2.4.3. Эмпирико-прогностический доверительный фактор

Эмпирико-прогностический доверительный фактор определя­ется на основании значений параметров из ранее полученной выборки объемом с учетом предстоящего проведения серии из экспериментов и вероятности принятия ошибочного ре­шения по формуле

. (2.29)

Здесь, как и в случае эмпирического доверительного факто­ра, представляет собой минимальное значение параметра из ряда , а – среднее значение эмпирического ряда, где – относительная частота реализации значения в выборке объемом экспериментов; кроме того, справедливо равенство . Величина представляет собой наиболее неблагоприятное, то есть наименьшее из реально возможных среднее значение параметра, которое рассчитывает­ся на основании данных выборки , то есть без зна­ния (теоретического) распределения вероятностей для случая -кратной реализации процесса с учетом ве­роятности ошибки.

Коэффициенты определяются из соот­ветствующих величин для эмпирического и прогностического доверительных факторов. С одной стороны, применяя биноми­альное распределение, можно получить более точные значения этих величин. При этом в формуле (2.22) вместо вероятности следует использовать значение , полученное из выражения (2.16). С другой стороны, при аппроксимации нормальным распределением, что в свою очередь предполагает достаточно большие значения величин и , из выражений (2.17) и (2.23) получаем

, (2.30)

а для согласно (2.17) и (2.25) получаем

,

(2.31)

.

Здесь , , – квантили стандартного нормального распределения порядков, соответственно, , и . Весовые коэффициенты , аналогично (2.18) и (2.26), определяются

индуктивно:

,

,

(2.32)

.

При этом выполняются соотношения и и определяется величина

.

Теперь рассмотрим асимптотические приближения при и . Согласно закону больших чисел (с вероятностью 1) при имеем:

, , , ,

и, тем самым, при . Соответственно, при получаем

, , , ,

, , и, следовательно, при . При и получаем

,

то есть при одновременном неограниченном возрастании объема выборки и числа реализаций процесса эмпирико-прогностический доверительный фактор стремится к единице. Очевидно, что справедливо неравенство .

С другой стороны, при постепенном уменьшении объема выборки до нуля или числа реализаций процесса до еди­ницы эмпирико-прогностический доверительный фактор моно­тонно стремится к нулю: при и . С учетом равенств и выражение (2.29) можно представить в виде

. (2.33)

Отсюда для частного случая выражение (2.33) приобре­тает простой вид

. (2.34)

2.4.4. Использование доверительных факторов в задачах принятия решения

Введенные выше доверительные факторы были получены для ряда значений одного параметра. При наличии нескольких вариантов решения , в зависимости от значений внешних состояний каждому из вариантов будет соответствовать свой ряд значений полезности решения и, таким образом, свой эмпирический , прогностический (разд. 2.4.2) и эмпирико-прогностический (разд. 2.4.3) доверительные факторы. Порядок определения значений этих доверительных факторов и их свой­ства описаны в указанных соответствующих разделах этой гла­вы. Сопоставим еще раз формулы, отражающие асимптотичес­кие свойства доверительных факторов, которые потребуются при дальнейшем изложении материала:

, ,

(2.35)

.

Эти определенные для каждого варианта , доверительные факторы можно использовать в качестве индивидуальных пара­метров в -критерии, то есть обозначая для упрощения за­писи любой из доверительных факторов (эмпирический, прог­ностический, эмпирико-прогностический) через получим посредством соотношений

,

(2.36)

уточненный вариант -критерия.

Характерными для указанных доверительных факторов яв­ляются «наиболее неблагоприятные» средние значения полез­ности , и . При наличии нескольких вариан­тов решения и, естественно, нескольких величин , зависящих от внешних состояний , эти средние значения определяются индивидуально по следующим формулам:

, и .

Ниже будет описан общий принцип представления этих формул, для чего средние значения, соответствующие всем трем типам доверитель­ных факторов, обозначаются просто , а границы, вычис­ленные (в зависимости от вероятности ошибки ) для отдель­ных вероятностей, обозначаются и . Тогда для оп­ределения необходимо найти вероятности в соответ­ствии с условиями

, ,

. (2.37)

Такая постановка задачи позволяет распространить ее ре­шение и на случай непрерывного распределения бесконечного множества возможных значений влияющих параметров , причем для каждого и варианта решения реализуется свое значение полезности . Границы для частот в их зависимости от вероятности ошибки могут теперь быть пред­ставлены в виде функций распределения и вместо и соответственно. Для определения необходимо найти функцию распределения согласно условиям

, ,

.

Для обобщения понятия о самом неблагоприятном среднем значении полезности по всем трем типам доверительных фак­торов аналогично формулам (2.18), (2.26) и (2.32) обозначим эту величину через

,

после чего, в результате несложных преобразований, используя выражение (2.36), по­лучаем простое равенство:

. (2.38)

Предыдущие рассуждения можно распространить на общий случай задачи принятия решения при наличии нескольких параметров . Если, отбрасывая в данном случае ин­декс для различных вариантов решения обозначить через обозначаются и границы для вероятностей состояний, соответст­вующих параметру , , то можно принять

и . (2.39)

Теперь, когда определены эти новые границы, все еще завися­щие от некоторых комплексных состояний, дальнейший способ действий остается тем же, что и в случае одного параметра.

Если вместо нижней и верхней границ функций распределе­ния вероятностей и известны соответствующие границы и , то, аналогично (2.39), можно получить нижние и верхние границы

и .

Учет зависимости доверительных факторов от варианта ре­шения , при определенных обстоятельствах требует довольно больших вычислительных затрат. С целью упрощения обозначим через любой из трех типов доверительных факто­ров. Тогда, если диапазон разброса его

значений

для всех вариантов решения сравнительно невелик, то впол­не обоснованно можно использовать среднее значение довери­тельного фактора

.

Эта величина теперь полностью соответствует доверительному фактору -критерия, но теперь она содержа­тельно мотивирована, а в количественном отношении точно определена.