3.3. Теплообмен при естественной конвекции

3.3.1. Аналитическое решение задачи теплообмена при свободном ламинарном движнии вдоль вертикальной пластины

Пусть вертикальная пластина с неизменной температурой t_с помещена в жидкость или газ. Жидкость вдали от пластины неподвижна и имеет температуру t_ж. Рассмотрим случай, когда . В этом случае у пластины появляется движение нагретого слоя жидкости по оси х (рис. 3.2).

Решение задачи получим для следующих условий: процесс стационарный; силы инерции пренебрежимо малы; градиент давлений отсутствует; конвективный перенос теплоты и теплопроводность вдоль движущегося слоя не учитываются; теплофизические свойства жидкости, кроме ее плотности, считаем независимыми от температуры. Примем линейный закон изменения плотности от температуры и параболический характер распределения температуры по толщине пограничного слоя:

,

,

. (3.20)

Рис. 3.2. Распределение температур по толщине нагретого слоя жидкости при её гравитационном движении вдоль вертикальной плиты

Граничные условия задачи описываются следующими соотношениями:

при ;

при .

Коэффициент теплоотдачи от стенки к жидкости может быть определен из следующих физических и математических положений:

; ; ; ;

. (3.21)

Градиент температуры определим из (3.20):

; (3.22)

Подставляя (3.22) в (3.21) имеем:

(3.23)

Толщина движущегося слоя  в (3.23) переменная по высоте и связана со скоростью движения в этом слое. Поле скоростей в этом слое может быть определено решением дифференциального уравнения движения (Навье-Стокса):

.

При принятых условиях течение происходит в направлении оси ох, поэтому истинное уравнение движения только в проекциях на ось ох:

.

Поскольку уравнение движения получено без учета зависимости плотности от температуры, в то время как при свободном движении жидкости потенциал движения определяется плотностью жидкости, введем в уравнение движения разность плотности (₀-холодная,  текущая ):

. (3.24)

Так как , то (3.25)

Подставим в выражение (3.25) соотношение (3.20):

(3.26)

Подставим в (3.26) соотношение (3.24):

; (3.27)

; ;

; ;

; ; ; .

; .(3.28)

По уравнению (3.28) можно построить распределение скорости в движущемся слое жидкости, а по уравнению (3.20) распределение температур в пограничном слое.

Средне интегральная скорость пограничного слоя определяется:

; ;

(3.29)

Средняя температура пограничного слоя

; .

Расход жидкости через поперечное сечение равен:

или .

Расход жидкости определяет плотность . При этом полагается, что жидкость плотностью , вовлекаясь в движущийся слой приобретает скорость . Подставим значение скорости из (3.29) получим:

(3.30)

С другой стороны, в пограничный слой вовлекается жидкость с температурой . Эта жидкость нагревается до температур, лежащих в интервале от до . Можно считать, что эта жидкость нагревается до температуры . На это расходуется теплота, которая может быть определена из уравнения баланса и теплопередачи:

.

Поскольку , то получаем:

.

Так как

, то (3.31)

Приравнивая (3.30) и (3.31) получаем:

.

Интегрируя последнее выражение, имеем:

. (3.32)

Здесь при константа С принимает нулевое значение. Из уравнения (3.32) определим значение :

. (3.33)

Из (3.23) следует, что . Подставим в последнее уравнение и разрешаем относительно :

. (3.34)

.

(3.35)

Полученное уравнение подобия теплоотдачи служит для определения текущего значения параметра.

Определим среднее значение  на пластине длиной L и среднее значение Nu в этом случае:

.

при . (3.36)

Полученное аналитическое решение справедливо при принятых условиях по высоте пластины. В реальных процессах наблюдается постоянство теплового потока между пограничным слоем и стенкой пластины. Если привести полученное решение к режиму q=const, то уравнение подобия уравнение подобия теплоотдачи (аналитическое) имеет вид:

.

Экспериментальное уравнение имеет вид:

. (3.36)

Полученное аналитическое и экспериментальное уравнение имеет высокую степень сходимости.