5.6. Пример расчета числа дискретизирующих шагов для оценочной функции

Ранее были уже рассчитаны релевантности (коэффи­циенты влияния) независимых параметров и рассмотрен­ной там оценочной функции.

Дифференциальная энтропия для равномерно распреде­ленного параметра по формуле (5.26) равна нулю, а для распределенного по нормальному закону параметра – по формуле (5.23) .

В модели выбора решения из соображений приемлемого объема вычислений при удовлетворительной точности принято внешних состояний. В связи с тем, что , в ка­честве базового выбран параметр . По формуле (5.31) минимальное число групп (интервалов дискретизации) , то есть . Из (5.29) для параметра получа­ем .

Число интервалов для базового параметра теперь шаг за шагом увеличивают, пока не будет достигнуто . В табл. 5.5 показаны результаты расчетов по формуле (5.29) по шагам. Четвертый шаг с , и оказы­вается последним. Параметр х₁ разделен на 6, а параметр – на 15 интервалов.

Вопросы для самопроверки по разделу 5

1. Перечислить элементы ситуации выбора решения.

2. Привести общую схему процесса принятия решения.

3. Изложить возможные варианты решения и перечислить необходимые исходные данные.

4. Дать краткую характеристику количественного и качественного анализа ошибок решения.

5. Изложить варианты одношаговых и многошаговых схем принятия решения.

Глава 6. Полезность вариантов решения. Риск

6.1. Полезность вариантов решения

Для того чтобы сделать разумный выбор между различными вариантами решения, необходимо оценить последствия реше­ния. При принятии решений

на практике это часто представ­ляет большие трудности. Понятия ценности и пользы, к сожа­лению, не имеют универсального характера, даже когда они отражают интересы больших групп людей. Индивидуальные представления о них из-за различных мотивов и взгля­дов сильно различаются. Это различие может быть ограничено, если рассматривать полезность решений в инженерной и хозяй­ственной деятельности. Однако и здесь остается возможность субъективной оценки полезности небольшими группами или отдельными лицами. Поэтому ставящий задачу должен иметь возможность оценивать решение по однозначным правилам.

Технические системы и процессы могут характеризоваться самыми различными параметрами и свойствами. Столь же мно­гогранно могут быть описаны и последствия, к которым приво­дят варианты решения. Проще всего оценить результаты реше­ния в денежном выражении. Однако на полезность, в конечном счете, оказывают влияние и такие плохо оцениваемые свойства, как наглядность, удобство в эксплуатации и некоторые факто­ры, просто не поддающиеся учету. Пользу в этом случае трудно оценить, и ее приходится описывать только рядом желаемых свойств, вытекающих из ситуации, в которой принимается ре­шение. Отсюда следуют и различные принципы, по которым можно построить шкалу полезности.

С помощью номинальной шкалы делят множество последст­вий на подмножества, такие, как круг, овал или прямоуголь­ник, области с гладкой или неровной границей и т. д. Такие шкалы применяются большей частью для простейших времен­ных решений, когда не ставится цель достигнуть оптимальною решения, а нужно найти лишь приемлемое. Эта шкала часто состоит только из двух градаций и применяется в тех случаях, когда по самым различным причинам затраты на получение до­полнительной информации о последствиях решения и обработ­ка этой информации не могут быть произведены.

Шкалы упорядоченности устанавливают между подмножест­вами, на которые разбивается множество результатов решения, определенные жесткие соотношения. Эти соотношения можно охарактеризовать аксиомами, при формулировке которых ис­пользуется символ : именно, соотношение означает, что не хуже, чем . Для пронумерованных порядковыми чис­лами шкал упорядоченности справедливы, в частности, следую­щие аксиомы.

1. Аксиома линейности или полной упорядоченности

О двух любых следствиях можно сделать следующие заключения:

а) не хуже, чем , то есть ;

б) не хуже, чем , то есть ;

в) и равноценны, то есть .

При этом исключается, что могут быть следствия, в принци­пе несравнимые.

2. Аксиома транзитивности

Для трех любых следствий , , справедливо:

а) (.

б) .

3. Аксиома рефлективности

Из всегда следует .

Эти три абстрактно сформулированные аксиомы утвержда­ют естественные представления об упорядоченности резуль­татов.

Отсюда видно, что если при небольших различиях в полез­ности остается неопределенность, то с помощью этих трех ак­сиом утверждениями «одинаково», «больше», «меньше» можно внести необходимую

упорядоченность.

Примером такой шкалы упорядоченности может служить шкала Мооса-Мартенса определения твердости методом ца­рапанья. Испытуемые материалы

при этом выстраиваются в порядке, показывающем, что предыдущий материал царапает последующий и, следовательно, тверже него.

Шкалы упорядоченности достаточны для принятия решений в задачах с однозначными параметрами типа описанных ранее. Решения при многозначных парамет­рах рациональным путем приняты быть не могут, так как здесь можно лишь сказать, что один результат следует предпочесть другому, но какова степень этого предпочтения – неясно. Если же требуется, чтобы о различных полезностях можно было вы­сказаться в категориях «одинаково», «больше» или «меньше», то это приводит к интервальным и масштабным шкалам, кото­рые позволяют исчерпывающим образом измерить полезность.

Интервальные шкалы устанавливают, является ли разность в полезности одинаковой, большей или меньшей, чем разность . Соотношение между разностями полезностей сохраняется, когда разность умножают на любую константу или складывают с ней. При этом нужно, правда, сравнивать разности полезностей, а не сами полезности. Примером могут служить температурные шкалы. Повышение температуры на 6°С вдвое больше, чем повышение на 5°С, но температуры 6°С и 5°С отличаются отнюдь не вдвое. Если требуется сравнить от­ношения полезности, то последние нужно измерить в масштаб­ной шкале. Эти шкалы позволяют говорить о равенстве или различия сумм или произведений рассматриваемых величин. Шкалы длины, массы и т. д. являются масштабными.

При решении технических задач результаты должны оцени­ваться в упомянутых двух шкалах, дающих однозначную оцен­ку, и по возможности в масштабной шкале. Величины, упо­рядоченные на интервальной шкале, могут при необходимости вводиться как разности. Лучше всего результаты решений из­мерять скалярной функцией. Определяя эти функции, исходят из совокупного рассмотрения:

а) сбережения или вложения инвестиционных затрат;

б) накоплений или затрат при эксплуатации, техническом обслуживании, текущем ремонте и пр.;

в) прибыли или убытка в итоге работы предприятий и со­ответственно в национальном доходе;

г) ущерба, имеющего место, или того, которого удалось избежать.

Далее необходимо временное преобразование значений по­лезности, поскольку инвестиционные операции и ущерб отно­сятся к определенным моментам времени, тогда как факторы (б) и (в) обычно распределены во времени. Обозначая началь­ный момент t₀, можно написать:

, (6.1)

где – значение функции полезности в момент ;

– время;

– единица измерения времени;

– продолжительность про­цесса;

– ажио (процент), .

При этом принимается опре­деленный временной ход функции . Соответственно затра­ты могут быть выражены для другой начальной точки или дру­гой продолжительности .

Если функция полезности в рассматриваемом временном диапазоне имеет разрывы, то вместо (6.1) величина определяется с помощью интеграла Стилтьеса:

. (6.2)