2.4.2. Прогностический доверительный фактор

Прогностический доверительный фактор определяется для серии из реализаций с учетом вероятности ошибки по формуле

. (2.21)

Здесь – минимальное значение параметра из ряда . Выражение определяет среднее значение параметра , заданного рядом , . Параметр счи­тается случайной величиной с (теоретическими) вероятностями его возможных значений, так что .

Величина представляет собой наиболее неблагоприятное, то есть наименьшее из реально возможных среднее значение пара­метра, которое может быть получено в серии из реализаций; оно вычисляется на основании известного вероятностного рас­пределения значений параметра и вероятности принятия ошибочного решения. Коэффициенты опре­деляются на основании оценки вероятностей , причем, естественно, выполняются соотношения . В этом случае, как и при рассмотрении эмпирического доверительного фактора, необходимо помнить, что наибо­лее неблагоприятным является тот случай, когда малым зна­чениям параметра из ряда соответствуют наиболь­шие относительные частоты реализаций с учетом заданной вероятности принятия ошибочного решения. Обозначим через случайную величину, реализация которой есть число появлений элемента наблюдаемых при -кратном повторе­нии рассматриваемого случайного события. Тогда имеет биномиальное распределение с параметрами и .

Для будем исходить из равенства

или

Квантиль биномиального распределения определяется из таблиц, после чего из соотношения

(2.22)

вычисляется величина . Аппроксимируя биномиальный закон распределения нормальным, величину можно полу­чить, используя квантиль порядка стандартного нор­мального распределения

. (2.23)

Для справедливо равенство

.

Используя квантили и порядка и, соответствен­но, биномиального закона распределения, получаем выражение для граничных значений коэффициентов

, (2.24)

а при аппроксимации нормальным распределением с квантиля­ми и порядка и, соответственно,

получаем

, , (2.25)

, .

Весовые коэффициенты , как и для выражения (2.18), определяются индуктивно:

.

,(2.26)

.

При этом выполняются условия и и среднее значение определяется равенством

.

При стремлении к бесконечности числа реализаций согласно закону больших чисел (с вероятностью 1) выполняют­ся следующие асимптотические соотношения:

, , , ,

а из них следует, что при , то есть при неограниченном возрастании числа реализаций прогностический доверительный фактор стремится к единице. Естественно, сох­раняется условие .

Из представленных выше формул (2.22) и (2.24) следует, что с уменьшением числа реализаций до единицы прогности­ческий доверительный фактор монотонно стремится к нулю, что математически записывается так: при . С учетом равенств и выражение (2.21) можно записать в виде

. (2.27)

Для частного случая выражение (2.27) приобретает про­стой вид

. (2.28)