2.5. Принятие решений в условиях рисков

Допущение пусть даже малой вероятности принятия оши­бочного решения не исключает возможности риска даже с учетом вычисления введенных выше доверительных факторов. Полное устранение риска при принятии решений практически даже и не требуется; мало того, определенная степень риска вводится сознательно, так как принятие решения без риска, например, с предельно пессимистической позиции, как правило, невыгодно. Однако при этом разумный риск следует отличать от риска азартного игрока. Любой риск, во-первых, должен учи­тываться по возможности полно, описываться количественными характеристиками и ограничиваться, а во-вторых, ни в коем случае не превышать уровень, при котором результат достига­ется с достаточной надежностью. Приводимые ниже рассуждения ознакомят читателя с возможностью принятия эффективно­го решения при наличии определенного риска.

В качестве опорного для оценки риска примем выражение для совокупности вариантов решения по минимаксному критерию, соответствующее позиции крайней осторожности. В случае выбора вместо оптимального по данному критерию какого-либо другого варианта степень неоптимальности можно вычислить в виде так называемого дефекта варианта решения относительно опорного значения оценочной функции по -критерию:

. (2.40)

Максимальную разность дефектов при рассмотрении всех возможных вариантов решения , можно охаракте­ризовать как возможный риск:

(2.41)

Таким образом, возможный риск независимо от информа­ции о параметрах, имеющейся по результатам выборки, а также от числа реализаций процесса представляет собой максимально возможную величину нереализуемой полезности решения. В случае малых объема выборки и числа реализаций про­цесса принятия решения безопаснее придерживаться -критерия, тогда как при достаточно больших значениях и целесообразно ориентироваться на -критерий. Как известно, оба они обобщаются -критерием, согласно усовершен­ствованному варианту которого (2.36) оптимальным считается решение для которого выражение

(2.42)

дает максимальный результат. Здесь и в дальнейшем изложе­нии материала величины , представляют собой известные, в меру имеющейся в наличии информации, вероят­ности реализации внешних состояний либо оценки этих вероятностей, полученные на основании выборки по ре­зультатам каких-либо экспериментов, либо, по крайней мере, относительные частоты их распределения, определенные на ос­новании априорной информации. В качестве целесообразно использовать эмпирико-прогностический доверительный фактор , величина которого автоматически изменяется в границах, установленных ранее на основании его свойств, см. (2.35):

, а также и .

Отсюда видно, что при большом объеме выборки и одновре­менно большом числе реализаций улучшенный -критерий (2.36) приближается к нейтральному -критерию, а в случаях малого объема выборки и (или) числа реализаций опре­деляющим становится -критерий. При этом с учетом (2.36) и (2.42) выражение (2.38) может быть записано в виде

. (2.43)

Остановимся на определении границ применимости -критерия. В самом деле, при наличии информации о вероятностном распределении внешних состояний даже, например, при малом числе реализаций , что будет отражено в малости величины доверительного фактора, согласно (2.33), имеет смысл выйти за рамки строгого следования минимаксно­му критерию, если принимающий решение готов в такой ситуа­ции пойти на некоторый риск, определяемый величиной . Для некоторых внешних условий, имеющих большую вероят­ность реализации, могут получиться варианты решения, которые дают заметный выигрыш по сравнению с оптимальным вариан­том по -критерию. С целью оценки конкурентоспособности таких решений для каждого варианта введем специальную величину, равную сумме минимального результата , , и эффекта риска:

. (2.44)

Величина по своему смыслу должна отвечать ограничению

. (2.45)

Тем самым гарантируется непревышение величиной значения дефекта 1-го варианта решения по отношению к оптимуму, полученному по минимаксному критерию, а также величины допустимого риска . Максимальный риск при рассмотрении всех вариантов решения , согласно (2.40) равен

. (2.46)

В отличие от выражения (2.42) для -критерия, будем теперь исходить из следующей оценки результата:

. (2.47)

Обозначим через множество всех вариантов решения, обеспечивающих максимум величины :

, . (2.48)

Для разъяснения сути критерия, определяемого выражениями (2.47) и (2.48), рассмотрим два крайних случая. Если , то, согласно (2.45), и , а тогда из (2.47) получаем вновь выражение для улучшенного -критерия (2.36):

, (2.47а)

где .

Если , то, согласно (2.45), , а выражение (2.47) с учетом (2.40) фактически преобразуется в нейтральный критерий

Байеса-Лапласа:

,

причем весовой коэффициент равен доверительному фактору .

Продолжая наши рассуждения, рассмотрим случай, когда . Эта величина равна нулю в случае, когда , то есть, нет никакой информации о распределении вероятностей реализации внешних состояний или при , то есть когда решение принимается впервые. Тогда выражение (2.47) преобразуется к виду

(2.49)

Приращение результата до величины , которая, сог­ласно (2.45) и (2.40), может достигать позволяет в соот­ветствии с (2.48) включить в рассмотрение несколько дополни­тельных вариантов решения. Дальнейшим рациональным шагом будет применение -критерия для этих вариантов:

. (2.50)

Тем самым из множества вариантов решения, результа­ты которых максимизируются выражением (2.49), предпочтение будет отдано вариантам, имеющим максимальный средний результат, а к ним в первую очередь относятся такие варианты , в которых внешние состояния обеспечивающие высокие значения результата , характеризуются большими вероятно­стями реализации. Приведенные здесь рассуждения для случая справедливы и для значений , близких к нулю. Если же значение близко к единице, то критерий (2.47) и сам по себе приближается к критерию Байеса-Лап­ласа:

Теперь необходимо более глубоко определить понятие риска, которое обычно интерпретируется как возможность получения нежелательного результата. В рассматриваемой нами ситуации принятия решений будем считать риском реализацию случая, когда вариант решения при внешнем состоянии дает результат меньше ожидаемого. Эту ожидаемую величину при­мем в качестве опорной для оценки риска, причем для большей ясности необходимо разделять опорные величины на завися­щие и независящие, от внешних факторов.

В качестве не зависящей от внешних факторов опорной величины может фигурировать любая вещественная величи­на, однако согласно смыслу ее определения она может нахо­диться только в диапазоне

. (2.51)

Для конкретного варианта величина

(2.52)

называется возможным дефектом выбора варианта решения . Так как отрицательные значения согласно (2.52) не являются дефектом, рассмотрим, с учетом обычного обозначения поло­жительной части вещественного числа через , величину

(2.53)

и назовем имеющим дефект или свободным от дефекта вариант принятия решения , когда или, соответственно, . Тогда при любой вариант принятия решения будет иметь дефект, а при все варианты будут свободными от дефекта.

Было бы целесообразным определять опорные величины для оценки риска через значения известных критериев принятия решения. Так, например, обозначим

(2.54)

и, соответственно, как возможный дефект решения относительно достижимого значения оценочной функции 2мм по минимаксному критерию.

По отношению к независимой от внешних состояний опорной величине можно ввести следующее определение: из двух вариантов решения и будем называть вариант не луч­шим по сравнению с (записав это в виде соотношения , если определенные согласно (2.52) оценки риска и удовлетворяют неравенству . Раскрывая данное нера­венство , и сокращая в нем подобные члены, получим , что говорит о независимости данного выражения от . Характер соотношения вариантов принятия решения для всех независимых от внешних факторов уровней отсчета будет тот же самый, и, сохраняя суть соот­ношения, его можно просто записать в виде .

В общей формулировке опорную величину , зависимую от внешних факторов, можно представить в виде функции от всех значений результатов решения :

,

; (2.55)

Данное выражение включает в себя и тот случай, когда вообще не зависит от , то есть является константой. Тогда де­фект, возможный при выборе варианта решения , согласно (2.52), определяется выражением

. (2.56)

Выбор оптимального варианта дает минимальный дефект :

. (2.57)

Таким образом, разность между дефектом варианта решения и минимальным дефектом принимает вид

. (2.58)

Полученную разность дефектов можно рассматривать как отно­сительный риск при выборе соответствующего варианта реше­ния .

В случае, когда опорной величиной является оценочная функция , соответствующая -критерию, минимальный дефект

,

так что в этом случае .

Опорные величины могут быть определены для каждого из внешних состояний отдельно с помощью функции от переменных:

. (2.59)

В этом случае в соответствии с (2.51) значения , имеют смысл только в диапазоне

. (2.60)

Величину

(2.61)

будем называть возможным дефектом выбранного варианта ре­шения или оценкой риска, сопутствующего такому решению; при этом, в соответствии с (2.53), заслуживают внимания толь­ко положительные значения:

. (2.62)

Ограничение значений опорной величины диапазоном (2.60) мотивируется тем, что при любой вариант реше­ния имеет дефект, а при все варианты бездефектны.

Примерами зависимых от внешних факторов опорных вели­чин являются граничные значения диапазона (2.60):

(2.63)

и

, (2.64)

а также среднее значение

. (2.65)

Оптимальный выбор варианта решения дает минимальный дефект, который для величин, не зависящих от внешних факто­ров, аналогично (2.57) и

(2.61) равен

, (2.66)

а разность между возможным и минимальным дефектами для варианта решения составит, аналогично (2.58):

. (2.67)

Эту величину, в свою очередь, можно рассматривать как отно­сительный риск при принятии варианта решения .

Белее наглядная интерпретация свойств зависимой от внеш­них факторов опорной величины получается в случае использо­вания -критерия (3.7) с оценочной функцией

. (2.68)

Действительно, если принять в качестве опорной величины, зависящей от внешних состояний, (2.63), то, согласно (2.52), риск, сопутствующий решению , опреде­ляется выражением , а оптимальным, сог­ласно (2.68), будет вариант решения с оценочной функ­цией

,

то есть вариант с минимальным риском.