетов принято тела, для которых называть термически тонкими телами и расчеты их нагрева и охлаждения проводить по формуле (2.65).

При необходимости рассчитать продолжительность нагрева термически тонкого тела до достижения им заданной конечной температуры, формула (2.65) преобразуется к виду:

(2.66)

2.3.3. Исследование решения дифференциального уравнения теплопроводности при

Случай бесконечно большого значения числа Био означает, что интенсивность внешнего теплообмена бесконечно велика по сравнению с интенсивностью внутреннего переноса теплоты. Это равносильно переходу от граничных условий III рода к граничным условиям I рода при постоянной температуре поверхности.

Для тела конечных размеров с постоянной величиной коэффициента теплопроводности его материала случай означает стремление к бесконечности интенсивности теплообмена его поверхности с окружающей средой (). Это приводит к тому, что температура поверхности тела становится равной температуре окружающей среды (которая задана условием задачи и постоянна). Действительно

, ,

откуда, при разность температур , так как плотность теплового потока конечная величина. Это означает, что в рассматриваемом случае в момент времени температура поверхности тела мгновенно достигает заданного значения температуры среды и в дальнейшем остается постоянной.

Математическая формулировка этой задачи выглядит следующим образом

Решение этой задачи получаем как частный случай решения задачи с граничными условиями III рода при .

Анализ уравнения для определения корней () показывает, что при значениях , то есть прямая на рис. 2.10 совпадает с осью абсцисс. Отсюда получаем:

,… .

При этом при нечетных значениях n и при четных значениях n. Из этого следует, что . В связи с тем, что , коэффициент , стоящий под знаком суммы, принимает значение:

,

и искомое решение принимает вид:

, (2.67)

а определяется выведенной последовательностью.

Таким образом, в рассматриваемом случае относительная избыточная температура определяется как функция числа F₀ и безразмерной координате . Число подобия Bi не является параметром задачи и лимитирующим звеном в процессе нагрева является внутренний теплообмен.