2.4. Доверительные факторы принятия решений

В основе излагаемых ниже рассуждений о ситуациях приня­тия решения, связанных с определенной степенью риска, лежит предположение о том, что решение, соответствующее наимень­шему значению из соответствующей выборки или ряда допустимых значений независимого параметра , приводит к самым неблагоприятным последствиям. Кроме того, предполагается, что данные значения параметра являются реа­лизацией случайного процесса с соответствующими относитель­ными частотами распределения , которые, в свою очередь, сходятся к (теоретическим) вероятностям этих значений параметра. Средняя величина заданного ряда значений независимого параметра должна существенно отли­чаться от наименьшего из его значений , что характеризуется так называемым доверительным фактором, объективно оцениваемым заранее задаваемой величиной вероятности принятия ошибочного решения. Здесь следует различать три принципиально разных случая:

1. На основании заранее известной выборки значений пара­метра или по результатам проведения экспериментов по опре­делению его значений оценивается относительная величина отклонения теоретического среднего значения параметра от его наименьшего значения; это осуществляется с помощью эмпири­ческого доверительного фактора .

2. Если вероятности известны, то оценивается относительная величина отклонения среднего значения из вы­борки, полученной в результате проведения серии из до экспери­ментов, от наименьшего значения параметра; при этом исполь­зуется прогностический доверительный фактор .

3. Относительная величина отклонения среднего значения параметра от его наименьшего значения оценивается для пред­стоящего проведения серии из экспериментов по результа­там заранее известной выборки, состоящей из эксперимен­тов; это осуществляется с помощью эмпирико-прогностического доверительного фактора .

Последний из названных подходов охватывает задачи обе­их упомянутых выше категорий и к тому же лучше других соот­ветствует задачам, встречающимся на практике. Далее будет дан анализ характеристик и взаимосвязи указанных довери­тельных факторов. Будем также считать, что значения парамет­ра расположены в ряде по мере их возрастания, то есть , так что .

2.4.1. Эмпирический доверительный фактор

Эмпирический доверительный фактор, определяемый по результатам выборки, состоящей из экспериментов, с учетом вероятности принятия ошибочного решения задается соотно­шением

. (2.15)

Здесь – минимальное значение параметра из ряда

– эмпирическое среднее значение параметра, где – относительная частота реализации значения параметра , поэтому .

Величина представляет собой наиболее неблагоприятное, то есть наименьшее из реально возможных среднее значение параметра, которое вычисляется на основании частотного распределения выборки параметров и вероятности принятия ошибочного решения , причем теоре­тическое распределение вероятностей неизвест­но. Коэффициенты задаются исходя из индивидуального оценивания значений вероятности с учетом допуска на ее ошибочное оценивание. При этом, конечно, справедливы выра­жения и .

Необходимо учитывать, что наиболее неблагоприятным является тот случай, когда малым значениям параметра из ряда соответствуют наибольшие вероятности в рам­ках указанного выше индивидуального оценивания. Обозначив через такую случайную величину, реализацией которой слу­жит относительная частота , получим величину , подчиняющуюся биномиальному закону распределения , с параметрами и . Согласно этому закону из уравнения , где , получим сначала для веро­ятности индивидуальную оценку полуинтервала с учетом допуска на ошибку оценивания . Значение можно взять из таблицы биномиального закона распределения. Кроме того, справедливо выражение

, (2.16)

где ;

.

Квантиль биномиального закона распределения опре­деляется из статистических таблиц.

Двусторонняя индивидуальная оценка интервала, для вероятности также определяется из таблицы.

С целью упрощения методики получения доверительных оценок биномиальный закон распределения можно заменить асимптотически приближающим его нормальным законом рас­пределения, однако для этого необходимо иметь достаточно большой объем выборки реализаций параметра.

В этом случае

,

, (2.17)

.

Здесь , где , а и представляют собой квантили порядка, соответственно, и стан­дартного нормального распределения. Величины этих квантилей указываются в таблицах, приводимых в широко распространенной литературе по теории вероятностей и статистике. В последнем из выражений (2.17) знак «минус» справедлив при вычислении , а знак «плюс» – при вычисле­нии .

Весовые коэффициенты , , определим индук­тивно:

,

, (2.18)

,

.

При этом, естественно, выполняются условия

и ,

а также определено значение .

При стремлении объема выборки к бесконечности, то есть при , согласно закону больших чисел (с вероятностью 1), асимптотически выполняются следующие соотношения: , ; ; , отсюда следует, что при , то есть при неограниченном возрастании объема выборки эмпирический доверительный фактор стремится к еди­нице. Очевидно, что сохраняется условие

.

Из приведенных выше формул (2.16) и (2.17) следует, что с уменьшением объема выборки до нуля эмпирический довери­тельный фактор также стремится к нулю, что математически записывается так:

.

С учетом равенств и выражение (2.15) можно представить в виде

. (2.19)

Для частного случая выражение (2.19) приобретает про­стой вид

(2.20)

и, следовательно, не зависит от значений самих параметров и .

В табл. 2.4 представлены значения для частного слу­чая при изменении от 1 до 100 и от 0 до 1, с и . Кроме того, в таблице приведены значения квантилей в зависимости от . Результаты, приведенные в таблице, можно получить из выражения (2.20), принимая .