2.2. Теплопроводность и теплопередача при стационарном режиме

Количественные соотношения для теплопередачи выводятся в результате рассмотрения явления теплопроводности при граничных условиях третьего рода. Поэтому количественную оценку теплопроводности и теплопередачи удобно рассмотреть в одном разделе.

При стационарном режиме температурное поле не зависит от времени

и дифференциальное уравнение для твердых тел принимает вид:

. (2.23)

Если источник не существует (), то

или . (2.24)

Уравнения такого вида носит названия уравнения Лапласа и является общим уравнением теории потенциальных полей (температурных, электронных, гидродинамических и прочих).

2.2.1. Теплопроводность и теплопередача через плоскую стенку

Граничные условия I-го рода. Рассмотрим пластину толщиной , изотропную, имеющую на одной поверхности температуру t_с1 , на другой t_с2. Пусть температура на поверхности OY и OZ будут постоянны, а изменение температуры будет наблюдаться только по направлению OX (рис. 2.2).

По словесному описанию составим её математическую постановку:

; (2.25)

(2.26)

Рис. 2.2. К задаче нагрева плиты при граничных условиях I рода

При интегрировании уравнения (2.25) получается решение для любых граничных условий:

(2.27)

Из уравнения видно, что распределение температур в пластине линейное и плотность теплового потока в любом её сечении одинакова:

. (2.28)

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяются подстановкой граничных условий (2.26) в решение (2.27):

; ; ;

. (2.29)

Плотность теплового потока из уравнения (2.28):

. (2.30)

Тепловой поток в однослойной плоской стенке определяется формулой

(2.31)

Для многослойных стенок расчетные выражения имеют вид:

(2.32)

(2.33)

Граничные условия II-го рода. Граничные условия II-го рода состоят в задании плотности теплового потока на поверхность тела. В решении предыдущей задачи показано, что распределение температур в пластине линейное и плотность теплового потока в любом её сечении одинакова. Её значение определено условием настоящей задачи, что делает возможным установить значение одной из постоянных интегрирования из уравнения (2.28):

.

Для определения второй константы условий не остается, то есть она может принимать любое значение. Это означает, что при граничных условиях II-го рода единственного решения задачи стационарной теплопроводности не существует.

Граничные условия III-го рода (теплопередача). Решение задачи стационарной теплопроводности для плоской стенки при граничных условиях III рода приведено в разделе 1.3.4 и имеет вид:

;

.

2.2.2. Влияние переменности на распределение температуры в пластине

Ранее указывалось на зависимость коэффициента теплопроводности материала от температуры. Учет этого фактора может существенно уточнить расчеты температурного и теплового состояния элементов конструкций энергетического оборудования. Необходимо ответить на два основных вопроса - как выполнять расчеты тепловых потоков, и какой характер изменения температуры по толщине нагреваемого изделия с учетом переменности .

В случае переменности коэффициента теплопроводности от температуры уравнение переноса Фурье следует принимать в виде:

.

После интегрирования и приведения к удобному виду получим:

; ;

.

Известно, что правая часть уравнения представляет собой среднее в заданном интервале температур значение коэффициента теплопроводности _cp. Если изменяется по линейному закону , в результате интегрирования получим:

(2.34)

В этом случае расчет плотности теплового потока следует выполнять по формуле

. (2.35)

Рис. 2.3. Распределение температуры в пластине при характерных

зависимостях коэффициента теплопроводности от температуры

Установить характер температурного поля можно из анализа изменения градиента температуры:

. (2.36)

Примем зависимость коэффициента теплопроводности от температуры в виде:

.

Проанализируем три варианта поведения этой зависимости:

( не зависит от температуры);

(с увеличением температуры увеличивается);

(с увеличением температуры  уменьшается).

Из уравнения (2.36) следует, что при значении коэффициент  и градиент температуры не меняются. Характер изменения температур – прямая линия (рис.2.3). Если значение , то коэффициент  с повышением температуры увеличивается, а градиент температуры снижается (верхняя кривая). Если значение , то коэффициент  с повышением температуры уменьшается, а градиент температуры увеличивается (нижняя кривая).